А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Доказать, что он стацпонарен тогда и только тогда, когда Езг = Ево Е$4,о. Е$оь, для всех С>О, а~О. 10.208. Пусть корреляционная функция стационарного в широ- ком смысле случайного процесса Е, стремится и пулю на бесконечг, 1 ности. Доказать, что —., ) $гг(г сходится к Ей~ в среднеквадра- 3 гг 1 тинеском при г, — г, — О. 10.209. Доказать, что если Е, — непрерывный в среднем квадра- тическом стационарный процесс, Е", то О, то не существует случай! ной величины гъ такой, что г(+ ~Ь,г(а — стационарный процесс. о 10.210. Пусть Ц, — стационарный процесс, г( — случайная вели- чина.
Будет лн процесс ~, = й, + г( стационарным? 10.211. Найти спектральное представление случайного процесса в„определенного в задаче 10.175. 10.212. Пусть й, — действительный стационарный процесс с ма- тематическим ожиданием и и спектральной плотностью 1()г). Поло- жим гг~ = $~ сов(ЛГ+ ф), где Л = сопзг, ф — независимая от й, слу- чайная величина, равномерно распределенная на (О, 2я).
Найти спектральное представление для гй. в 8. Мартингалы 10.213. Пусть $„$о ... — последовательность независимых слу- чайных величин с нулевыми математическими ожиданиями, .з. = $, + ... + $„. Доказать, что последовательность (о.) образует мартннгал, 10.214. Пусть $о йо ... — последовательность независимых слуо чайных величин, Е$„= 1, гг = О, 1,..., Хо = Ц $г. Доказать, что г=о последовательность (Х„) образует мартипгал. 10.215. Пусть $ — случайная величина с конечным математиче- ским ожиданием, (У „)„», — неубывающая последовательность о-алгебр.
Положим,",„=Е($гРУ ). Доказать, что последовательность Ц„, У „) образует мартингал. 10.216. Пусть ($,) — последовательность независимых случайны:г величин, (гг„) — последовательность случайных величин, таких, что при каждом й (гг„..., г(,) и (оьп й,, „...) независимые совокупно- сти случайных величин. Доказать, что если Ев, = О, Е!г(гоь„! С», то последовательность п=1,2, является мартипгалои. воз 10.217. Пусть ($.) — мартингал, Ез"„«.. со. Доказать, что (з,",)— субмартингал.
!0.218. Пусть (ч„) — последовательность неотрицательных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания Я = е. + ... + $ . Доказать, что последовательность (Я„,! образует субмартипгал. !0.219. Пусть (Х„, В „! — марткнгал, а д(т) — выпуклая функция, такая, что Е~б(Х„) ~ < °, н = О, 1, ... Доказать, что пос.~едовательность (д(Х ), У „) ооразуст суомартннгал. 10.220.
Пусть ($.) и (ц„) — две последовательности случайных величин, такие, что прп ка'кдом и существ!ног совместная плогность распределения случайных величин Зо ..., Ч„ — („(хо ..., х„) и совместная плотность распределения случайных величин г)о ... ..., ц„ — б„(хо ..., х„). Доказать, по последовательность образует мартипгал. 10.221. Г!усть (Х„, У„! — субмартппгал, а д(х) — выпуклая неубывающая функпня, такая, что Е~д(Х.)! (, и = О, 1, ...
Доказать, что последовательность (д(Х,), У „) также ооразует субнартингал. 10.222. Пусть (У'„) — неубывающая последовательность и-алгебр, (Х„) — последовательность случайных величин, таких, что Х. измерима относительно У „. Пусть  — произвольное борелевское мнонсество па прямой. Доказать, что момент первого попадания в множество В; т, = !п1 (и > О: Х„~ В) является марковским моментом. 10.223. Пусть т и о — марковские моменты. Доказать, что т+ о, гп!п(т, о), тнах(т, и) — также марковские моменты относительно той же последовательности п-алгебр, что и т, о. 10.224.
Пусть т и а — марковские моменты. Будет ли случайная величина т — а марковским моментом? 10.225. Пусть (Х„, У „) — мартингал (субмартипгал), т — марковский момент относительно последовательности а-алгебр (У „!. Положим т. щ!п(я, т). Доказать, что последовательность (Хт„, У,) также является мартингалом (субмартингалом), 10.226. Пусть ($„)„ь, — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Р (е, — О) = Р($, — 2) —— 1/2, Х„ Ц ~<. Показать, что не существует такой интегрирусз=1 мой случайной величины $ и неубывающего семейства и-алгебр (У"«), что Х ЕД(У „). 10.227. Пусть $, — однородный процесс Пуассона е параметром Х.
Доказать, что ~, ехрЦ, — аП представляет собой субмартингал при я «. 1(е — 1! и супермартингал при я >?,(е — 1). а ох 10.228. Пусть (У „) — неубывающая последовательность о-алгебр, У вЂ” а-алгебр», порожденная ОУ „. Пусть $ — измеримая относительно У неотрицательная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание. Доказать, что Ппз Е 5) У „) = ь.
Ф 10.229. Пусть Ц„) — равномерно интегрируемый мартингал, $„» О, ф =!пп $„. Доказать, что с„= Е Д!У „), где У „— о-алгебра, порожденная величинами $„..., Ь„. 10.230. Пусть (Х„), л ~ Π— мартннгал. Доказать, что ЕХ„= ЕХ„ для любого п = 1, 2, ... 10.231. Доказать, что впперовский процесс, выходящий из нуля, является мартингалом. 10.232. Доказать, что если е,(1» О) — процесс с независимымя приращеггиями, $, = О и Ее, = О для люоого 1 ~ О, то е, образует мартингал. 10.233.
Пусть $ь 1~ Т вЂ” мартингал относительно семейства У „ Е Ц,!'( . Доказать, что Е, имеет пекоррелированные приращения. 10.234. Пусть $„1-=-Π— процесс с независимыми приращениями, $, О, Е~, = О, Е($, — $,)' = )г(г) — Г(з), з ~ Г. Доказать, что (Ц вЂ” г' (г), У ~) — мартннгал, где У, = п(ьь., и ~ 1). 10.235. Пусть Ц„) — мартингал и Еь, ( со, и = 1, 2,, „Доказать, что для любого а ) О Е(х Р( зпр ~ Ь,! ~)а) ( — '," . ~1сьсх / в !0.236. Пусть Ц„) — субмартингал. Доказать, что е„= т)„+ 1„, где (т) ) — мартингал, а Ь„измерима относительно о(~о ..., $„,) н Р (О -= ~, ( ь, ~ ...) = 1. 10.237.
Пусть (Е„) — субмартипгал. Доказать, что для лкм бого а) О Е ьзах(0, 5,) Р( зпр ~х)а)( Гыхсх / 10.238. Пусть Ц.) — супермартипгал. Доказать, что для любо- го а~О Р ( впр $ь ) а) ( — (Е птах (О, $„) — ЕС, + Ефг). ггсхсв 10.239. Пусть Ц„) — субмартннгал. Доказать, что для любого а ~ О Р( впр ) $ь ) ) а)) — (Е) Цв) — Е$ + Е$ ). ~г~ьхл 10.240. Пусть Ц„) — неотрицательный субмартингал, Е~'„(С, л= 1, 2,, Доказать, что почти наверное существует предел )пп ьв. суомартингал, Еьо <~ С, существует предел ! ии оьо. Н мартпнгал. Доказать, что 10.241. Пусть Ц.) — произвольный и 1, 2, ... Доказать, что почти наверное 10.242. Пусть (ь„) — неотрицательный почти наверное существует предел )сщ ь . й 9. Разные вадачи с а„1(т(а), юс а, !) г(а).
Доказать, что ю, — марковский процесс. Найти его переходную о функцию. 10.251. Пусть и, — винеровскпй процесс. Найти вероятность события с' зпр !са,)) з, а(сас .. Ь),где г ) О и — з < а с й ( з, со оскс 10.252. Пусть сщ — винеровскнй процесс. Найти фуннцию распределения случайной величины сиср !сас! прн условии, что сис=О. о~сос 10.253. Пусть и, н ю, — независимые винеровские процесс! ) стс сы. Для люоого вещественного Г положим )сг, , 1 » О, асс (са",с, т < О. ! Пусть, далее, ьс = с (сас — асс-ь), й = сопЮ.
Показать, что $с — стаци- я 206 10.243. Найти переходную фупкцшо пуассоновского процесса, рассматривая его как марковский процесс. 10.244. Пусть нс„т ) Π— впперовскнй процесс. Найти переходную функцию процесса ~с = и „1( О, рассматривая его как марновский процесс. 10.245. Пусть ис„т ) Π— впнеровскпй процесс. Доказать, что сасс! — марковский процесс. Найти его переходную функцию. 10.246. Пусть н, — пуассоновский процесс.
Найти Е([нс — н,]"), и = 1, 2, ... 10.247. Пусть п„г) О,— пуассоновскпй процесс с параметром ). Доказать, что распределение и, — М/уХ8 слабо сходится прп т — к нормальному распределению с параметрами О и 1. 10.248. Показать, что если стационарный процесс является гауссовским и марковским, то его ковариационная функция имеет внд се-"", а ) О, с ) Π— некоторая постоянная. 10.249. Пусть са. — винеровскпй процесс, ьс = е 'ис,,с.
Показать, что $с — стационарный марковский процесс. Найти его ковариационную функцию и спектральную плотность. 10.250. Пусть т(а) — момент первого достижения винеровскпм процессом и, уровня а. Положим опарный процесс. Найти его ковариационную функцию п спектральную плотность. 10.254. Пусть ...
$ „$ „З„$ь $м ... — независимые одинаково распределенные случгчные величины, такие, что Е5з = О, ЕЯ = оз. Положим ц„= $„+ ~ -~+...+$.-„(п = О, ~1, ..., лз = сопз1). Показать, что последовательность (ц.) образует стационарный процесс. Найти ковариацпонпую функцию этого процесса. 10.255. Пусть ...ф-„$-о $„ф„$„... — независимые одинаково распределенные случайные величины, такие, что Е~з = О, ЕЯ=оз. Положим ц„=сД„+...+с„$„, и=О, ~1, ..., где с„..., с — произвольные вещественные числа, и фиксировано. Показать, что последовательность (ц„) образует стационарный процесс и найти его ковариациопную функцию. 10.256. Показать, что функция г((()=о'е- "'сов рг, где а, 5 н о — некоторые положительные постоянные, моязет быть ковапиацнонной функцией ненрерывпого и стационарного в широком смысле процесса. Определить спектральную плотность, отвечающую такой ковариационпой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
