А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2.100. Равенств» Е$0 ЕЕЕ««эквивалентна равенству Е($ — а)(д — Ь) Е(2 — а)Е(т« — Ь) для любых а и Ь (проверяется непосредственно), поэтому достаточно расгмотрет1 случай, когда каждая иа величин Е и и принимает два аначепяя: 0 н 1. 2Л01. Воспользуйтесь задачей 2.126. 2.102.
Случайные величины «р($) и ф(т«) независимы (задача 2Л26). 2ЛОЗ. Пусть Аь ..» А„— произвольные борелевские множества па прямой Р(4эехА« " йищА»)=Р/(« ~$« за ]~" ~ П ($» *ь )) 1а ь» (объединение берется па всем влементам множеств А»,,„А положительной вероятности). Значит, Р ($т «и Ах, . ..
$» ех А„) = ~ ~ ... ~ ( « = ль ° ° С» *ь») а« эт э» ,~~~,~~ . ",~~~ Р (С = э,) ' ° " ' Р (~ *э„) аг аз ь» - ~3 (~э = 'э«) ... ~ (э = э») = Р (с, = А,) ....Р („„ щ А„). 2.!04. На вероятностном пространстве «П, лз, Р), где П (1, 2, 3, 4), эз — множество всех подмножеств Й, Р((1)) = Р((2)) Р((3)) Р((4)) = -1/4, случайные величины ф и П определим следующим образом: 2(1) =- 2(2) 1, $(3) $(4) О, т«(1) т«(4) = 2, т«(2) = П(3) 3.
Лспо, что $ в т«независимы и Р(2 < т«) 1. Коли же дополнительно известно, чт» чля любого а > 0 Р(2 > а) > О, то 2 и т«обязательно зависимы. Действительно, существует событие Е единичной вероятности, такое, что Е П А = 2«7 Глава 3 0 при .<О, 0 при .г<0, 3.1. а) Е(х)/ В($<х)= х прп О <х<1, б) Е(х) = »/х при О<а<1, 1 прп х>1; 1 прп х> !", О прп х<1, О при х(0, 2 в) Е(х) =- 1, -г/< при > 1; г) Е(х) = — агсегд при 0 « ! 1 при х>1; / 0 при х< — 1, ! ! 4/3 — т .г прп — 1 < х < — 8/27, д) то же, что и в а); е) Е(х) = ( 2/3 прп — 8/27 <.г <О, ! 2/3+ 1/Зх при 0 < х < 1; 1 прп х>1, 0 при гк) Е(х) = 1/2 ирп 1 при 0 3.2.
а) Г(х) = х/2 1 х < 1/4, 1/4 < х < 1 „ х >1. при а<О, прп 0 <х< 2, при х>2; !/2 при 0 ( г(2, / (х) = =( 0 при остальных х; 0 при с<0, х /2 прп 0<х~1, (2 — х)з 1 — 2 при 1~(х< 2, 1 при х>2, 0 прп х<0, х>2, /(х] —. х при О < <х а. 1, (2 — х при 1<х<2; б) Е(х)= 14 х ~1+ »и — ) при 0 ~ (х (1, 1 )и — прп Оз х(»1, 0 при х<0, х>1, в) Е(х) =- 0 прп х<0, 1 прп х>1, В случае б) случайаые величшпл 3 и д пезавиеимы, в случаях а), в) аависимы.
( 0 при х<0, 3.3. а) Е(х) = ~ха/4 при О< х<2, при х> 1, ' х/2 при 0(х<2, / (х) = 0 при х<0, х>2; 2!8 (ю: $ > а) П Е ~ В Й Е (ю: г) > а» П Е (для люГ>ого а > 0). Выберем а достаточно большим, чтобы Р(А) < 1. Тогда Р(ЕАВ) = Р(АВ) = Р(В) ~ чьР(А)Р(В). 2Л05.
Да; нет. 2.106. От условия равновозможиости отквзатьсл, вообще говоря, иельзя, например, А~ — — Аг = (), Аз = Аг = Е/. 2Л07. Нет, Так, любые два равиовозыожяыл события симметрячпо зависимы; любые л попарпо непересекающихся раеиовозможныл событий симметрично зависимы. 2Л08.рассмотрпте события В. =(при извлечении я шаров гой..., !112'' гю ..., / -й шары оказались белыми» и покангите, что при фивспроваипом ж все опи равповероятвы. 2.!00.
Воспользуйтесь задачей 2.30. х<0, о<~ х>1, /2(! — х) при 0(с<1, 1( )=- 0 прл а<и их>1. лри х<О, при т <О б) Г(х) =- .тзс4 ппи 0<.т<2 при х> > 2 ° 1 ри >2. 0 при а<0, х 3 б. Г(х) = 1 — — агссоз —., прп 0 <х< 2 л 1 прл >2. 36. а) Г(х]С(е), б) ! — (1 — Г(х — О)) (! — С(т — 0]), а) Г( '" 1С (х), / г) 1 — /1 — Г /'") Г, — 01) (! - С ( — О)).
х 'е при х>О, з и — з -а~! х 1(х) =-:) 0 ирн х <0; — а!а 3.7. з) Г(х)= 11 — е пРи х>0, 0 при а<О, 1 — —.е ах при х>0, б) Г(х) = —.еах и и,<О, ) Г( ) (! е х)~ е ) 0 1(т) =- —.е 2 при х>0, при х <О, з *) — „ з ар" + —.* е (1 — е а') при х>О, х аз ае "'(! — е !(х)= прл х<0; -а(х ! «) ~! — е при х>0, 0 при х<О, -а/хнг х) е ' ! ' при х>0, при х< 0; а — (х-3! д) Г(х)= 1 — е з при х>~З, 0 при х< 3, ) Г( ) /1 — е ах прн х>О, О при х<0, 2!9 0 при б] Г(х) = 1 — (1 — х] ири 1 прн и 2 3.4.
а] Г(х) = — агсз(ив 2 1 а / и ---(х-з) т(х) ~ 2 е з при х>З, 0 при х<З; ие ае прл х>0, О нри х< 0. О, х< — 1, Ь . З.8. гз) г" (х) 2 г'х + 2 , ( х ] < 1, х>1, ( 1 2' у(х) =- ~ О, ]х]>1; О, х< — 2, г х 1 — — — †2(0, 8 2 2' хт х 1 8 2 2 — — — 0~,:х<2, 1, х>2, ! — — — ]х(<2, 4 О, ]х])2; б) г (х] = в) г"()= х О, < — 1, "гз т( ~ о (угг'« ~ )е' ~(л- (т(' ' 1,],]>1, О, х< — 1, ,) р(.) =- 1 — ~1 — — '(х+1)~](1 — 1 (хз'2+1)), ].]<!.
1, х > 1, 1, 1, 1 + х 2 г 2 + ( х ( < 1 )()= О, ]х]>1; О, х< 1, ! (х — 3] (1 1« 5 д) Г(х) = —,~ 2 /+ 2, 1<~2(~5, ! (х] = ~ ' х<1 их>5; 1, х>5, О, х<0, 2 х х — — 0<х<2, с) Р (х) = , — '†, 0 ~ < 2, у(х) = 2 ' О, х < О и х > 2. 1, х>2, 220 — Л 3.9, —,е "Г (х«, гдв ( '(х) — фуггкцня, обратная и г'(х), а Г(х) — произ' ( /' (.г) ] водная У(х). 3.!О.
Соответствующпс функции раснрслслснвн равны а) рр(х] + + дО(х), б) р(х) (р+ д()(х)), в) г(х) + дб(х) (! — Р (х)). Получим, наИ[~ИЛГ~ Р, вырагксннс а): Р(аь+ (1 — с]з) < х) = Р(дь+ (1 — ~]з) < х (Г = = 0)Р(ь = 0) + Р(ьгь+ (! — ~)г! < х(ь = 1)Р(5 = 1) = Р(Ч < х)д + Р(2 < .
х)Л = рг" (х) + дб(х). В случалт б) и в) выкладки аналогичны. 3.1!. Р(Ч = +!) = Р(з] = — 1) = «(2. Для доказательства применим индукцнго: Р(„„1) = ! („„=«(5„= «)Р( „=-!) еРР()„=1]5„= «]Р(5„=' 1 ! 1 1 1 (з)аз 1)Р( л 1)+ Р(Чн ! — 1)Р(5л 1) 2 2 + 8 ] 3.12. а) 5!огкно (с= 2), б) пельзн (интсграл раслодитсн), в) мощно(е = — 3 ) ° ЗАЗ. Положим А, = ((х, у): гр(х, у) < 2) Тогда Р(Д, Ч] «и А,) = Р((Ч, $) ~ А*) = Р(Р(Ф, Ч) < 2).
Отказаться от условии неаавнснлюсти пельзлг достаточно в качество 3 и т! ваять случайпыс вс;шшны из а) и д) задачи ЗА и пололзить д (х, у) = х(у (сз(5, с)) и ср(гь ь) заведомо имеют в этом случае разлнчпые распределепая, так как Р($/ц ) 1) 1/3, Р(ц/$ ) Ц 2/3. ЗЛ4. Воспользуйтесь тем, что слу- чайные велячяны 3 я — $ одинаково распределены.
ЗЛ5. Первая часть задачи тривиальна. Обратное, вообще говоря, неверно, напрямер, если в качестве ве- роятностного пространства взять отрезок [О, Ц с с-алгеброй борелевсках под. 1 множеств и мерой Лебега и положить $(ю) ю, Ч (ю) 2 (1 — ю). 3.16. Возь- мите в качестве вероятностного пространства отрезок [О, Ц с а-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, 3.17. Функция распределения Г(х) имеет конечное число точен, скачок в которых р = Г(х) — Р(х — 0) удовлет- 1 ворпет неравенству — ь+,< р<,— „, /с 1, 2,,...3.18. Может (можно, напра- мер, занумеровать все рациональные точки и припасать точке с покером я вероятность 1/2").
3.19. Пусть х„хь ...— точки разрыва функции Р(т) (их число не ботев чем счетно). В качестне Р,(х) возьмите функцию, изменяю- сцуюся скачкамп в точках тэ хь .. так, что Гз(х;+О) — Рз(т; — О) 1 =- — (Г(хс+ 0) — Г(хс — 0)), где аз — суммарная величина скачков функции Г(х). Покажите, что функция Г(х) — асГ,(х) пепрерывна а монотонно не убы- мает. З.ВХ Покажите, что функция Н(х) непрерывна справа, удовлетворяет соотношениям !!ш Н(х) = О, !!ш Н (х) = 1 и монотонно не убывает. х"~ О х 3.21. Случайная величина ц принимает два значения 1 и — 1 с вероятвостямп (Г(х) при х~О, 1 — Г(0) и Р(0) соответственно.
3.22. С (х) = [ 3.23. НуасО прп в<0. яо доказать, что для лсобого е ~ 0 существует 6 ) О, такое, что для любых *, и хь удовлетворяющих условию [хс — х,[ < 6, выполнено неравенство (Р(х,) — Р(хз)( < е. Фиксируем произвольное положительное е и выберем е е А ) 0 столь большим, чтобы 1 — Г(А]< 2 и Г( — А) < 2.
На отреаке [ — А, А) функция Р(х) равяомерно непрерывна (функция, непрерывная па компакте, равномерно непрерывна). Возьмем 6 из определения равномерной е непрерывности Р(х) на отрезке [ — А, А) с заменой е па 2 Вслп х„хещ сы [ — Л, А), то все очевидно, если х, <Л, х,>А, то [Р(х,) — Г(хВ[ < = (Г(х,) — Г(А) [+ [Г(А) — Г(хз) [ < еит.д.3.24.
Пусть т)э —— 2 + „,+ —. 2 2п 1 1 Покажяте, что т! принимает вначенпяО, — „, — „,..., з с вероятвостямайе иаждое (воспользуйтесь индукцией). 3.25. Рассмотрите вначале случай, когда Р(х) монотонно возрастает н положите /($) = Г-с($). 3.26. Воспользуйтесь следующими соотношениями: ~ /2 (1 — 1) „2! — 1! (6 =О) — П ~ <ь„< ), с=! з" с/2! — 1 2/т (6„= 1) - О ~:„< $ < — „). 2" 2" ) 3.27. Независимость случайных величин Зь $ь ... слндует из независимости случайных величин бь бь ... (см. предыдущую задачу); равномерная распргделепность на отрезке [О, Ц каждой ьс следует из задачи 3.24.
3.28. Рассмотрим случайпусо величину $ = аь Очевидно, 6 имеет равномерное распре- 6, 6 6„ делсшсо на отрезке [О, Ц. Пусть С =. ++ 4 + ... + — „„+ ... — двоичное 221 разложение $. Тогда (задача 3.27) величины бт > ( т 4 е 2 4 взаимно независимы и каждая равномерно распределена па отрезке [О, 1].
По в силу задачи 3.25 существуют борелевскпе функции />(х), /,(х), ... такие, что случайные величины />(3>), /,('„), ... ппеют функции распределения г">(х), д,(х)... соответственно. далее, поскольку />($>), />(4>), ... являются борелевркпми функциями от незавпснмыл случайпьп величин, опи независимы. 3.2>У. Для того чтобы функппя П(х) являлась функцией распределения, необходнио п достаточно, чтобы выполнялись условия г" (О) = О, Е(1) = 1. 3.30.
В качестве р(х) и 1(х) можно взять функции, опредслепнь>е следующим образо>>: р(х) 1 на отрезкак [ — 1, — 1/2] и [1/2, 1] п р(х) = О в остальпых точках, у(х) 0 при х < — 1/2, у(х) = 1 нри х > 1/2 и у(х) линейиа на отреаке [ — 1/2, 1/2]. Легко задет>«что д(3) принимает значения 0 п 1 с вероятпостямн 1/2 каждое. 331. 1>слн Л замкнуто, то можно положить Е = Л п С =(х> зпр[х — у[< 6~ при некотором б ) О, поено»ы>у последние мпозпл >кестеа убывают при монотонном стремлсплп б к нулю н в пересечепнп дают А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
