А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть Г(х) — фупнцнл распределении случайной величины Е. Имеем Е! 9+ т))г =-- ] Е ! х+ Ч )г т(г(х) ) ~ ! х ]гт)г"'(х) = Е ! ть!'. ЗЛЗО. Испольэунте задачи 3.119, 3.127 — 3.129. 3.131. Не огранлчпвак общности, можно считать, что 2 припимаот целочисленные знзчеиил. Пусть а = (ЕЦ (( ) — дробная часть) и Ь =1 — а и пусть длл определенности а < 1/2.
Тогда 2ть-щ,= а" '(2« — 1) Х Х Р(З = [ЕЗ]) + (а + 1)" г(2(а + 1) — 1)Р(Е = [ЕЬ) — 1) + Ьг '(2Ь вЂ” 1) Х Х Р(Е = [ЕЦ + 1) + (а+ 2)" '(2(а+ 2) — 1)Р($ = [ЕЕ! — 2) + (Ь+ !)ь-' Х Х (2Ь вЂ” 1)Р(э = [Еэ] + 2) +... В написанной сумме все члены, кроме первого, пеотрпцательны. Если Л = аь '(2а — 1)Р(2 = [ЕЦ) + Ьт '(2Ь вЂ” 1) Х Х Р(2 = [Е$] + 1) ) О, то утвержденпе становится очевидным. Пусть й < О.
Тогда, учитывал, что 2а — 1 1 — 2Ь, получаем аз-'(2« — 1)Р($ = [ЕЕ]) + + Ь'-'(2Ь вЂ” 1)Р(1 = [Ей]+1) ~ Ь" 'Р($ = [ЕЗ]+1) — а"-'Р(«[ЕЦ) ) ) а«-г(Ь.Р(1 = [ЕЦ+ 1) — «Р(Е = [ЕЕ]))) ЬР($ = [ЕЗ] + 1) — аР(2 = [ЕЕ]). Окончательно получаем 2од — оз-~ ) ЬРЙ = [ЕЦ + 1) — ар($ = [ЕЗ)) + -)-(а+1)" '(2(а+1) — 1) Р(1 = [92] — 1)+(Ь+1)з '(2Ь вЂ” 1)Р(З= [ЕЕ]+2)+ ... ) ~ ЬР(1 = [ЕЬ] + 1) — ар(З = [ЕЕ]) — (а+ 1)Р(В = [ЕЗ] — 1) + (Ь+ 1)Х Х Р(4 = [ЕЦ + 2) + = Е($ — ЕЗ) = О. ЗЛЗ2.
Воспользуйтесь неравенством 1 -т 1 1 = ~Е =']/Е/1 < Š— Ес (задача ЗЛ!7). ЗЛЗЗ. Воспользуемся предыдущей — .[,г- «/-- 1 Е$' задачей. Инеем Š— „= Ез"Š—,) — „. 3.134. — 1/5. Это частный случай слет!" т!' Ец" 10 Л. Н. Прохоосз и лу. 229 Р,Р! дующей задачи. ЗЛЗЗ. — !/ 1 1, !, / =1, 2, ...,т, 3.136. Исполь- 1/ ('-Р,)!'-Р/)' ' ауите неравенство Коши — Буняковского. 3.137. Пусть веролтностнее врострапство (лл,,Ф, Р) представляет собой отрезок (О, 1] с о-алгеброй бореиевскпх подмножеств и мерой Лебега Р.
Тогда случайные величины при О < ол < 1/4, 0 при 0< ол <1/2, — 1 пРи 1/4 < от<1/2, п Ч = ~ 1 пРп 1/2<в(3/4, 0 при 1/2<от<1, — 1 прп 3/4 < ы < 1, очевидно, некоррелировапы, но зависимы (так как Р(5 = 1, т! = 1) = О, но Р(3 1)Р(Ч = 1) 1/!6 ) О. ЗЛ38. дто следует вз 4юрлгулы для дпспеРсви сУимы: 0($ +... +$о) = ~Ел,' 0л,.+2 ~Ч~Д соч($Р 5,), 3.139. л~/ ЗЛ40.
з л 3.141. Р'. ЗЛ42. Положим Ч!= — „,! = 1, 2, ..., в. Тогда р ЕЧлЧ., ! ~ /, и ЕЧз =1. Имеем 0 ~ Е(Чл+ ." + Чо) = Е (Чл+ ° ° ° + Чо) (Чт + "° + Чо) = / о о = Е ~,'У', Чт + ~ т!,Ч ~ = ~~т ЕЧт + ~ Ет!;Чр сй/ 1 откуда я(л — !)р ) — и пли р> —,—,!. 3.143. Нет. ЗЛ44. Да. Легко видеть, что ЗЧ принямает значенив — 1, О, 1 с веролтпостяии !/4, !/2, !/4 соответстзоппо. Имеем Р(ЕЧ = 1, т! = 1) = Р($ = !, Ч = !) = Р($ = !)Р(т! = !) = !/8 ~ ~ !Дб = Р($Ч = 1)Р(т! = !), т.
е, Цт~ и т! завкгимы. Очевидно, Ефп = 0 и Ет! = О, яозтому соч(ЦЧ, т!) = ЕЦЧЧ = Е5л!л = ЕЗЕЧл = О, т. е. $Ч и т! пекорреллгрованы. 3.145, Достаточно показать, что гоч Я, ыЗп 4) л О, Иллоелг соч (С, злЕп Ц Ефз!Зп 4 — Е$ Ез!Еп 5 = Е/$! — 64 Ез!Зп $. Остается воспользоватьсл неравенствами !ЕЗ! < Е/Ц! и !Ез!Еп В! < !.
ЗЛ46. О Достаточно показать, что сот($, /$!)= О. Иллеемсоч(5, /Е)) Е$Я! — ЕЦЕ(Е) = 34!4!.Далее, $л и з!Еп $ независимы (действительяо, для ллобого х ) 0 имеем Р(с ~х, з!Еп $ = 1) = Р( — )/ха,~ <')/*, ~) О) = Р(О < ь < )/х) = —. Р( — 1/х<" < ~ )/х) = Рф ~ х) Р (з!Еп 4 = 1)) п ! $ ) = $ в!Зп $, позтому Ей ! $ ! = Ефт елйв $ = = ЕЕ"ЕзлЕп 3 О. 3.147. Нужно доказать, что для любых вещественных Ль я з ..„Л„~~ зт' по)л,./л )О. Имеем л=л/=1 я и е о / о Чз о .)л 3/= ~чд~ ~д~ е(ф, — еф )($/ — еф ) х,Я~.= е ~ ~~ (5,— е$,) ъ.~ ) О, ЗЛ48. Ь вЂ” а(а — (!). (сочЯ, з!Еп ф) = Ейз!Дпз — Еф Ез!Еп ф = Е)Ц) — ЕЕ )4 Х Е з!Еп $ Ь вЂ” а(гл — р)).
3.149. Положим Зл ьл — ЕВь ! = 1, 2. Имеем соч (Ч„Чз) = Е (Ц + Ц,) (Гт — Ьз) = Е ($~ — Ет) = 0$ — 05 = О. ЗЛ50. Используя неравенство Коши — Буняковского, получаем Ежах(ь,Ч) — Е 2 = " 2 -!- 2 Е) ь — я((ь ! Ч( з з )о +Ч )+)ч — Ч ! Ей +ЕЧз 1 1+ 2 Е)$ — Ч ! ! ~+ т!(~1+ — т Е(5 — т!) Е (5-!- т!) 1 з 3 230 = 1+ 2 ~(ЕЗ + Ес! — 2ЕйьЕс!) (6$~+ Еда+ 2ЕЗЕН) = =1+ )/(1 — р) (!+р) =1+)~1 — рз. 3,!51. а) Да, 6) вообще говоря, нет.
3.152. Нет; сот ($+ ь, с(+ ь) = Е(2-!. Г) (с!-(-6) — Е(2+6)Е(Н+ 3) = Е~! — (Е~!) СЗ~ > О. ЗДоЗ. О. 3!54. Р(В = й)=-Р(% =1) Р(5 >й)+Р(Ес>й)Р($з =й) =Рсо! ~ Рзоз+ !=А+! с=й й! Параметр распределении $ равен рсес+ Рсз! = 1 — ниуь 3155. а) ь 6): Р(3=л+!', 2>й) Р($=и+й) Р(сь — -и+а)сь>й)Рой)'Р(с> (1 — р)" +" р — А+! — (1 р)" Р = Р (аь = л). 6); а): пусть (1 — р) р + (1 — р) р + ... Р Д=л+й, 2>й) Р(5 = л+ й) р„= Р(3 = й). имеем Р Д=-и+й)$~>й)— Р (о > й) Р (3 > сс) рл+й Р + + —— р„. Положим и = О, й 1.
Тогда,, р Рй+ РА+! + ° ° . Рс+Р +... о Ре нлп Р! = Ро(рс+ Рс+ ...) =РАИ Ро) Прн и = 1 й 1 =Р =Р (1 — Р ) ро нлп р! = Ра(1 — ре)' и т. д. Окончательна получаем р! Ра(1 — ра]' для любого С = 1, 2, ... 3156. ПУсть О~ С!с-и. Имеем Р(6 = й) 6 -(-6 =л) = (5 -й 2+5 ) (а Ч (3 ° ),(1 —,),И вЂ” ) ° Р(ь +ьз ") Р( +аз и) ( з ) Р (1 — р)" + „ „, откуда видно, что правая часть не аависит от й. (-! 'з 1 3 !57 Р(!) = О) = ~, Р(д = 2сс) = О, Р(с! = 24+ 1) рдм+!. ЗИ58.
Пусть 1+ с(' З = $с+ Зь где Ес, Е! независимы н принимают целые неотрицательные знасенкя, а " имеет бнномиальное распределение с параметрами и н р. Пусть принимает аначення О, 1, ..., й. Тогда, очевидно, Е! принимает значения сс, !...,, л — 'й. Положим рс = Р(Е! — — с), дс Р($с !). Из равенства Е = Зс+ + 3! имеем ~ р!с! 1= С,',рс(1 — р)" ', С = О, 1, ..., и.Понажите, что но- !=а следняя система уравнеянй (относительно рь ..., Рй, Че, ..., д -й) имеет единственное решение. 3.166.
Имеем Л" — Лс((Л вЂ” Л )", поэтому А ! й=! й=! й=! й=! й=! 3.!62. достаточно показать,что Р(3! ~ с) ~ Р(Ес( с). Имеем Р(6 ~с) «з суо! оз с!оа 16" 231 » вт 1 ),»2 е»!а Р ( ( !). ЗЛОЗ. е деление случайныл величин 2~ + 2» и !т-ай 1 еа» е »а Пайдитс совместное распре- ЗЛ64. Р (е!Зи 2= — 1) =- »1 — а1» о Р(з(йп2= 1)=— 3.165.
Показательное распределение с параметром 1/2, 3.166. хс прн х)0 п 0 нрн х~О. 3.167. „е» прп х)0 и 0 при -" '"1-') в — -1 а †,, т. е. Распределение с плотностью ас-(- Ь а»+Ь Ь л(а +Ье)((х — —., ~) + е») 3.!70. Погистнческое распределение с параметрами О, 1, т. е. распредслеипе с плотностью е"/(! + е*)'. 3.!80. О, О. 3.!ЗП !аспределевие с фуикп»ий распре- деление 1 — х»/ при Г(х) = 0 прп х)1, ,т ( 1 е-т~ ( ьи — !) -т~ (1 — е-ть) (раслреде»е»»ие Паре» а с варана»ром !/Д).
3 !62 а 232 х < О. ЗЛ66. е прп х~ 0 и 0 прп х < О. 3.169. /( — нормаль- а 2' Г(~.) нос распределение с математическим ошиданнем Ь вЂ” а и дисперсией пз — о . т з Пеобдодимо выполнение условип а",,) и',. ЗЛ70. й — равномерное распределе- 1 ! ( — !их)" нне иа отрез!»е(л, л+2 ( 3.171, ! при 0( х ( 1 и 0 при остальных х. и.
ЗЛ72. Распределение Пуассона с параметром Х, 3.173. Показательное распределение с параметрол» Х. ЗЛ74. Равномерное распределение на отрезке (О, 1) (ср. с вреда»дущси задачей). 3.!75. Имеем при х>0. Р(и»зд($», ..., Ее)( х) =- а =ПР(5»(х) =(1 — е т"")". Отсюда плотность распределении шах(йь „2„) раева нйе ' (! — е ь»)" ', х ь О. Далее, зь 2»/2.
е»/3, ° .. — независимы и пои»- зательио распределены с параметрами )„2)„3)», ... соответственно. Искал»нте по иадукниа, чти плот»1ость расиредолеппя 21+ 2»/2+ 2»/3+... + 2„/а равна л)»е ' (! — е '")" ', х О. 3.1»6. Н и»а»вите, что функция Р(х) удовлетворяет диффереиипальиому уравнешио /" (х) = а(! — Ь»(х)), где д — посто- аннан. ЗЛ77, Распределение Ноши с параметрами О, 1, то есть распре! деление с плотностью» ЗЛ76.
Распределение Коши с параметрами л(» + 1). 3.183. р(х) = рг при 1< х < г+ 1, ! = О, ш1,... ЗА84. Плотность распределе- 1 лия суммы $+ ц равна вулю вяе отрезка [а+ с, Ь+ 4], равна л— ва отрезке [с -(- Ь, а+ А] и ливейка па каждом из отрезков [а+ с, Ь+ с] и [„( л Ь.(,1] 3183 — с-(х(((х( ) 1) 3.186. В обоих случаях вероятность 1 4 равна 1/2 (покажяте, что распределение случайной величины Ь' — а' симметрично относительно пуля). 3.187. Имеем Р($+г) = а) =1 пря некотором а.
Предполояшьп что $ имеет вевырождеввое распределение. Тогда существуют два иепересекающихся отрезка [а, Ь] и [с, г(] (А > с > Ь > а), такие, что Р(а < $ < Ь) > О и Р(с ~ $ < А) > О. Далее, для любого с ° О, очевпдпо, существует отрезок [Л, Л+ е] длияой е, такой, что — ь Р(Л < д < Л+ е) > О. Положим с = 4 . Тогда Р(а+ Л < а+ д < Ь+ Л+ + е) > Р(а < $ < Ь, Л < г) < Л+ с) = Р(а < К < Ь)Р(Л < г) < Л + е) > О и ЗЬ с апалогпчно Р(с+ Л < 4+ г! < Ы+ Л+ е) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
