А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 48
Текст из файла (страница 48)
НоЬ+ Л+ е = 4 + Л+,1 < < с+ Л, т. е. отрезки [а+ Л, Ь+ Л+ е] п [с +Л, А+ Л+ е] яе пересекаютгя. Следовательно, распределение случайной величины $+г) певырождеио. Противоречие. Если 2 и г) зависимы, утверждение перестает быть верным. Пример: г! = — $ и $ имеет вевырождеппое распределение. ЗА88. Р(г) = О) 1. 3.189. 223 раза. Воспользуйтесь симметричностью распределения суммы выпавших очков отлосительво ее математического ожидания. ЗА90.
В частности, зто следует из коммутативвостя п ассоциативности операции сложения случайвыл велячив. И91. Укажите счетное множество, такое, что сумма скачков свертки в точках атого множества раева едипице. 3.!92. Пусть г(х) и С(х) — две функции распределепяя, причем г"(х) непрерывна. Тогда (см. задачу 3.23) г"(х) равкомеряо непрерывка. Следовательно, для лгобого положительного е существует б > О, такое, что если Лх < 6, то ]г" (х+ Лх) — г (х) ( < < с прп любом х. Имеем ~Ю П .
а Р* ~ Ь.У вЂ” . а М ~ - / ! Г Р. <. Р. — > С Х вЂ” ( Его — П аС ° )! С вЂ” О -ОО Ю ] (г" (х+Лх — 1) — г" (х — 1)[АС(1)~е ] АС(Г)=е. 3393. Пусть Р = 0 ° и в 0 абсолютно непрерывно, т. е. 0(А) = О длл любого борелевского мпогкества А, имеющего нулевую лебегову меру. Имеем Р(А) = = ] 0 (А — х) АР (г).Но если А имеет пулевую чебегову меру, то А — х такгке имеет яулевую лебегову меру прп любом х, следовательно, 0(А — х) = О прп любом х п, авачвт, Р(А) = О. 3.194.
Приведем докааательство для случая л = 1. Пусть Р(х) л раз длфферепцпруема. Имеем р а С (х + Л П вЂ” г" а С (.г) !" р (г + Л.г — 1) — г' (х — г) и ' = и 1 г(С (г) ах- е *х е О !! Р'+Лх " Л' " АС(1)= [ р'(* — !)АС(Г). Ьх с Лх -Ю -40 233 симметрична ) Р(х — à — 0) 8С(1) = ) (1 — Р(х — 1 — 0))»С (Г)= ) Р(х — 1) 8С(1)=Н(х). » 3.196. Рассмотрите свертку двух одинаковых распределений с плотностью 5 при — 1/30 < х < О, 5 р(х)= 1 при 0<в< б, 0 при остальных х.
ЗЛ97. Пусть Р,(х) и Р,(х) — симметричные одповервтянпые функция распре- деления н Р,(х) = Р~ в Р,(х). Условие одновершинпости функции распре- деления Р~(х), 1 О, 1, 2, (с учетам ее симметричности) означает, что для люоых т~ >ха>0 2 (Р,(х )+ Р,(х )) к:Р,. ~ 2 ) Положим Сь(у) = 1 Р (у) — 2 ()т (у+)г)+Р (у — 5)). Нетрудно проверить, что Сл(у) = — Сз( — у), Сь(у) а(йп у ) 0 и что 8(Рт(у — х) — Р,(у + х) ) ) О, х » О, у ) О.
Положим х~ = х + 6, хт = х — Ь, х ) Л ) О. Тогда, очевидно, »Э С,(») 8(Рз(» — х) — Р,(»+х)) > О. е Используя определение функции Сь(х), можно преобразовать зто неравенство к виду ) ~ — (Р (х — »)+Г (х — и))»Р (») = — (Р (х )+Р (т)) Последнее неравенство с учетом симметричности функции распределения Р,(х) означает, что Ре(х) одповершинпа. 3.198. Положим ь = 2 — т(. ~ имеет непрерывное распределение (см. задачу 3392), то есть р(Ь = х) 0 для любого х и, в частности, для х = О.
3.199. В силу симметричности распределений одновременно все 8 комбинаций ~Ь ш $т*$з с вероятностью едяннца ограничены по модулю числом М, а среди пнл есть и сумма модулей. 3.200. а) Неравенство г($~ +... + $ ) < г($~) +... + з(2») очевидно. Докажом, что х(2~+ ° ° + 2») ~ з($~) + ° .. + х(2»). Фиксируем произвольное е > о. Имеем Р ~Ц ) з (2,) — — ) ) 0 и, следовательно, п / г 1 р(с +...+2„) (2)+...+з( ) — е))Цр~2;~х(с) — — „))о, 1 1 т. е. з(Ь+... + а,) )з(2~) +...+з(а ) — е.
В силу произвольности в ог сюда следует нужное неравенство. 234 3.!%. Пусть Р(х) и С(х) — две функшти распределения, причем Р(х) симметрична, т. е. Р(х) 1 — Р(х — 0), Докажем, что Н(х) = Р в С(х) также Имеем П(х) = ) Р(х — 1] 8С(г), 1 — Н(х — 0) =!— О б) Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте, показываем, что т()$<(+... + ($»)) = з()зт() +... + з()з„(), откуда з((4<( + ...
+ )Ь () з()ь<)) + ... +з()2 <) = з($<) + ... + з(Ь) = з(5<+" + 2 ) В случае, когда Е< зависимы яли не явллются симметричными, равенства а) и б), вообще говоря, неверны. 3201. Неравенство з Я<+ ° + $ ) < з($<)+ ° ° + з(5») очевидно. Докажем, что з(Ь, +... + ф»)) ) з(5<) +...+ з($ ). Фиксируем произвольное положительное е ) О, Имеем е 1 / е) Р () 3, ~ > з (К<) — — ~ ) О и, таким образом, либо р( з< > з($<) — — /1> О, либо ет Р(ь« — з(з<)+ — „~)О. Пусть, например, выштлнено первое неравенство. Тогда » е т Р(з,+" +5„> (з,)+" + (5„) — е)>ИР(1,) (0,)- — „~ >О.
< т В салу произвольности е отсюда следует нужное неравенство. 3.202. См. вада. чу ЗЛ83. 3203. Пусть А = ($ > Ч). Тогда Е(а+Ч) * = Е(э+Ч)" /А (" /х\') .)- Е (~+ Ч]001 < Е Щ]<хт+Е(2Ч)<х) = 02$~ /+ Е2т) 2йЕ5 + ЕЧ / л (мы воспользовались тем, что (сз)< 1 = сз /. 3.204. Предположим противс пое: Р ( ь, )» — „1 ) О. Тогда Р(Ч ) с) ) Р($< ) с/л, ..., Ь» )» с/л) = Р(Е< ) с/л) ° ... ° Р(Е»;и с/л) ) О. Противоречие.
3.205. Поскольку Р(2< 0) < 1, существует положятелытое е, такое, что Р() Е<( > е) > О. Но тогда либо РЯ< > е) > О, либо Р(2« — е) > О. с Пусть, например, выполнено первое неравенство. Тогда при л) — Р((Ч„) > с) )» Р(Ч„) с) » >Р(ф< > е, ..., 2» > е) = Р($< ) е) ° ... ° Р(2„) е) ) О. 3.206. Если Р(й« с) = О, то утвержденяе очевидно (яричем в качестве и можно взять л<обое ноложнтельпое число). Пусть Р(2< л; с) ) О. Имеем Р($т+ ... +$„<с) <Р(шах(з,, ..., З«) < с) = т -«<и =Р(5 <с)Р(1 <с) ...
Р($„<с)=(Р($ <с))л=с 3.207. Нет. Пример, $ и Ч одинаково распределены я припимают значепля 1 и — 2 с вероятностью 1/2 каждое. В этом случае Рф+ т) ) 0) = 1/4. 3.208. Прежде всего заметим, что Е< н Ет также веотрицательны, а потому Р($< О) ) О. Пусть существует нецелое а, такое, что Р(Е< = а) ) О. Тогда Р(5 = а) ) Р(2< = а) Р(Цт = О) ) О.
Противоречие. 3.200. Из условия задачи следует, что существуют такие вещественные х, у я такие целые й и л, что Р(ф = х) ) О, Р(5 х+ йа) > О, Р(Ч = у) > О, Р(т) = у+ «Ь) ) О. Ио тогда Р(й+ Ч= х + у) > О, Р($ + т) = х+ у+ йа) > О, Р(й+ т) х+ у+ лЬ) )О. Нужное утверждение следует теперь из того, что йа и лЬ соизмеримы тогда и только тогда, когда а/Ь вЂ” рациональное число. 3.210. Пусть хь ..., х, — точки разрыва функции с<(х), у<, ..., у — точки разрыва функции Ь<т(х) (располол<ениые в порлдке воарастания).
Точками разрыва )г(х) будут те и толь. ко те значеняя х, которые представимы в виде х х<+ ут, 1= 1, 2, » л, 1, 2, ..., т. Среди таких значений не меньше л+ тл — 1 различных, так Пак хт + Ут < х< + Уз < х< + Уз < °, ° < х< + У» < хг+ Ул < хз+ У т « ... 235 ( х + уа, и пе больше чем тл различных, так как всего пз элементов двух множеств, содержащих и и <а влемептов соответственно, можно образовать тп различных пар. 3.2П.
Пусть Р(»), С(х) п )1(х) — функции распрсделеннп случайных величин 2, ц и $+ ц соответственно. Имеем И<х)= ) Р<х — 1)йд(1)= ) Р<х — 1)у<1)аС(х — <) <(р(1) = ) С(х — 1) р(д) <(1. Дифферепцяруя под знаком интеграла, получаем г(х) = ) р(х — 1)1(1) <(1= ) д(х — 1) р(1) <(1. 3.212.. Покажите, что для любых а и Ь, таких, что Ь > а, справедливо Р(а(2 (Ь) > 0 я Р(а(<) ( Ь) > О, н воспольвуйтесь задачей 3.2!1.
3.213. Р($ — т! = О) = ~З~ Р(Ь вЂ” д = О, $ = 1) = Р(5=1< Ч = 0 = Р(ь= ПР(<) = — <) = ~ рз 3.213<. Заметим, <=-- «=-« что случайная величина — ц имеет плотность распределения р( — х), Имеем у(х) = ) р(у — х) р( — х) <(х< откуда д(0) = ) рз( — х) <(» = ) рз(х) <(х.
« 3215. Пусть Р,(х) и С<(х) — функции распределения случайных велячин 3< и ц<, 1 = 1, 2, ..., л соответственно. тогда условие задачи мол<- но васо«ать как Р<(х) (6<(х), 1= 1, ..., и, в докавываемое неравенство квк Р< « ... » Р„(х) а 6<»... » С,(х). Доказательство будем вести по нвдукцнп. Пусть Р<» ... » Рд(х) ( С<» ... » 6«(х). Имеем Рд ° ...«Р„+ (х)= ~ Р «... ° Ра( — 1)<(6д <1)( ) 6 *...*Са(х — 1)<(6аь (1)= = С ...
6„+ (х). 3.210. Пусть Р,(х), Р,(х) и Р(х) — функции распределения случайных величин Ь, ч и Ь+ т) соответственно. Для любого а имеем Р (а ( Ь+ <1 < а+ х) = =Р(а+х) — Р(а — 0) ~ (Р (а+х — д) — Р (а — 1 — 0))<(Р (1) = < Ю ~ Р (а(Ц(а+ х) <(Р (1) ~ ~ 61(х) <(Р (д) = СЬ(х) ~ <)Р (1) = СЬ(х). — < Ю -<« 230 В силу произвольпосги а это означает, что С!+э(х) (Сг(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
