А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 51
Текст из файла (страница 51)
2 . 3.332. Р(г), = /) = 1/Л / = 1, 2, ..., й ! ~ )1. 3.333. а) 1, б) 1/2. 3331. Пусть Р,(х), Р,(х), Рг(х), ... — фупкцпи распределепия случайных величин з)о з!1, з!ь соответственно. Тогда Р(т!„= х) = ~чр~ Р(з!й (х, т = /) = ~~', Р (вй (х) Р(т = й) й=г й=з Р й ( г ) Р ( т / ) й=г откуда получаем Ез! = ~ Еййр(т = й) = ~ ЕЕз) Р(т = Л] = Ей Ет. й=-1 й=т 240 3.335. 0; аг"л!. 3.337.
Воспользуйтесь предыдущей вадачей и тем, что сумма независимых случайных величин, пме|ащих симметричные одновершввныв распределения, имеет симметричное одвовершинное распределение (ввдвчн ЗЛ95 и 3.197). 3,339. Воспользуйтесь вадачей 3.223. 3.340. Прежде всего уточкам формулировку аадачп; имеется в виду, что сворость — случайная величина, математическое ом|пданне которой равно б км/час. 1 Рассув|денпе неправомерно, так как, вообще говоря Š— чь =.
Ес' Глава 4 4Л. г"Е(г); |р(г"). 4.2. а) распределение, припксывающее точкам О, 1, й вероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, б) распределение, припксывающев каждой точке й (й =-О, 1, 2, ...) веронтпость рсг (геометрическое распредвлеоне), в) распределение Пуассона с параметром Х, г) бииомиальное распределение с парамстраг|и р и л, д) распределение, приписывающее вечет2с пым точкаи 2й+ 1 веРоЯтностн г 1 2й . ! четным — нУлевые, е) Рае(,Л вЂ” 1) (2й+ 1 ! пределепие, нрпписывающее каждой точке й (й 1, 2, 3, ...) вероятность 1 1 — г — — — Приведем, например, решение в случае е):1+ — !и (1 г) = й Л -(- 1' ! =- 1 -(- — !и (1 — г) — !и (1 — г) = 1 — — Ул — ' + Р— 1 — У вЂ” + г г ! |+1 | 1 |=з Ю + Р— = лр ( — †.
г'. 4,3. Распределение сосредоточенное в точке 1, 4А. Производящая функция аналитична в области (з( < 1. 4.3. Воспользувтесь непрерывностью произвадя|цей функции. 4.6. Пусть Р(ь О) = О. Тогг да гр(1/2) < 1, гр(1/4) < 1/2, ..., |р(!/2л) < 1/2"-' и ряд ~~~ |р (1/2") сходится. а=х Обратно, если ряд ~ЧР~ гр(1/2") сходится, то длн любого Д| а=| ~ |р (1/2в) ~ )~ЧД~ |р(1/2а) )~ /У Р ($ = О), аья а-:| откуда получаем Р(й = 0] = О. 4.7. О < а/с < 1, — 1 < г//с < О, Ь/с 1 — с/с+ -)- Й/г 4.3, Предполо|кпм, что такая случайная величина Ь существует Обозпачпм |р(г), ф(г) и 7(г) производящие фук|щип Е, ь и т! соответственно. Имеем ч (г)гр(г] = 7(г), (з) < 1, (1) 1 |р (г) = 2 (1 + ) (2) 1 1 1 г 1 +4г+2г+6 (3) Иэ (!) следует, что все корпи уравпспкя гу(г) О явля|отсн одновременно кар|им|и уравнении 7(г) = О.
По пз (2) и (3) следует, что |р( — 1) — а, а 7( — !) = 1/4. 4.9. Предположим, что такая случайная величина ь сущее|куат Оаазпачпм |р(г), 4|(г) н. 7(г) производящие функции 4, ь и |! соответственно. !!меем |!(г)г(>(г) = 7(г), |г( ~~ 1, откуда (Р(г)( > (7(г)( (при всех (г/ -.. 1), но |! ( — 1) = 1/2 < 6/10 = 7( — 1).
4ЛО. Не огРаничпваЯ общности, можно счптатзч ло $ и т! прикипают целые неотрицательные значения. Пустыр(г) =! г == ~ (1+ г -! г / — производящая фущ цпя случайной величины ь + т! и пусть 17ч 247 (р (г) = ч азгь и о (г] =~ ь гв — пронзводящкефуккции 5 п() соответствеп- 1 2 а=-о 1=-0 1 по, Тогда —.(1-(- г+ г ) = ~~ авгв ~~ Ьвг" и значит 0040 = 1IЗ 0~Ь0+ 0001 = !(З, а=о г=о а Ь = 1/3, отиудэ 02Ьт+20 а Ь Ь -(- агЬг = 1(9 == а Ь а Ь, что, очевидпо, ке- 1 ! 1 0 0 1 0 1 ' 0 1 О 0 1 1' возмоткпо.
4Л1. Пусть а("(, а(о(, ... — вероятности, которые Р приписывает 0 точками О, 1, 2,..., а аг, а(,... — вероятпосп(, которые этим точкам приписывает распределепие Р. Достаточпо докааать, что при каждом Ь = О, 1, 2, ... а„" -0 а„ (0! при п -0 го. Па условия задачи следует, что ~ ар г(-е ~~~ а,г( при л-е 00. По(=0 =о ложив г = О, получим 00 -0 ао, и, значит, (в> а(1 !21-0 ~' 0,.11.
(!) (=1 1=1 Пусть а(01,ь а . Тогда существуют б ) О и подпоследовательпость а(" (, такие, 1 что ~ а(" ! — а ! ) б и, следователы(О, СУЩествует подпослвдовательпость 1 1! а(0 ! такая, что либо е(ил!) а + б, либо а(в ((а — б. Пусть, например, 1 1 1 выполпепо первое перавеиство. Тогда при г ) О х, а( г ) а 1+бг+ чт (в"! ( ;=1 б ') +'Ч а(." )г!.
Выбирая г достаточно малым (так, чтобы хч г ( — г, придем з(ы 2 1=2 1=2 к пративоречи(о с (1). Для произвольного Ь до((азательство проводится по ипдукцпп. 4Л2, Р(п(ах(21, ..., Ц~х) = ~к~~ Р(щах(б, ..., 20)(х) Р(т = л) = 0=1 = ~~~~ Р" (х) р (т=-и)= гр (Р (х)). 4ЛЗ. е "0)(а!). 4 14. !( — !) пля, что то (ке самое, )(!), 0==1 4ЛЗ. Воспользуйтесь предыдущей задачей.
4ЛО. Воспользуитесь вадачей 4.!4. 4Л7. (р(!) = ~ сов гх((Р(х)+ 1 ) з!и гх 0(Р(х). 4!8. ))((] Р. 4Л9. В случае а) функция четка, но ке вещественна, в случае б) — вещественна, зо яе четпа В силу задачи 4.!6 такие функции ке могут быть характеристическими 4.20. Пусть )(!) — характерпствческая функция, а Р(х) — соответствующая ей фупю(ия распределении. Имеем )! (т+ Ь) — У (Ц ) ь) ) г(" — 1 ) Л!Цх) = .тЬ ! ! хл! (' ! 171 2 ~ ~з!и 2 ~()Р(х)~(2 ~ ~в!и 2 ~ЗР(х)+2 ~ ~з!и — 2~ЗР(х)+ -А +2~~0!и ~ ~г(Р(х 248 нри любых А, В ) О.
Заметим, что правая часть ве вависит от !. Первый и третий интегралы в правой части могут быть сделаны сколь угодно малыми, если А и В выбрать достаточно большими, а второй интеграл при выбранных И в В может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно малого !!. То есть )Нг+ а) — г(!) ( — «О при а-«О равномерно но !. 4.21.
Нет, поскольку опа пе является равномерно непрерывной (см. предыдущую задачу). — з!и г/2 1 1 м I !ят г гдй ' ) 1+ и в) 3 (1+2е"). 4.23. (Ь вЂ” а) 2 2 !6 а) ) (Я+ ре )", в) ехр(а (е! — 1)), г) ехр Н !— (И (о+ ЬП 2 ц и г! д) (1 ) ) ' е) ехр(грг- ~' ж) р « ') ( ~;,) 4.25.
Ыет. Пример: 2 = т) и 3 имеет распределение Коши с характеристической функцией е !и. 4.26. Необходимость следует непосредственно из определения характеристической функции случайного вектора. Для доказательства достаточности воспользуйтесь формулой обращения. 4.27. Пусть 2! =...
= 8„= 4 н 3 имеет распределение Коши с характеристической функцией е пй Тогда ! (г, ..., Н = Еецгйт"'«~'! = Ее!а!1 =е а!'! = (е щ)а = Ц ! (!), 4.28. Пусть г=! Р, (х) — функция распределения, соответствующая характеристической функции )!(!). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распределенпя С(х) = ~3~ агГ,, (х). 4.29.
Пусть С(л, а) — функция распределения, отав!=! чающая характеристической функции 1(г, а). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распределения ) С (х, а) !)Г (а). 4.30. Имеем 2 г'(!) ~~ )г ОП вЂ” 1=, — и, в силу вадачи 4.28, это — характерп- 2 — 1(!) 2 — 1(!) С !=! стическая функция. 4.31. Воспользуйтесь тем, что Пе((!) = —,(! (!) +1(!)) = 2 1 2 = — (1(Ц+ г ( — !)).
Соответствугощая функция распределения равна 1 "т Г(х) ( х ) 4 уо !) (1 В(аз О))г)н(а) 433 Да 434 Не 2 ограничивая общности, положим а = О. Имеем 1 ! ! ! ~ -~~а-0>-.- ( "" ««)~» «~о ;в Р Я = О) — ~ ~ ег!ХЫВ(х) !) «Р(1 = 0) — ~ ! )е™Х( !)г (л) = Р(с = О) )хко ) Фо — г(Г (х) = Р ($ = 0) — Р (ф чь О) ~ О. 249 435. Испольауйте равенство /(1) = Р() Ь) = а] соз аг+ ~ соз тх Ыг" (х).
436„ )х)тьа Например, /(1) а+ (1 — а) е сост, 0 < а < 1, причем для любого й— ->з 1, 2, 3 ... можно подобрать а таким образом, что /(>) будет иметь ровно 2/> нулей. 4.37. а) Распределение, првписывающее вероятности 1/2 точкам — 1 и 1, б) распределение, прнпнсывающее точкам — 2, О, 2 вероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, в) нормальное распределение с нулевым математическим ожнда- 1 вием н дисперсвей 1/2, г) распределение Коши с плотностью, », д) раск(1+х ) 1 50 пределение с плотностью — е )"> (распределепне Лапласа), е) показательное 2 распределение с параметром )» 1, ж) равномерное распредевение ла отрезке 1 / 1 ( — 1, 1) в) распределенно о плотностью —, з+ ,, ).
4.38. ~1+( — 1) 1+ (х+ 1) / ь 1 Г пх ~ ра/а (1). 4.39. покажите, что функция р (х)=- — 2„)» ""/(г) >(>является плота 1 востьюраспределенияв,следовательно, функцпя /(>) = ~ »'>"р(х) >/» является характеристической функцией. 4.40. В силу предыдущей зада |и каждая функ« цня вида 1 — а)г), (г)<1/а, О, )г) 1/ является характеристической функцией. Покажите, что любан функция, ука ванная в условии задача, может быть представлена как предел лпяейныл ком- бннацнй функций такого вида в примените задачу 4.28. 4.41. Да. Примеры танин характеристических функций легко построить, используя предыдущую задачу.
1 4.42. Покажите, что функция —,„выпукла прн г > 0 (О < а < 1) н восполь- 1+»" зуйтесь задачей 4.40. 4.43. Обоавачнм г" (х) функцию распределения, отвечаю- щую характеристической функцив /(Г). Рассмотрите множества Л>(е) (х: )соз гх( < 1 — е) н покажите, что длн каждого г найдется а > О, такое, что ) >)г(х) ) 0.4.44. Обозначим г" (х) и 6(х) функции распределеввя слу А>1») чайных величин 3 н шат (О, Ц соответственно, в пусть Е(х) — вырожденная в нуле функция распределения, Тогда С(х) =Р(х)6(х]. Легко задеть, что 1 6(х) 2 + 2 С (х), где С>(х) — непрерывная функцвн распределения. Пусть л(г) н у>(т) — характеристические функции распределений С и Сь Тогда 1 а(г) = 2 (1+4 (т))но в силу непрерывпаств с,(х) )у>(г)) < 1 при»~О 1 (см.
предыдущую задачу); следовательно, )Л(Г) ) ) —,(1 — )Л (>) () ) О. Ст условия непрерывности отказаться нельзя (пример: РД вЂ” 1) =Р($ 1) 1/2). 4.45. Пусть у (г) — характеристическая функция случайной величины >1„. Полол»им рь = Р(ь> = /»), й = О, ш1, ~2, ... Пмеем/(Г) = »»,' рь»>, по А= — ~ атому 1(я) = ~ ( — 1) рь = Р(ь делится па два) — Р($~ не делится на два), а — » диалогично д (я) = Р(с)„делится на два) — Р(с)„не делится на два). Ко д«(я) =1" (я) -«О при о-«со, откуда получаем нужное соотношение, 446. з Сх Г , Сх , Сх е) 1 — Ве/(с)= ~ (1 — сов сх) ССР(х) = ~ 2юп с(Р(х)~~2з!пз 2 соз — 2ЫР(х) 2 Э ) з!и СхбР(х) ) (1 — соз2сх) с)Р(х) Ве/(21); 1 з 1 ~ 2 4,) 4 О б) следует из а); в) доказываемое неравенство эквивалентно следую- 1 + В е 1 (2С) щетс у: ) (Во 1(с))з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
