А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 53
Текст из файла (страница 53)
~', АГ= ~ АГ ~" ', АГ(х)=~АР(х) ~~ .,' АГ= -Ю -Ю вЂ” ОО О Ю = ~ )*)АР(*) ~ ' '",Г)')АГ)*)= ) ) (АР( ) ) ' (Гх)з / ~ у = я ) ) х) АР(х) = яб) $ (. гь85. При О ( а ( 1 г(г) — характеристическая функция, при остальных а — нет. 4.86. Вторая вроиззодная в нуле функцив 1(г) равна нулю, следовательно, дисперсии должно была бы равнятьея нулю. Но тогда 1(1) — характеристическая функция вырожденного распределения н по модулю должна равняться единице, что противоречит условию аадачи.
Таким образом, 1(Г) ве может быть характеристической функцией вероятностного распределения. 4.87. Рассмотрите функцию )1(г) )' (зто характеристическая функция) и исследуйте знак ее второй и первой пронаводной в окрестности нуля (прн атом воспользуйтесь тем, что первая производная в нуле равна нулю). 4.88. Используйте соотношения 60 )гзч г1(г) = ( — цч ) згв гх.хзт гг)Р (х), )гзч1 (г) = ( — 1)ч ') соз гх зсАВ(ху 254 2 Р .,* и раащ1стзо созе — 1= — 2 ил —..
4.59. Имеем у,(1) = 1 — 2 ~ з!и 2 р(Р (х) < 1 рр 2гх 2 Р возводить з положнтелырую степень аг, поэтому, учитывая равенство р з г:г 2 уор(1) ( '(2) =-е ', получаем )' а1 ~ з!и 2 р)Р!(х) ( 2 . таким образом, 3=1 рр , 1 2' У1 (2) — У! (0) р, е,» Р» )и РРР4 —,л-— 2а)' 2 ~' гх 1 — — ~ з!пз 2 пр (х).
И в силу предыдущей задачи дисперсии существуют. „! рр.9!. к, =Е$, кз =рз =-22$, хр = Кз Е(5 — Ей)1, х = Из — 3(4~. 4.92. Пусть П1) — ларактеристическан Функция $. Воспользуйтесь тем, что ларактеристическан ррупкция з' есть е™ь!(аг). 4.93. Пусть Р(х) — функции распределения Е. Тогда и м «р 1 р" 1 à à — ~ (1 — ~р (1)) 42 = —, ) ~ (! — е"") ЫР (х) Кг-о -и — о р ! У Б1ППХ 1 — ! (1 —.-"") М 4Р ( ) = 2 ! (1 — — ) йг( ), и ~ ) их -и откуда получаем 212 ~ (1 — рр (1)) Ю ~ )2 ~ (1 — — ) НР (х) + 2 ~ (1 — ) р(Р [х) ~2 — и рр арз -2,2 р ~ 2 ~ (1 — — ) НР (х) + 2 ~ (1 — — ) г)Р(х)~ Р( — — )+(1 — Р( — )).
2)и 4,94, Используйте предыдущую задачу. 4.95, Пусть Р(х) — функция распредв- 2 лепин $. Воспользуемся злементарпым неравенством соз х ) 1 — —.. Имеем 1 х 2 21 Р о 2 2 1(1) = ~ соз 21;р(Р(х) ) ~ (1 — —,(р(Р (х) = 1 — 2 ~ х р(Р(х) = 1— 21.95. Рассмотрим характеристическую функцию ()(1) ('. Дисперсии соответствующего распределении равна 2о'. Используя предыдущурО Задачу, ПОЛУ- чаем (!(1) )' ) 1 — Ро', откуда следует нужное соотношение. 4.91. Восц, о'1' пользуйтесь тем, что 1(с) е ц'=-1 — 2 +с(1), 2-р О, где а — лгатемати- 255 вое неравенство в (Ц, получаем 260 ческое ожидание распределения, соответствугощего характеристической функ- ции /(г). 498.
Воспользуйтесь тем, что (/ (г) ( ( Е(Е) и, следовательно, )/(г) ( не может убывать быстрее некоторой линейпан функции. 4.99. Предположим вначале, что Е имеет конечную дисперсию а'. Тогда, поскольку с имеет певы- рожденное распределение, аг ) О. Положим с = Е5. Тогда /(г) = с '"' — ха- рактеристн сеакая функция случайной волпчвпы $ — с, т. е случайной величи-'ю ны, имеющей нулевое математическое ожидание, позтаму /(Г) е = 1 — —., + + о(г ) при с-~0. Модуль правой части етого равенства пе превосходит 1 — — для всех достаточно ыалых с.
Отсюда следует требуемое утвер'кдение. 4 Перейдем теперь к общему случаю (когда дисперсия может п не сущест- вовать). Пусть с = Р((в( ( 6), Выберем Ь так, чтобы было с ) О. Пусть Г(х) — функция распределения с. Определим функци|о С(х) равенством О, если х( — Ь, 1 С(х) =- — (Р'(х) — Г( — Ь)), если — 6(х(6, 1, если х) 6.
Очевидно, С(х) — невырожденная функция распределения с конечной диспер- сией и характеристической функцией 8(О= —,, ~ спхг(Г(х).По ранее доказан(ы~с ному — ~ с 8Г (х) (1 — ег при (с( (б для некоторых поло)кительных (х(сь б и е. Далее, (/(Г) (( ~ ~ с' "ол'(х)1+ ) ор(х). Поэтому (/П)( ( ( (х~ сь ) ~.'(>ь ( с(1 — зр) + 1 — с = 1 — сер нри (г( ( б. 4.100. Раосмотриге харакгеристи/(г)+/( — г) ческую функцию Ве / (Ц = и воспользуйтесь предыдущей зада- чей.
4Л01. Воспользуеыся следующныи злементарпыыи неравенствами: г 0(~сага(~1 — г х (Ц с прп (х( ( ч/2. 11гщем при (г( ( п/(2с) /(г) = ( соз Гсср (х) = ~ соз гхоз (х). — с Используя левое неравенства в (Ц, получаем /(О ) О. Используя прас /(1) ( ~ (1 — —, Г хг~ йр (х) = г г 'иг -с с с с зг — — ! с ~г/Г(х) — — г ~ сГ(х) =1 — — г а (с 4Л02. Пусть $1 и Ег— 4 г 4 2 г л н г и -с -с независимые случайные величины, распределеепые как Е. Тогда Е, — Е, имеет даснерсию да' и характеристическую функцию (/(Г)('. Кроме того, очевидно, з гг --а г (с1 — гг( ( 2с,позтоыу в силу предыдущей задачи ( / (г) (г ( с с 2 г --„о $ прп (с) ( л/(4с), илп(/(/) (~(е '" при /г( ( яП4с).
4ЛОЗ. Воспользуйг г -гс1 '" г, г тесь соотношением /(г) е = 1 — —. + о(г ) при г-~-О, где с = ей, 4Л04. Перейдите к усечеппмм распределениям и воспользуйтесь предыдуи(ей задачей, 410б. пыееы /(1) = ) соз тхр(х) )(х = 2 ) созтх р (х) с/«.Фиксве русы произвольное 1:« О. Получим / л/21 в/21+ив/1 )))=2(] )) «» ] ))с) )с е "=1 а/21->л(2-1]/1 л/21 ~-аз/1 Положим аа (1) = ) соз тхр (х) с(х. я/ю+л(а-1П( лепный, причем ]ас( ) (ас„,] для любого й р(х) пе возрастает при х. ~ 0), поэтоыу ) а,<0, 2=1 2=2 1'яд ~~Д ~аа, очевидпо, зкакоперсь=- (зто следует пз того, что функцля (2) аа>О. Л/21-Ьаь/1 кажите, что при некоторозг (/(1) (< ) (соз тх( р (х) с(с и что последппй —:г/и+лап 1Д2А) сов гхс(х. 4.!07.
(1 — /(1) ) ~ -1/(2А1 пптеграл пе превосходит вели шпы А =- Пе (1 — /(1)) = ~ (1 — соз (х)с(с (х) и далее воспользуйтесь неравенством соз х < 1 — 22/3 при (х] < 1. 4ЛОВ. а) л, б) да, в) да. 4.109. Обозначим Е(х) функцию распределения, отвечающую характеристической функции /(1). Пусть функции )р(1] = (/'(1) — /'(0])/1 ограпвчепа прп 0 < (1(< < е: ])р(1) / < с < ос. По теореме о срецнеы /(1) + /( — 1) — 2/(0) = = 1/((0(1)) — 1/'( — 10( — 1)), где О < О (+1) < ! и, таким образом, /(() + +/( — 1) — 2/(0) = 12(О(1))р(10(1)) + О( — 1))р( — 10(-())), так что со«12 — 1, 1 (/(1)+/( — 1) — 2/(0] ( ИГ (х) 12 =- 2! 12 прп 0 < )1( < е.
Ото(ода, прпмеплн лемму Фату, получасы ) х Н'(х) < х). /' (1) — /' (0) Обратное у(нерв«денис тривиально, поскольку 1 -« /с (О) при 1-«О, — зс(1е(з если ~ хзс(с (х] < со. 4.110. Пыееы ]/((е)]2(е Пусть )) < б < 2. Обозначим с ") (х) сиыыетриззппю функции распределения Г(х). Характеристи- 257 если /(1) ~ 0 (при дапком фиксировапком 1), то из (1) и (2) получаем а/21 л/21 /(1) < 2 ) сов(ср (х) а)х <2А ) соз(х с(х = 2Л/1.
Если же /Я < О, то /(1) ) е о л/1 ) созтх р (х) с(х и/(1) с — 2А/1. Танис( образом, (/(()( < 2А/1. 4ЛОО. Пол жс чесиак функция распределения Ры! есть )/(!) )з. Предполозкнм, что мопепт по рядка 6 существует, Положим и» !„/2. По лемме Фату а ~ мп и»х ео»2 ~ ! т)а<~К~») (х) = 2 ~ Ию зпр~ ~ НРЫ> (х) ~в » !» !а!па х! з!и и»х ~2Ию зпр ) ~ — ~ КРОО(х) ) 21!в зпр ) е НР!»!(х) » ,!1-(/(!.))*),, 1,-"Р !' () / -- и' / /1 — соз !»хг х Ы/ц') (х) = 2 !пп !п1 ~ ~ НГ!»! (х) я, ,Г Г 1 — сов!„х 1 !/(! )!з ~2!!ю !п1 .3 з сФ'~(х) =.2!!ю!п! .-3 с »-» !» -с! з 1 — е ~ (2 !! ю ! п1 » !з» = 2с. Такилг образом, го>, а следовательпо, и г" ямеют второй момент. Обратное три- х дг М! (х) я г виально.
4.1!2. Имеем (см. решение предыдущей аадачи) для любого с ) О. Таким образом, ) х ЫФ'! (х) = О, откуда следует, что Гм>, а влачит, и Р являются вырозкденными распределениями. 4Л!Х Достаточно я<а+г)/с доказать, что 1пг/(!) ~ О длн всех ! ) О. Поло;кяпаз (!) = ) ып !х р(х) Вх. яй/! О) » Фиксируем с ~ О. Имеем 1ш /(!) = ) ып !х р (х) ох ~ ай (!).Но, как легко е й=о видеть, а,(!) ) О при й четном, а»(!) ~ О при й нечетном и )аз(!) ) ) )а»+,(!) ! для всех й = О, 1, 2, ...
(в силу убывания р(х) и периодичности зш х), Отсюда получаем, что !т /(!) » О. 4Л!4. Сохраним обозначения, принятые при решении задачи 4.113. Легко показать (см, решение предыдущей аадачн), что 258 ) 1~~„*!е (мы аспользовали интегрируемость ~ ~ я,! х)з н условие б ~ Х). Таким обрааом, Р< ° ! и, следовательно, г" не имеют моментов порядка б ) Х, 4.111, Оооаяачим Р! ° !(х) симметризацию функции расяределення Р(х) (характеристиче- 2 ская функция Еы>(х) есть )/(!)!'). Имеем (/(!»))з)е ", так что по лемме Фату О = !пт/((), ао(т), но л(( я/( я /з (О) Г, 2р (О] а (!) = ~ ап !х р (х) ((х (~ р(0] ~ з!и (х г(х = — ) з!н х((х = о~!щ / (!]~ —, 2Г (0) при ! =т О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
