А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть прострапство пе является атомическим, Тогда существует событие Л такое, что а =. Р(Л) ) 0 к никакое подмпожество А ке является атомом. Итак, можно выбрать последовательность событий Ль Лт, ... следующим образом: АзСЛ, 1=1,2, Р(Л~) = Р(А,) = а/2, А~ /) Ас = Ы Р(Лз) =Р(Л4) =Р(Лз) =а/3, А;()Аз=в,!Ф/;6/=3,4,5, Р(Лс)=Р(Лг)=Р(Лз)=Р(Аз)=а/4, Лз/)Аз=8, 1~/; 6 /=6, 7, 8, 9, Р Тогда 7 О, но не схопвтся с вероятностью 1.
5.26. Пусть $о сходвтся к зл в метрике д. Примепяи неравенство Чебышева, получаем для любого 1+с в ) 0 Р((~„— Ц )) е) ~ — Е + (с с, -«О прк л оо. Обратпо, пусть ~л») Р Воспользуемся следующим неравенством (см. задачу 3.236); если Е ) 0 и /(х) — пе возрастающая при х ) 0 положительная фупкцпв, то Р($ ( а) ( Е/(2)//(а). Отсюда следует, что при лзобом е > 0 1 1 — (1+к) Е1+) 5 сь(~Р(! ьл — 9)) е) 0 1 1 — (1+с) Е1 прп и†со. Устремляя е — О, получаем ) с», — $! -»1 Е, ° — Е1,, - ( Отсюда и лз (1) оковчательно получаем 1+ ( с, — 5) 1+ ( сл — ~ ) ~- — 8! Е1 (,-«О при л-»оо. 5.28. Воспользуйтесь обобщенным перавекством 1+ Бл — с( Чебышйва Р((2 — $) ) з) з- Е) а, — $) г/ег (е ) О, р ) 0), 529. На всроятяостком пространстве (Ей,м, Р), представляющем собой отрезок (О, 1] с а-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве Р, рассмотрим последовательность случайных величин йь Еь ..., определенную следующим образом: )ел прп 0(ы(1/л, ( О прп 1!л ( ы ( 1.
Р Очевидно, $ 0 (я дзиге $„-«а и. к.), ио Е)5„)о = ео"/л-»оо прл любом р ) О. 5.30. См. решение задачи 5.23. 5.31. См. регпенке задача 5.29. 5.32. Из вар дач 5,22 и 5.28 следует, что 5л с и .",л г), поэтому, в силу задачи 5Л Р(а = з)) = 1. 5.33. Воспользуйтесь тем, что характервствческая функция расМхо пределепия Р есть е ". 5.34. Пусть Р„- Р.
Это влачит, что для любой нспрерывпой ограниченной фупкции /(х) ) / (х) дрл» ~ / (х) ЛР. Положим /(й) 1, /(х) 0 при )х — й) ) 1/2 и /(х) лппейпа па каждом пз отрезков 268 [й — 1/2, /;], [/с, 5+1/2]. Тогда Р„(/с) = ~ /(х] ЫР„-» ] /(х) АР =Р/Ц. О Обратно, пусть Рз(з) Р(л) для каждого целого /с. тогда ] /(х] >/Ро = » /(й) Р„(й) -» з~з /(й) Р(й) = ~ /(х) НР. 5.35. Воспользуйтесь тем, а=-м а=в что длл любой непрерывной ограниченной функции /(х) интеграл /(х) Нр„представляет собой интегральную сумму Римана длп интеграла /(х) >/Р = ) /(х) Ах. 5.36. Дока>ките, что />„(х) -»г" (х) во всех точках нее прерывности />(х).
5.37. Возьмем в качестве Р вероятностную мору, сосредото- ченную в точке 1/л, в качество Р— вероятностную меру, сосредоточенную в нуле,и положен /(х] = =( при х<0, О прп х) О. 5.38. Р„(0) 1 — 1/и, Р„(л) = 1/Ш Р(0) = 1, /(т) = х. Тогда ] /(х) АРо ч =1, 0= ) /(х]>/Р. 5.39. Доказывается так же, как и в случае числовых последовательное~ей. 5АО. Фиксируем произвольное положительное е. Выберем в множестве Л точки хь ..., хл так, чтобы х, < хт « ... хх и ]/>(х,) — р(х>.„)] < е/5, 1= 1, 2, ..., д> — 1, и выберем лр достаточно большим, чтобы ~г" (х>) — г" (х>)] ". е/5.
Пусть х шЛ. Выберем /> так, чтобы хз < х < хе+,, Имеем: ] Р (х] — г"'!х) ]< (] де(х) — Ра(хз) ]+ ]/з(хь) — Р(хз) ]+ +(р(х„) — г" (х)]<]Г„(ха+>) — р (хь)]+]г" (хз) — г (х>))+(Е(х,)— р ('] ] < [ г ('м ) г ( > .> ) ! + ] г (х> зл) р (ха) ( + ! " (' ) г (хь) ( / +]/з (хл) — р(х ) ]+( р(хз) — р( )]< 5 + 5 + т+ 5 + ° =' 5А2.
а)-»б) Длл любого е ) 0 построите равномерна непрерывну>о функцию /(х) такую, что 0 </(х) < 1, /(х) 1 при х ш В и ~ /(х) АР < с. кт' в Тогда Пш зпррс(В) < !]ш ] /(х) ЫР„= ) /(х) ЫР <Р(В)+е. б) — з) Пес ч-» рейдпте к дополнениям. в) — а) Вначале пока>ките, что для л>обой непрерывной ограниченной функции /(х) !>ш епр ) /(х) >]Р„< ) /(х) >/Р, ом затем рассмотрите функцию — /(х). 5АЗ.
Обозначим через Ле внутренность множества Л, а через А — его замыкание. В силу предыдущей задачи Р(А) >Пш вор Р (А) )1!ш зпрР„(А) ) !!ш >п1Р„(Л) ) Пш !п1 Р (А ) )Р(А ) й п з п Если Р(дА) = О, то крайние члены равны Р(А) и получаем Пш Р„(Л] = Р (Л). Обратно. Пусть  — произвольное вамкпутос множество. Обозначим Вз н Сз 269 множества Вс =. (хс )и! (х — Р) (~ 6~ с = схс сп! ) х — У) = 6~. а с. и-и ( эжл Тогда дВл ан Сл и, следовательно, множества дВл прн различных 6 не пересекаются, поэтому не болев чем счетное их число имеет положительную Р-эсеру. Следовательно, для некоторой последовательности положительных бл, стремящейся к нулю, множества Вл явллются Р-непрерызнымп множествами н, значит, Пш зпр Р„(В) (!(ш Р„(В л/ = Р сВ '/ для каждого й. Но мпоясестза и и В монотонна убывают и сходятся к В, поэтому )пп зкр Ри (В) <Р (В).
ав и и Отссода, используя предыдущую задачу, получаем ЄР5сс4. Воспользуйтесь тем, что функция, непрерывная на замкнутом ограничеяном множестве, равномерно непрерывна. 5.45. Воспольвуйтесь тем, что каждую ограниченную непрерывную функцию можно с любой степенью точности приблизить з равномерной метрике огракичеиаыми непрерывными функциями, обладающими ограниченными непрерывными производными спобого порядка. 5.46. Приблиаьте непрерывными функциями распределения индикаторы полупрямых. 5Л7. Обозначим С(х), С,(х), Сл(х), ...
функции распределения случайных величин Е, йи Ес, ... соответственно. Тогда функции распределения случайных величин тс — ь и т! — $ равны соответственно 71и (х) = ~ В(х+ с) ИСи(с) и н(х) = ] Г(х+ с) лс(с). таким обРааом, имеем Р(з)<ьи) = Р(ч —."„(0) = Г(х) с!Си(х) =- Е(Г(,",„)) и аналогично Р(с) (4) = Е(Г(4)), откУда сле. дует нулкное утверждение. 5ЛО. Пусть 1(х] — произвольная непрерывная огра.
ниченная функция, (1(х) ( (С. Для любого А ) 0 имеем ! ~ 1 (х) ЛЄ— ~ 1( ) ор ( ~ (/ ( ) ) ~ р„(х) — р (х) ) Лх < лл -сю А ~с( ( С„«с)««)) *«( !с««~ — («!~ ) З Сх!)А — А Первый шпеграл можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточш больпшм А, второй интегРал можно сделать пРи фиксиРовапном Л сколь угод но малым, выбирая достаточно большим и. Обратное, вообще говоря, неверно 5.5!. Пусть 1„(с), 1(с), р (с), р(с), ч (с) — характеристические функции распре долессий й„, в, Р„, Р, О соответственно. тогда 1 (с) — «1(с) р„(с) р(с) 1 (Ц = р (с)ч (с) прн каясдом и. Выберем 6) 0 достаточно малым, чтобс )1„(с] ) 0 и /р (с)) ) 0 при )с( (6.
Тогда при (с( (6 д„(с) = 1„(с)/р„(с)- /(с)/р(с), причем функция 1(с)/р(с) непрерывна в нуле, слсдовательнс 1(с)/р(с) — характеристическая функция и СЭ слабо сходится к соответствую щеку распределению. 5.52. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 5.53. Плотпымп явля ютсл семейства распределения, укаэакные в пунктах в] и г). 5.55.:Сто семей ство является плотным (для доказательства этого достаточно воспольэоватьс неравенством Чебыпсева), и, следовательно, в силу предыдусцей задачи ояо относительно компактно. 5.56. Воспольвуйтесь задачей 5.54 (впрочем, эту эа дачу легко решить и непосредственно).
5,57. Коли последовательность Р'с(х) В,(х), ... плотил, то для любого в ) 0 существует А ) 0 таков, что 1 — РС (А) + В ( — Л)( е длЯ всех и, откУДа ! — Г (Л) < с и Ри( — Л)( е, то есть Г (х) -«! кри х-«оо и Г (х) -«О при х-« — оо равномерно по и. Аналс гично проводится докааательство в обратную сторону. 558. Пусть Ь(Р„, Р) -«о 270 Покажем, что Р»(х) — »Р(х) в каждой точке непрерывности Р(х]. Пусть х — точка непрерывности Р(х). Имеем Р(х — е ) — е < Р»(х) < Р(х+ е )+е, где с» 0 при л»», илн Р(х — с ) — Р(х) — с < Р»(х) — Р(х) < Р(х+ е»]— — Р(х) + е . В силу непрерывности Р(х) в точке х Р(х — е») — Г(х) 0 и Р(х+ с ) — Р(х) О при п»о, откуда Р„(х) — Р(х) -» О.
Обратно, пусть Р' (х) -»Г(х) в каа'дой точке неирерывпостп Р(х), т. е. — е» < Р(х) — Р»(х) < с (1] где с» -» О при л — о». Пусть х — пропавольная точка. Выберем последовательность бь бв... так, чтобы 6 О, а точки х+ 6 и х — 6» бьгли точкамп вепрерывностн функции распределения Р(х) прп любом и.
Положим Л = гоах (е», 6„). Учитывая (1), получаем Р(х) < Р(х+ 6») «' Р (х+ 6») + е < < Р,(х+ Л ) +Л» п аналогично Г(х) Гз Р»(х — Л»). 550. ПУсть ) (Гь Гг)— характеристическая функция случайного вектора ($„ ц»), а ~р»(г) — тарактеркстическаг фупкцил случайной величины $ + ц . Тогда ~р (1) = = еетр(и(4»+т] )) = еетр (1(гй»+ гг] ]) = 1 (д 1). точно так же, если 1(гь В) п ср(г) — характеристические функции (Ц, т]) и Ц+ т] соответственно, тО ~Р(1) = У(Г, 1). НО ПО УСЛОВИЮ 1»(1ь Н) /(Г„г,) ДЛЯ ВСЕХ В И Гп ПОЭТОМУ И' Р гу„(1)-~ю(г) и, следовательно, $, + ц„-~-с+то 5 60.
Пусть с -~а. Достаточно показать, что при каждом вещественном с последовательность характеристических функций р(!), <рг(г), ... случайных величин $ь $к ... сходится к ларактеристичеокой функции ~р(~) случайной величины $. Для любого 1 п любого положительного з имеем ] Ео (Г) — ~р (1) ] < ~ ~ е '" — епй ~ г(р + ~ ~ е " — сц1 ~ Зр < ]с„— 1]лз ], '»(<е ~:р(15» — Ь]>с)+ ~ 1]е ('" 1) — 1](нр, )5»-1]<е откуда, учитывая сходимость $» н 5 по веролтности, непрерывность функции е'* и произвольность е, получаем нужное утверждение. 5.61.
Например, последовательность ьь 5к ..., определенная следующим образом. "$~ = 1 с вероятностью 1(2 и $~ = 0 с вероятностью 1(2, $»»ю = $ь й = 1, 2, ... О, если $ =-1, 1 Язд = 1, если $ =- О. -г 5.52. Воспольауйтесь неравенствами ) ]а (х) сР» (х) < р (] ь» — з () е) с » <~ д (х) ЫР» (х), где Р»(х) — функция распределения $», и = 1, 2, ..., а функции (,(х) и 5»(х) определяются следугощпм образом; Зе Зс 1 прп а<а — 2 н х>а+ —, у» (х) 0 прн а — з<х<а+е Зз ! Г Зе ! и 1»(х) лнпейна иа каждом нз отреаков [а — 2, а — е~ и [а+ е, а+ — 2 ~, Ее (х) = 1 прн в<а †сил~а, 0 при а — 2 <хп-а+ 2 271 и я,(х) липейпа на каждом ит отрезков ~а — е, а — ~ ~ и ~а+ —,, а++ 5.63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
