А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Следует иметь в виду, что опенки веронтностей, близких к 0 нхп 1, получен- ные с помощью центральной предельной теоремы менее надежны. Вычислим относительную ошибку при оценке вероятности события (Я (35, 8 ) 65). 0,00194 — 0,0(И 78 Имеем ' 78 100 |5 — 99|. Для вероятности события (8 ( 47, Я ) 53) получаем 0,04 Чю При значениях и ) 100. 6Л35. Пользуемся прибли- женной формулой Р ~ ~ — -- Р) < е (ае 2Ф( е )г — 1. Так как Р (1 — Р) ( и < 1/4, то 2Ф (е )7,1 ) )~ )2Ф(2е )||и). При заданнон а приравниваем Р(1 Р) 2Ф(2е)и) — 1 =1 — а и разыскиваем корень и = и — —, уравнения Ф(и) = т 2 а, з = 1 — 2.
Тогда и)~ и и/4е . Длл данных задачи и ) 16589. 1--, ворпп уравнения (р — р)' = е'Р(1 — р)/и, именно Р ( — -)- Р(1-Р)+ Рп Рп — з в=с е 1-- 1+— а и Более точный результат получается при использовании оценки скорости сходимоств в теореме Муавра — Лапласа, если дополнительно известно, что / Р(1 — Р) ] 0 < Ь < Р < с < 1 при некоторых Ь и с. Тогда Р~ ] Р— Р]~ (е ) — !)~ 2(1 — 25 ) > 2Ф (е) — 1 — —, где й = )'Ь(1 — с). Прн заданном а находим еа 5 ]гп 1-— а как наименьшее значение е, удозлетворягощее соотношелисо Ф(е) ~1+ 1 — 26 и + 0]сс 2' ] и 6 137. а) Нужно найти такое п, при котором Р ~ ] — „— р ~ < 0,0029) ) 0 5. Пспользул приближенную формулу Муавра — Лапласа, получаем п )13525.
)т Отметим, что вероятность получить ~ — — Р ~ < 0,0029 прн п = 5000 равна при] и ближепно 0,3!8, б) Приблихсепньсй доверительный интервал для я уровня 0,95: 3,0614 < и < 3,2642. 6.138. Доверительный интервал для р уровня 0,95с 0,502 < р ( 0,526. Гипотезы р = 0,5 и Р = 0,55 отбрасываются, гипотезу Р = 0,515 можно счятать согласусощейся с данными. 6.139. Заключение о том, что доля белых шаров в урне равна 0,5, сделано на том основании, что в выборке с возвращением объема 100 обиарухсево преобладающее количество белых шаров.
Вероятность ошибки равна вероятности того, что число белых шарон 3 в выборке объема и =100 превзойдет 50, крторая вычислена в предположении, что доля 8„— Р белых шаров в урне равна 0,4: Р (5п ) 51) = Р ) 2,245 см 0,012. ']lпР (1 — Р) 6.!40. Гипотезу симметричности монеты нужно отклонить, тан как вероятность Р(б„ж 540), вычисленная при Р = 0,5, приблизительно равна 0,006. 6Л41. При и = 0,05 ссс« = (1,645)'про(! — Ре) + про] + 1 (здесь (] — целая часть).
Гипотеза ре = 0,5 отклоняется, так как 5' «) 37ГЕ Гипотеза Рз = 0,515 может быть признана удовлетворительной, так как Я 3820. 6Л42. Длн а = 0,05 найдем а е „=- 1,645 из уравнения Ф(з)=1 — — Замення 4)с н Оз приближенными 1 — „— 2' выра;кениямп в соответствии с формулой Муавра — Лапласа, найдем соотношения.
связывающие п и пстс ть = 1,645) прс(1 — Р,) + прь т* = .= — 1,645)пр,(1 — Р,)+прг. Значение и, при котором можно различить дзе гипотезы прн заданных вероятностях ошибок а = й = 0,05, равно приближенно | 1,645()ГР,(! — Р,)+ у' »з (1 — Р,)) 1 с. з з ' Для различения вероятностей Рс = Рз — Рт =049!4 п Р, — 05178 в задаче де Мере понадобится около 3895 испытаний, 6Л43. Воспатьзовагься задачей 6Л29 и теоремой Пуассона. 6Л44.
Если 5п, „, „ имеет гппергеометрическое распределение, то при сформулированных условиях Р( ' ' ' <х(-~Ф(х),где а= —, о ( я м и и ] пч з М (сУ М) и ()У и) . Для У'(У вЂ” П доказательства воспользоваться задачей 6Л29 и теоремой Муавра — Лапласа. 6.145. Воспользоваться центральной предельной теоремой для одинаково рас- 285 пределенпых слагаемых, предварительно вычислив Еуз и Одз. 6.!46. Харакь(гп-1) теристическая функции случайной величины 5г равна еь .
Найти характеристическую функцию случайной величины ць = (йь — Л)/УЛ и показать, что при Л- со она стремится к ехр ( — П/2). е Ы1) ~ т!З) С другой стороны, можно воспользоваться тем, что ьь =- ьх, Р ало+ +...+ь!"), где5!а), й = 1, ..., л, взаимно независимы и имеют одинаковое распределение Пуассона с параметром Ль а $ь имеет распределеппе Пуассона с параметром Л = лЛ,. По центральной предельной теореме при и -~ со Л -~ во 5 — Л случайная величина = асимптотически нормальна с параметрами (О, 1) ~/к 6Л47.
Из предыдущей задачи следует, что лХ имоет асимптотически нормальное распределение с параметрами (яЛ, лЛ). Поэтому с вероятностью, оливкой л Л 1 — и, выполняется неравенство )/и ~= < е,где е = е есть корень а уравнения Ф (е) = 1 — —. Границами доверительного интервала служат корни 2' // ь" з 4 квадратного уравпенпя (Մ— ))' = е'Л/и: Л, Л = а-!- —, + й а — + — з. 2п Р " ' 4лз Прн и = 0,01 (е = 2,576) и а = 1,5 получается доверительный интервал: Р 1,22 < Л < 1,85, Сходимость Х„Л следует нз закона больших чисел.
ОЛ48. В силу центральной предельной теоремы случайная величина лХ асимптотически нормально распределена с параметрами (зО, я/12). !!оэтому в е Р(712л)х — 9)<з) пз 2Ф(е) — 1 пр~х — = » (9 < х+= )кз 2Ф(е) — 1. УЖ 'У~2 / Пусть я = 100, а = 0,05, х = а. Тогда з = 1,96 и с вероятностью, близкой к 095, а — 0057- 9 < а+0057, 6.149. В предположении, что ошибки д; равномерно распределены в интервале ( — 0,5 10 з, 0,5 10 '), находим Ед,= О, ОД! = 0 25 -гз — — 10 "з. По центральной предельной теореме для Д = Д|+ ...
+Дк, )Д) Д) = 10", имеем Р~, < е) 2Ф(з) — 1. По а = 0,05 находим соответству)г'0д ющее значение е = 1,96. Отсюда с вероятностью 0,95 (Д( < 0,00566. 6Л50. Рассмотрим ври фиксированном /у случайную величину т)„, ьоторая принимает значения (а), (2а),..., (Да), с вероятностлтш 1/Д( Очевидно, Р(а < з)х < Ь) = = Д'(а, Ь)/д), Для того чтобы Р(а < г!х < Ь) -~- Ь вЂ” а, достаточно выполненк>т за ь')и соотношения Ее ' -~ 0 при Ь ~ 0 н Д) — ~ оз. Имеем прп Ь ~ О М й=! я=1 6.181.
Перейти к случайным величинам д'") = 10"б'"', 0 < дсп < 1, и показать, что при /с ~ 0 Ее -ьО. 6Л52. Нуягно представить 1' (х) в виде 1'а(х) = тямлбп е 1! „) (ьь), где 1лЯь), Ь =1, ..., и,— индикаторы случайных событий ($ь ш Л). Поскольку ЕРч(х) = г (х), то можно воспользоваться законом боль. ших чисел (теорема Бернулли). Верно более сильное утверждение: Р(зпр ~ Ра (х) — г (х) ~ -~ 0) .= 1 (теорема Глнвенко — Кантеллн). 6.153. Реше. 286 пие следует пз закона больших чисел. 6Л54. Воспользоваться центральной предельной теоремой для независимых одинаково распределенных случайных вели- Р чин.
ОЛ55. Соотношенпе/„ / есть выражение закона больших чисел. Для от- вета на второй вопрос воспользоваться центральной предельной теоремой; -/„— / [ [!тт" ~,( ~ем —,, Ф- аь) ~~.. 6. Ф... ае о равномерно непрерывна и ограничена на отрезке, [/(х) ] е К.
В силу этого и закона больших чисел имеем (в ) О, б ) 0) (/(х) — В„(х) ] < ~ ~/(х) — /( — ) ~ С™х~ (1 — х)~ ж+ оп~ — -х]хз + 'У ]/(,) /['--']] С-.-( .).--.; [ ж:~ — -х~)а К (~а+ 2К ~' С~а~(1 — х]" м(е+ —. 2лб т:~ — -х~)6 Последнее выражение меньше 2е прк и, начиная с некоторого. 6Л57. Доказа- тельство вытекает из усиленного вакока больших чисел (теорема Борзая).
Глава 7 7Л. а] !/6, ю а [О, !/3], 5/12, ю а (1/3, 1/2), 3/4, ю ен [1/2, 1]; б) 3/Едц ез ш ен [О, !/3], 3/л, ы ш (!/3, 1/2), 2!я, ш ш [1/2, 1]; в) 1/27, ю ш [О, 1!3], 19 108, ы ш (1/3, !/2), 7/!2, оз ш [1/2, 1]; г) 5/6, ы ш [О, 1/3], 7/12, ее а (1/3, 1/2), 1/4, ы ш [ 1/2, 1]; д) Е. 7.2.
О, х < 1/6, О, х < 3/2я, 1/3, 1!6 < х < 5/12, 1/3, 3/2п(х < 2/я, а) / (х) ' ~1,'2, 5/12 <,т < 3/4, ) (х) ~5/6, 2/я ~ х < 3!Я, х~ )3/4; ~ ~3/я; О, а<1/27, О, х< 1/4, 1/3, 1/27 < х < 19П08, 1/2, 1/Ф( х < 7/12, п) /' (х) = ~1/2, 19П08<х< 7П2, г) (х) ~2/3, 7/12 <х< 5/6, 1, х ~ )7/12; х) 5/6; [О, х<1, д) К (х): †. Ь'3, 1 ~ (х < 2, 7.3. а) 1/2; б) 1/6, ы ш [О, 1/3], 1/2, ы ш (1/3, 2/3], х) 2. 5/6, ы еи (2/3, 1]; в) Е при ы ш [О, 1/2], 3/4 при ю ш (1/2, 1]. 7.4. а) ат/12! б) 1/(/'!П). 7.5.
Нет. Рассмотрите, например, вероятностное пространство ((), хг, Р), гпе й = [О, 1], .Ф вЂ” о-алгебра борелевскит подмножеств, Р— мера Лебега, 4 — случайная величина, равнап 1 при ю ш[0, 1/2] и 2 при в ш(1/2, 1]. В качестве Я возьмите о-алгебру, порожденную множествами [О, 1/4], (!/4, 3/4], (3/4, 1]. 7.6. Покажите, что Е(3[Я) — почти наверное постоянная. 77. Случайная величина Ф(5) измерима относительно о-алгебры, порожденной Е. 7.8. Длн любых березовских множеств А> и Аз(Е(5[Я,) ш А,] ш Яь (Е(п]Яз) шАз] г- шЯ, и, в силу независимости о-алгебр Я~ и Яь эти событии иезависнмы.
7.9. Воспользуйтесь результатом задачи 7.6. 7ЛО. Воспользуйтесь тем, что о-аагебра, порожденная случайной величиной г( совпадает со всей о-алгеброй событий. 7.!1. Пег. См., например, указание к задаче 7.5. 7.12, Для доказательства равенства Е$ = Е>) достаточно взять математическое ожидание от обоих частей равенства Е(Е]Е) = >]. Обратное, вообще говоря, неверно. 7ЛЗ. Е(е!ф+ д) и Е(ц(Е + >]) независимы тогда и только тогда, когда они почти наверное постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
