А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 62
Текст из файла (страница 62)
8АО. Предположим противное: $ безгранично делима, невырождева п )В! <с. (1) Очевидно, ОЦ ( 1'. Далее, при каждом и $= з!г"! ' ... + з)!1, где йгд"1, ..., З~„"! независимы и одинаково распределены. Из (1) следует, что ~ зг ~ (~ !/и и, значит, 03!«О ( ! «'и . (2) С другой стороны, 03!и!.= — 03, и (3) причем 0Ц! чьО. Разделив (2) на (3), получим 1( Н/и0$ яли 03 ( Р/и, откуда в силу пронавольиости и следует, что 0$ = О, т, е.
3 — вырождеиа. Противоречие. 8.17. Достаточно доказать, что /(!) — характеристическая функция (так как (/(!))'/' = ехр ~ — («р(!) — 1)~= ехр (р' («р(!) — 1)), т. е. имеет тот же вид, что (и и /(!) ) . Пусть и — целое положительное число такое что и ) р. Положим / (!) = р (<р (!) — 1Ф' = (~1 — — ~+ — гр (!)] =(1+ ] При каждом и/ (!) — характеи ~ и ) и ристнческая функция (см. зада.«у 4,28). Но /„(!) -«-/(!) при и-ь аа и /(!) непрерывна в нуле. следовательно, /(!) — характеристическая функция. 8.18. Поскольку /(!) = 1нп ехр ~ — „((9«(!))'/" — 1ц и (/(!)) и" — характеристическая функ- и ция при любом и, то достаточна поло>кита р„= 1/и и 9«„(!) = (/(!))«ж 1 1 / «р Н)\ 8.19. Имеем !в/(!) = 1п (1 — — /! — !и !11 — — ).
Разлагая в ряд и переходя к зкспонептам, получим /(г] = П ехр ( — р,((1(!))" — 1)(. Применяя а=! задачи 8,2, 8.3, 837, убеждаемся, что /(!) безгранично делима. 8.29. Воспользуйтесь задачей 8Л9 (характерпстическая функция геометрического распределения равна (р — 1)/(р — е"), р)1). 821. Покажите, что функция ехр(«р(!)/и) выпукла при ! ) О и воспользуйтесь задачей 4АО. 8.22.
Для любых Ь, и Ь, «г0 ьг«г (аг ььг) /(Ьг!)/(Ьг!) =а ' е ' = е =/(г(/ Ь',+Ь',!) н, значит, /(!) устойчива. Лналогячно докааывается устойчивость распределения Коши. 8.23. Нельзя. Например, распределение суммы независимых случайных величии, одна из которых ггыеет нормальное распределение, а другая— распределение Коши, не явлвется устойчивым.
8.24. Пусть /(!) — прокавольвая характеристическая функция. Тогда по определению устойчивости /(!) /(!) = /(!«,!) е -р(!а,!), /(Лг!) /ОО =-/(Ь !) ехр (!и !), /(Ь„!) /( ) ==- /(Ь„!) ехр(!а„,!) и, значит, (/(!))" =-/(Ь «!)схр(!(а«+...+ а, «)!), откуда ( ~ —.в — /! ! ехр ~ — ! ! ==/(!) п, саедовательно, « -т 1«-1 29! — т т ~ а +...+а„ 1 (] (!П" у( — 1] ехр 1 ! " с является характерпстпчеьой ]Ьв-т / Р(Ц делится на 2) — Р(2 не делится на 2) = ~ ( — 1)ара, (!) а.=- Пусть г(!) — характеристическая функция 2.
Имеем 1(к) = ~ Рас' = ~~ ( — 1] ра (2) Сравнивая (1) и (2) и учитывая, что характеристическая функция безгранично делилвого распределения пе обращается в нуль (задача 8.5), получаем нужное утверэкдекие. 835. См. решелпе предыдущей задачи. 8.36. Пусть ](!) — характеристическая функция 4. Тогда существует характеристическая функции П(!), такая, что ) (!) =- 1~ (!). Легко видеть, что П(!) отвечает целочисленному распределению. Пусть ре, рь р-ь ...
— вероятности, которые это распределение приписывает точкам О, +1, — 1, ... Тогда (см. решение задачи 8.31) ] (я] =- ~~р~ ( — 1]ар и, аначит, ]з(я) вещественно. Но тогда! (и) = ]- (л) > О, И=- а г(п) = РЯ делится на 2) — Р($ ве делится на 2) (см. регпепке аадачи 834). 8.37. Пусть ((з) — производящая функция Д: 100 = — ~ Р (й =-Ь] а . В силу а=о безграничной делимости для каждого целого положительного и существует производящая функция Р„(с), такал, что ((з) = <р"„(г). Песта ю„(з)=: ~~ а!ь" ~за.
Тогда ~~~3 Р Я = Ь] за = ~ ~ а~~~!га) а=о ь=е откуда Р(с =1) = па!в] п, с:юдова- 292 функцией. 8.23. Пет. 8.26, Для любых Ь, и Ьз у(ь !)г'(ь г)=ехр( — с(ь ]в]!]в] ехр( — с!ь ]" ]с]"! = 1 = ехр [ — с() Ь,]и+]Ь,]'"']] 1('"] =((()Ь,] -]-) Ь, ~"')Т!). 827.
Воспользуйтесь каноническим представлением для устойчивых характеристических функций и задачей 4.94. 8.28. 1!спользуя каноническое представление устойчивой характеристической функции, покажите, что левая производная в нуле не равна правой. 8.29. Пусть $ и ц — независимые случайные величины, имеющие одинаковое пуассовавское распределение, ц — иррациоиальлоо число, Тогда 3 + ит] имеет безгранично делимое распределение (в силу задач 8И и 83), дискретное, во ие решетчатое (Р($+ иц = !) > 0 и Р(ь, кп =- = а) ) 0). 8.30. Характеристическая функция, отиечающая плотности р(х), в равна 1(!) = ~~ аа етр( — са] г] ).
Два рава продифференцвровав функцию а=1 ()(!)) ы" при ! ) О, убедитесь, что она выпукла, иопотоино убывает в, следовательно (см. задачу 4.40), является характеристическов функцией. 8.3!. См. указание к предыдущеи задаче. 8.32. Дванзды продпфференцировав функцию (1(П)и" при ! > 0 и доказав неравенство /"(!)](!) ~ ~(д(П)', убедитесь, что 1(г))ьв выпукла и убывает при с ) 0 и, следовательно (си, аадачу 440), является характеристической функцией. 8.33. Да, конечно (яапример, пусть Ц— случайная величина с пуассоновским распредолевием, тогда производящая функция случайной величины 5+ 1 равна 0 при з = 0).
8да 'толожим рь = Р(й = Ь), й = О, ~1, .... Тогда тельно, а(га)>0, Зафиксировав й и поло>низ а = й, получаем р ($Г й))(а(1"~)~>0. 8.38. Не ограничивая общности можно считать, что а О. Пусть р(х) — фигурирующая в условии задачи плотность распределения, Дг) — соответствующая характеристическая функция. Тогда ((1) ~ 0 и (см. задачу 4.116) р(х) = ~ созга((1) >(1 < — ~ ((1) 41 = р(0).
1 Г Г 2я,) 2п,) 8.39. См. решение предыдущей задачи. 830. Пока>ките, что 1(1) пе может быть представлена в каноническом воде формула Леви — Хинчина. 8.41. 5(о>кет. 8ЛЗ. Имеем Ч А (ь А >+ь А,А+ +ь А,А)+ ° +(э А, >А-»+!+ +з А. А). Положим Ча 5аь,1 + ' ' + 5АА,А' ' ' ' ' Ча 5аь,а(А-1)+1 + ' ' ' + 5аь,пз (О <А) >" е>ах — 1 Ь (и) =- ) . >(б (х). Обозначим >( (1)— можно изменить, поэтому = — ) ) Ч> (и) >(у ли, тогда >р (1) = — ~ й (и) >(и =~ ~ Ж(х) >(и. Снова а е е— Г, п„йб(х) изменив порядок интегрирования, получаем >р(1) = ~ (е "— 1 — >х))— т.
е. функция 1(>) = ехр ррП)) допускает каноническое представление )(олногоровэ и, с.тедозательно, является характеристической функцией безгранично делимого распределенэя с конечной дисперсией. 8.46. В прель>- душей задаче положите ф(1) = е-и>. 837. Воспользуйтесь каноническим представлгэвем Леви — Хвнчппа и периодичностью функции >у(х). 8.48. Ср. с предыдущей задачей. 8.49. сходпмость >э (1) — Ач>(1) эквивалентна с>шдикостп (в >р„(1) — А)в >р(1). 850. покажите, что характеристическая функппя слгчайной величины Ч равна ехр(х(1(1) — 1)), где 1(1) — характористическая ф)нкция 293 Последовательность распределений величин Ч А сходится при и->-са п, следовательно, является относительно компактной, а значит, в силу теоремы Прохорова (см. задачу 5.54), плотной.
Легко показать, что иа плотности множества распределений Ч А следует плотность, а значит, в силу теоремы Прохорова, и относительная компактность множества распределений случайных величин Отсюда следует существование подпоследовательностп п>, такой, что и) и Ч(') -ь Ч,. Аналогично Ч~~' Чз, ... Ч„.) ЧА, причем из независимости и оцпнаковой РвспРеДеленности Ч(1), ..., Ча ) слеДУет независимость н оДпи паковая распределенность Ч>, ..., ЧА. Окончательно получаем Ч Ч + ... а>А 1 Р ...+ч и ч„ь ч, откуда следует, что распределения ч и ч, +... + чь совпада>от.
В силу произвольности й это означает безграничную делимость распределения Ч. 8Л4. См. решеяия задач 8Л7 и 838. 8.45. Пусть С(х) — функция распределения, отвечающая характеристической фуш ции и и ф(>). Положим Ь(и) = ) >)>(У) г(У = ) ) е' *Ж(х) г(Р. Порядок интегрирования о е 2» з Х вЂ” параметр распределения случайной величины т, и примените задачу 8АУ. 8.52. Для нормального распределении параметр у и функция 6(х) разны у = а, С(з) = о'Е(х) (Е(з) — выра»кденная в нуле функция распределения), где а — математическое ожидание, а о« вЂ” дисперсия.
Для пуассоповского ). )1 распределения — у = —., Е(х) .= —. Е (х — 1),где Х вЂ” параметр распределения. =2 8ЛЗ. Воспользуйтес1, капОНИЧЕСким предетаВЛЕннЕм Леви — Х»1НЧнва В ПРЕдЫдугцей задачей. Глава 9 9А. Выразите копечвомерные распределения последовательности 3ь 2» ... через начальное распределение и вероятности перехода за один шаг. Воспользуйтесь теоремой Колмогорова о согласованных распредолепнях. 9.2. Нет. НаУО 14 <ю у( О~ пример, ( /. 9.3.
Нет. Например, Р(ю = ( /. Такую матрицу вероят- О/' '(О настей перехода за два шага имеют цепи с матрицами веронтностей перехода 1'1 О! ЕО 1! ! с 1 — с! за один шаг ( ) и ( /. 9.4. Пусть А = ( '(О 1/ '(1 О/' / — стохзстнческая а 1 — аД матрица второго порядка. Предположим, что А = Е«, где Р—.. ! 1,1 — Ь Ь стохастическая матрица. Тогда ( /=~~'. с 1 — с) /а + (1 — а) (1 — Ь) (а+ Ь) (1 — а) 1 — И И / !1 (а+Ь) (1 — Ь) Ьз+(1 — 'а) П вЂ” Ь) / Отс1ода с+ И = (а+ Ь вЂ” 1)1+ 1 ) 1. То есть для того, чтобы матрица А явлнлась матрнцей вероятностей перехода за дза шага необходимо, чтобы С+ 1( ) 1. )!усть с+ д ) 1. Докажем, что система уравнений аг+ (1 — а) (1 — Ь) = с, (а+ Ь) (1 — а) = 1 — с, (а+ Ь) (1 — Ь) = 1 — 8, Ь'+ (1 — а) (1 — Ь) = а' имеет такое решение, что О < а < 1, О < Ь < 1, Прн с+ 8 ) 1 пз 1-го и 4-го уравнений имеем (а+ Ь вЂ” 1)' = с+ »1 — 1 илн а+ Ь = 1 ~ )'с+ и' — 1), Рассмотрим отдельно случаи 1 < с+4 < 2 и с-(-д 2.
В первом случао из 2-го и 3-го уравнений находим 1 — а = (1 — с)!(1 ш )!с+ 1( — 1), 1 — Ь = (1 — 4)1'(!-~-)'с+ и — 1), Летно видеть, что указанные а и Ь удовлетворяют ташке первому и четвертому уравнениям. Кроме того, о 1евндпо, что по крайней мере решения 1 — а = =(1 — с)1(1+ гс+ А — !) и 1 — Ь = (1 — д)1'(!+ Ус+ И вЂ” 1) удовлетворяют неравенствам О < 1 — а < 1, О < 1 — Ь< 1. Случай с+ Ы = 2 (т. е, с = 1) = 1) тривиален. 95.
(с+ д = 1) () (сг — с+ 1 < 8 < 1) () (ач — 1) + 1 < с < 1). ~~ Р(5, = 1„ 1» '»-1 1О !»-1 Х". Х р(~-=-'»(~.— ='.— ) р(4»- ='-- Ы-1 Х ''' Х (и — ' — ' '' ьо ' ) 10 и» вЂ” 1 (4»=- 'и) ьи-1=-'»-1). Р(й = 1, ..., ь„.=1„) »» '» '''' о 'е (4» — 'и ) С»-1 =. 'и-1 й« =- '») " (ки- 1 = 'и-1( Си-з = 'и-1' . С» = !») ... Р (с»«1= !а+1 ( 5» ' — !«) = Р ( и = 1» . й»«1= !»41 ! й» = !») 294 ЧЛ Р(Р„= гп...„4,= 1,) 'ье> гп — > в) Р($„=- 1„) 1~ = /а ' $, = = Х " Х '(с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
