А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 61
Текст из файла (страница 61)
7Л4. Используйте определение условного математического ожидания. 7.16. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 7Л6. Е($(Я„). 7Л7. Е(э!Я>). 7Л8. Из определения условного математического ожидания и условна задачи следует что для жобых А>но(Е) и Вща(д) ~ $ (е>) Р (Йо) = ~ >] (ю) Р(М, А А 3 (ю) Р (г(ю) =) >] (ю) Р (Аю). Пока>ките, что отсюда следует утвер>кдеппе задачи. В В 7.19. Вырожденное в точке о распределе>гие. 7ьЕО. Е(ц !цю ц +ь ° ) = ц ° Е(Е>(>)„, т>„.>ь ...) = Е($>)Д„, >1 .»...,) = Е(ф» ! т(, т] +>, ...). 7.21. Поснольку функция >р(х] выпукла, для каждого хе существует Л(х,), такое, что >р(х) ~ >Я(хе) + (х — хе)Л(хе) Положим х = э, хю = Е(й!Я).
Тогда >р(4) » «Э>(Е(е(Я]) + ($ — Е(э(Я])Л(Е($(Я)). Вычнслня для обеих частей последнего неравенства условное математическое ожидание относительно а алгебры Я и учитывая, что Е(Е(Е($(Я)) (Я) >г(Е(2(Я)) получим Е(>г(й) !Я ) ) >р(Е($ ]Я) ). 7.22. Используя неравенство предыдущей задачи, писем Ое(Е(я] = е(е(й!я])> — (еЕ]т ~ е(е(1>]я]) — (еЕ)з = ейз — (62) ='Ое 7.23. Воспользуйтесь неравенством иэ задачи 7,21. 7.24.
Покажите, что случайные величины Е(д]Е>), Е(>]($>), ... независимы и плгеют равномерно ограниченные дисперсии (см. задачи 7.8 п 7.22). Отсюда, используя закон больших чисел, получаеи утверждение задачи. 7.2з. Нет. Пусть на вероятностном пространстве (О, .Ф, Р), где О = [О, 1], .Ф вЂ” о-алгебра борелезских подмко«кеств, Р— мера Лебега, задана последовательность случайных величии ~ О, ыщ [О, 1>>2) Зз(ю) = ( (1(п, ю >и (1>2, 1!. Тогда почти наверное Е„(ю) -«з(ю) — О. Положим О, ю щ (О, 1/2), Ч (ю) = 1, ю ~ (1>'2, Ц. Тогда Е(>]!Е ) = ц, а Е(т]($) = 1>2. 7.26.
Используя задачу 7,21, име- ем Е(Е(Е„(Я) — Е($]Я) (е = Е(Е(ф„— $(Я) (з ( Е(Е(!ń— 2)е(Я)) Е]Š— >ь-)е — > О. 727. Е (еь! Я) = Е (Е(>ь ! Я,) ! Я] — — зпЕ(>]]Я) при п-к со. Но лев,н, вая часть не зависит от и, поэтому Е(з! Я) =. Е(ц(Я]. 7.28. Воспользуй- тесь тем, что для любого а Е(Е(ь(ь )) = ЕЕ. 7.29. Не ограничивая общности, ыожно считать, что Š— неотрицатевьная случайная величина. Положи>> А=(ек зор Е(с(Яа))е), Глава А> = (ю: Е(Е(Я>) ( е, Е(Е(Я>) ( е, ..., Е(ф]Я> >) ( е, Е(з(Я>) ) е), 1=1,2,...,п. Очевидно, А> пе пересекаются и А = О А . Поскольку А»м Я>, 7 = 1, ..., л, то >=> >' з е о Е)Е)~~у(Аю) =~ ~ ЕР(Аю) =~ ~ Е(2]Я,.)Р(,Ь)~в~', Р(А,) =ер(А], А >=> А> >=> А.
>=-1 откуда следует нужное неравенство. 7.30. Воспользуйтесь результатом предыду- щей задачи. 7.31. Воспользуйтесь результатом аадачи 7.29. 7.33. Необходимость, Волн 3 и Я незазиснмы, то ф(3) и М также независимы. Поэтому з силу сеанс> з условного математического ожидания Е(ф(3) [Я) = Еф(3). Достаточ- ность, Плоть А — любое борелезское множество, ф($) = 1»($). Тогда из равен- стза Е(ф($) [Я) = Еф($) следует, что для любого В си М ~ 1л (4) Р (с(в) = и =Р(В> Е1 [3) =.Р(В)РЯ>=А). Но ~ 1 ($) Р О(в) =Р(В П (3жА)). я 79> Р(Л) = Е1 = — Е(Е(1 [ Я)) = ~Р(А[ Я) Р (Лв].7.33.
Для лсобых борелеи- скях мпажестз А и В Р($ си Л. р си В[а«) =Е(1»(4)1з(р)) [зе = 1»(4)/з(р) = Е(/»(3) [Я)Е(/в(р)[>С) = РД сиА[зФ)Р(р~В[лС). 736. Воспользуйтесь тели, что прп М =(И, П)Е(ф(3) [Я) = Еф($). 7.37. Пусть даны произвольные Ьс >и М~ н В> сп Яс.
Нужно показать, что Е (/я 1л ~ Я) = Е(1п ~ Я) Е(/п / Я) л л с л и, н. разноснльно Е(1л [ЯЯ >= Е /1и [Я) п, н. Для этого достаточно доказать, и н. что второе раеснстно равносильно е(1л е (1п '[Ям )[Я) = е (/я е (1п '[Я)[Я). 7.38. Да. Пусть, например, О, в ж А, ~0, в ~ В, 1, в>ЮА, [1, о>жВ, Р(А) = Р(В) = 1/2, $ и р независимы. В качестве Я возьмите о-алгебру, по- рожденную случайной величиной 3р. 7.39, Дока>ките сначала утверждение за- дачи для кусочна-постоянаых случайных величин.
7.40. Воспользуйтесь тем, что Рс(В) = Р(В), Рс(С) = 1/2. 7.4!. Воспользуйтесь тем, что а случае а) Р(А[Я) = Р(А); б) Р(А [Я) = 1»! 2Р (А П [О, 1/2)), в си [О, 1/2), н> Р(А[Я) = 2Р(ЛП[1>2, 1)!, всм [1/2, 1). [ЗР (А П [О, 1/3)), в си [О, 1/3), 7.42. а) Р(йсыА[Я)==!3 б) РД~А[Я)= 2 Р (А П [1/3, 1!), в сн [1/3, 1[; /л (в) + 21л (1 — 2в) 3 Л, в~ [0,1/3), /л~ ')+21л(в) , в>и[1/3, 1[. 1„(в) —,— 1„(1 — в) — з) Р(ьжА[Я)=.—. 2 Глава 8 8Л. Пусть /(с) и у(с) — характеристические функции случайных величин и ай+ ь соответственно. тогда (л(с)сс" = (е*"/(ас))'с" = ес" с" (/(ас))сс» язляетая характерпстичесной функцией прн юооом целом положнтельаом л.
8.2. Покажем, что характеристическая функция, яеляюпсаяся пределом последонательности безгранично делимых харантернстпчссяих функций, безгранично делима. Пусть /,(с) -«/(с). >р>сксируем произвольное целое положительное т. Тогда (/„(с)) с (/(с)) с (1) Пз яепрерыоностн /(с) следуат непрерывность (/(с))", и, таким образом, (1) означает, что последонательность характеристических функций сходится к непрарыеная функции и, следовательно, последняя язлнется характеристической фуш;циеп, 8.3. Воспользуйтесь тем, что характеристическая функцил 3 + р 289 равна произведению характеристических функций $ и та 8.4. Докажите сначэла, что )1(с) (с — безгранично делимая характеристическая функция и воспользуйтесь тем, что квадратный корень из безгранично делимой характеристической функции — безгранично делимая характеристическая функция.
8.5. Пусть 1(с) — безгранично делимая характеристическая функция. Тогда (ДН ) — также безгранично делимая характеристическая функции (см. задачу 8А) п, следовательно, (1(с) (и" — характеристическая функция. Далее, последовательность (1(с) (»]" при каждом с монотонно не убывает и, следовательно, стремится при п -«аа к пределу д(с). Последний непрерывен в нуле и, значит, является характеристической функцией. Но у(С) может принимать только два значения: О и 1, Поскольку у(О) = 1, ато означает, что у(с) 1. Если бы существовала точка с»» такая, что 1(с») = О, было бы у(са) = О. 8.6.
1'аспределение с плотностью Лсса — х" а хт при х ) 0 и 0 при х ( О. 8.7. Рассмотреть сначала случай, 1(1) ногда и рационально", в общем случае приблизить и последовательностью рациональных чисел. 8.8. Покажем, что для любого целого положительного и (1(с))"" — характеристическая функция. О»нксируем п.
Для каждого п» найдется целое неотрицательное Са, такое, что п(а ( па ~ п(»«!. Очевидно, Сь-«аа прп Сг-» са. Имеем — — — ~» [ — — ~= -«О прп Уг-«со, г с, пс» и СА+! Г»г са+! !асад ссп сас 'а следовательно, (1(сУ" — (1(сйссп при 4- . Но все (1(сН ~~ характеристические функции, а предельная функция (1(с) ) оп непрерывна в нуле (поскольку 1(с) непрерывна в нуле). Отсюда (1(!))"" — характеристическая функция.
8.9. Покажите, что характеристическая функция равномерного иа отрезке распределения обязательно обращается в нуль, и воспользуйтесь аадачей 8.5. 8.10. Найдите соответствующую характеристическую фуикцисо пуассановскога, отрицательного бииомиального, нормального распре- лений и покажите, что корень п-й степени из характеристической функции пуассоновского, отрицательного бппомиального, нормального распределений и распределения Коши представляет собой соответственно характеристическую функцию иуассоповского отрицательно!а биномвальиого, нормального распределений и распределения Коши (правда, с другими параметрами).
8.12. С»!. решение задачи 8.9, 8АЗ. Пусть 1(с) — характеристическая фупкппя, отвечающая функции распределения Е(х), Тогда функция распределения (С»(х] + 1(с]+1(с]е "" + Е(х+ а))12 имеет характеристичесиую функцию 1(с) (1+ соэ са — с ып са), которая обращается в пуль, например, прв с = п(о. 2 8.14. Покажите, что непрерывная и линейная ва каждом отрезке (п, и+ 1) функция распределении имеет в качестве компоненты равномерное на отрезке (О, 1) распределение, и воспользуйтесь задачей 8.9.
8.!5. Рассмотркм вероятностное пространство (О, .Ф, Р), где Я = (О, 1, 2, ...), .Ф вЂ” множество всех подмножеств О, Р(()г)) = е»Л»14( (Л «0). Тогда случайная величина й(оз) = ю имеет пуассоновское (и, значит, безгранично делимое) распределение, но на мажет быть разложена в сумму двух независимых одинаково распределенных случайных величин (действительно, если это не так, т. е. $ = 9»+ йс, где $! и $! независимы и одинакова распределены, то 9! имеет распределение ПуассоЛ на с параметром —; это означает, что П можно разбить на непересекасощиеся 2' ь подмножества Аи Аь Ас, ... так, что Р(Аа) = е ~р) ~(г(» а это невозмояс но).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
