А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Рассмотрим ЗОЗ 10.2. а) каждая реализации равпа 1 при с = с„ п 0 пРп С ) са, где 0( с, (1; пдп(х,х)>1, О«,1,,>1, х >1, 0(х (1, 0(х, х (1, Сп(:, .1) ( О. вероятпостпое пространство (и, лг, Р), где Й = (О, 1), лз — о-алгебра, порож денная всемв одвоточечяыип подмножествами ((, Р— мера Дебета. В качест во ы можпо взять случаивый процесс (1 прп Г -= ю, Г (1,'2, (О прп всех остальных ы и !. 10.8. Предположите вротивпое.
10.9. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 10АО. Нужно доказать, что длл любого е ) 0 существует 6 ~ О, такое, по если (сз фиксировано) (с — го) -6, то Р( ~ И(Б!) — д(ь, ) !>~ в) » <е. Выберем о такое, что если )х — хе) ( и, то )д(з) — б(ле) ) ( е. Выберем теперь б так, побы Р( / ь, — $! ) 'за)»» е, если )с — ге/ "6 (ато можно сделать в силу стохастической вепрерывности процесса $ю) теперь иъгеом при (! — /е) ( б '<~е(")- (6.И- =)-"(~~ -~,Й )»' 1ОА1. Рассмотрите случаипьш процесс 1, гслп г=ю, $!= О, если СФю, 0(1»»1, определеппый па вероятпоством прострапстве ((), л/, Р), где () = )О, 1).
зз — о-алгеора борелевсквх подмпол«ютв и Р— мера !!ебега. 10.12. Воспользуйтесь тем, что при всех 0 и 0 случайные величины $, — Ц! имеют одно и то же певыро>кдепоое распределеппе, 10.13. Предполоягим протпвпое: существует е ) 0 и две последовательвости )г„) в (г„), такие, что )г„— 1„(-еО при П-ь ос, ПО Е( Ь, — Х „)а> Е. В СИЛУ КОМПаКтВОСтв МПОжЕСтза А Па (Г„) можно выделить подпоследовательпость (г ), сходящуюся к некоторой точке 0» А.
Очевггдпо, т„таласе сходится к гз. Если р "1, то !:слп р) 1, то Е)6 ° — ~!!'-( ЕЬ" Б! )'~~2" Е)И вЂ” В !")~2' 'е"" О ), т, е. в обоих случаях приходим к протггворечию со стохастпческой вепрерывпостью 2~ в точко ге. 10А4. Предполотким протввное: существует последовательность (Г ) такав, что Е(ье! !" — «оз пРи в-е ос. В силУ компактности А вз (1„) можно ныбратьсходящугося подпоследовательпость (г„), г„-» г . прп д~ р. 1 имеем Е ~ ц, )" » »2в т /Е ) 3, — Ь ~г-)- Е ) $, )л), Т!ервый член в скобках стремится к нулю, второи — ограничен, левая часть стремится к бесконечностии.
Противоречие. Случай р ( 1 рассматривается аналогично. 10.15. Для доказательства необходимости носпольауйтесь тем, что пз сходпмости по вероатпости следует слабая сходимость. Для доказательства достаточности покажите, что предельное распределсппе вектора (бь $,) прц д з -е ге сосредоточепо па биссектрисе первого п третьего координатных углов. Далее, пусть /,(.г)— непрерывная фувкцпв, развал 0 в нуле и 1 вве е-окрестности пуля. Тогда Р(~2, — 2,~ ( е) ( Е/,(1~ — Е,). Покажите, что математическое ожпдзлле в правой части веравевства стремится к нулго прп с, а -е ге. 10АО.
Пусть /(г) непрерывна в точке Га. Фиксируем произвольгюе е ) О. По условию Р~ ~ ххю — ~! 1)~ о ~-ьО при с-егь Выберем 6 тазов, что при )с — 1,) (б )/(г) — /(0)) ( в. !(меелг Р(~всю ( / (!) — Ц вЂ” /(г )~) з) к," ою! А е) ~ Р () $с — $с !+ ! Г (с) — Г(с ) ) > е) < Р ( / ьс —;, ! > — 2Г! — «О. Пусть теперь Г(с) разрьсвпа в точке са.
Тогда существует е > 0 и последовательность (с„), такие, по с„-«с, )Г(с ) — Г(с») ) > е. Оссюда вытекает существование подпоследовательпости (Сгп ) такой, что либо Г(со ) — Г(с„) >ь, либо!(го, ) — Г(с ) < ~ — е. Пусть, например, первое. !!з стохастической непрерывности процесса 2» СЛЕДУЕТ, »те ПРИ С -«С, Р ~ас — Ес » <— 2 )-«О. ОКОПЧатЕЛЬПО ИНЕЕМ Р~Цс +!(со ) — Ь, — Г(с ) < —.) = Р(2с — ьс ~( —. — (Г(со„) — Г(с )))»а; ~Р ((»ьс — бс (» — 2 -«О, т.
с. Р Кс + 1ссоьд — 'е» вЂ” Г(с )> . «! и, еле довательпо, $»+ Г(с) пе являетсн стохастически непрерывным в точке са. 10.!7. Воспользуйтесь тем, что суперпозиция измеримых отобра»кепий явлвется пзмерпмыи отобра»кениом. 10Л8. а) да, б) да, в) пет.
ГОЛО. Воспользуигесь тем, что из схадимостн по вероятжюти следует слабая сходимость распределений. 10.20. Рассмотрите случаппый процесс из задачи 10Л2. !0.2!. Пусть А = () $с — зс, ) < Ь), Га — индикатор событие А. Исдользуйте представление Л(~с) ($с ) = (Л(1с) Л($с,)) Гл+ (Л($с) — Л(вс,)) Г„-1022. Пусть 2» и К вЂ” стохастнчески эквивалентные процессы.
Тогда Р(й < з, ..., ь < т )— (.с с ° . с„о) =РУГ < „..., ~с < „) П ~бс =К,, ..., ~со=~с„))= = Р (ь, < зс, ..., 2с < е ). 10.23. Пусть сс — стохастически непрерывный процесс, е, стохастпческп энвивалентеп 2». Имеем для любого е > 0 Р()Ц, — Ьс )>е)=Р(~~о 1 Ьу — Ес +Кс — 4, )>е)»< Р();-,* — Ь,~+~;,-И, ~+!И, — й,'~=.)«Р(1~,' — И,! -'2)+ е с ! е) е) + (!Ч,— Ь,,~ —,~~+ ~(!И,,— Ь,',! —,)= (11,— ~с,)>т)-О при с са.
10.2сс. Стохастнческая непрерывность следует из того, что при любом С Р(»с(ы) ~ О) = О. Разрывность всех траектории в каждой точас очевид па. 10.25. Иеренумеруем элементарные события: ыь ыь „, '!'огда Р(~ Кс — Ьс ~ >е) = ~' Р(($,(о»е) — Цс (ы„) ~ > е). Пусть все траектории нспро о рывны, тогда ряд справа сход»пса и каждый его член стремится к пуп»о при со, поэтому сумма рида также стремится к нулю.
Обратно, если стремится к ну»по левая часть, то, очевидно, стремится к пулю каждый член ряда в правой части, т. е. все траектория непрерывны. 10.26. Перенумеруем значения па РаивтРа С: Сс, Сь ... ДЛИ КажДОГО С = 1, 2, ... И ДЛЯ ЛвбОГО бОРЕЛЕВСКОГО МПО- нсества В на прямой мволсество [ы: $с сн В) является событием, но тогда сс событием ЯвлЯетсЯ и мнолссство (а: осси В) = () !еп ьс сн В). 102У. ПУсть » Л вЂ” счетное всюду плотное подмножество мнолсества значений параметра. 1 для любых а < Ь и любого л (ы: а< о »<Ь) с=(ыс а — — „~$ < Ь+ —, селА~, Г 1 и, значит, (со: а<»ьс»<Ь) с й )сос а — — „» <«ес»<Ь+ —, сон А) =- о=с (ек а<»гс»~Ь, с аА).
Обратное вклсочение (ш: а < фс < Ь, с ж Л) с (ы: а < $!< Ь) очевидно, Следовательно, (вп а < ь!< Ь) = (оп а ( Е! < Ь, ! щА». По последнее множество измеримо. 10.28. Для любого борелевского множества // на прямой имеем (()о, !): $!(оз) )ы/), м = ыо) = ((о), !): $!(ы) щй) О О ((ы, !): ы = ыа). Оба мнон)ества, столщие в правой части измеримы, следо- вательно, измеримо пх пересечение, т, е. множество, стоящее в левой части.
Обратное неверно. Пусть (П, лз, Р) — веронтпостное пространство, где О = [О, 1],,Ф вЂ” а-алгебра борелевскпх ыножеств, Р— мера Дебета, 0 ( ! < 1. Пусть А — любое неизмеримое множество на отрезке о) = с, 0 ( ! ( 1, Рас- смотрите случайный процесс $! =.] прп (ы, !) щА ]О в остальных случанх. 10.29.
См. решение аадачи 10.27. 10.30. Пусть У вЂ” класс всех открытых интер- 'валов из [а, Ь] с рациональными радпусал!и н центрами в произволыгом фикси- рованном счетном всюду плотном множостве. Пусть, далее, Бь", а=1, ..., тч, !о) конечное покрытие огрею;а [а, Ь] диаметром » (Пл, Ьо )и У. Возьмем про!в) ь-! нзвольные точки 11,") )и о~ао). Положим в]") =- ь (о) ПРи ! он Л(а')! Ц б!"). )о )=! Очевидно, случайные процессы '„- измеримы. Покажите, что из последова!в) тельпости $го) можно выбрать подпоследовательность сходящуюся почти всю- ду к измеримому случайвому процессу Уй!.
Пусть ЛХ! — множество точек (ы, !) меры пуль, ва котором эта сходпмость не имеет места, К! — множество ! таких, что ! — сечения множества Л/! имеют меру отли шую от пуля. Покажите, что случайный процесс при 1!ы К ь прп )ФК является искомым. 10.31. Рассмотрите случайный процесс при 8!ил! Ц Кз при ГфК,Ц К, где К! — множество точек в которых $! не является стохастически непрерыв- ным, а К, и Е! определены в указании к задаче 10.30.
10.32. Положим = Пш знр ть), Ц = Ип! 1в1' йг, А! — — [оь)! ) ь (О ~) ь)! ]. Покаб о ]! — )о[об " б о ])-)о]об лгите, что Р(А!) = 1 н случайный процесс а! =- о)ГА + е! г — является !!) А! искомым. 10.33. Докажите, что события А = ($! — целые для всех двоично- рациопальных г, т. е. ! = Л/2:.), Б =- [ь! » (2 для всех двоична-рвциоиаль- ных г! < т!), Со = (длн всех целых ! от 0 да $о существует двоичпо-рацио- нальное г !ы [О, /у], такое, чФо $! = !) имеют вероятность 1. 10.3г!. Используйте равенство Е)$! — 2,[! = Е ~йП вЂ” Еь!ь, — Е"".ь!+ Е[2,['. 1035. Используйте рансгво Е~ (З! оо — $!)/Ь]1=(б(г+/!з )+ Ь) — Ь()+ Ь, !) — В(1, г+ /!) + Е~.д — ~! + б(с, с))/Ь'. 1036. Покажите, что 1нп — =- 0 по вероятности, по Л.о Е](й!„о — Е,)//г]о о]Ь['-о, О. 1037.
К(г,о) = !/!/!(!)Т!(з) +...+ и / (!)»о(о), 10.38. ~~ о.гоК(г, го) =. ~„о.со сот($! Ц! ) =- сот /,~~~ о)6!., ~ оо2! ) )О. о 10.39. ~! К,. (г, о). 10Я1. Воспользуйтесь следующими двумя утверждениями: г=-1 а) если К(), о) — коррелнционнвя функция случайного процесса $! и а ) О, то аК(г, о) — корреляционная функция процесса Го $!) б) если случайные про:!пб цессы З)~~ п ЦЮ независимы и киесот корреляционные функции К~(С, г) и к«(с, г) соответственно, то случайный процесс [с[Π— ес(сг)Исссг" — е";(г'] иие- ет корреляционную функцшо К,(с, г), К,(с, г). (ОА2.
га![п(х'+ а')]. 10 43. До- калспте, что из бесконечной двфференцвруеиостн корреляционной функции по обоим переменным следует бесконечная дифферекцнруеиоссь процесса в среднеи квадратическом. 1ОАсь о'сг. 10.45. Езс = О, К (с) = ~ сое уса (ду), где о р — конечная мера на [О, оа), определяггюя равенством р(В) = ЕА«1з(ц), (1, хе В 1в(.) =~ 10.46. Покажите, что если г ) 0 и ф(с) — произвольная !О, «~В. вещественная функция, то фуниция сф(С~)ф(С«) положительно определена. 10.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
