А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Воспользуйтесь тем, что в! — в, имеет нормальное й о распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией с — г. 2 10Л32 Р(!гс < и[ в, = и)= Р(в! — в <и — и)= ) ехР~ — 2 <!Сг. )<<2л (с — л! 10ЛЗЗ. Совместная плотность распределения равна 1 з! (гг г1) (г« *«-1) ! (2 )"/з тгс с (с — с ) ... (с„ — й„ ) р [ 2<, 2 (с — < ) '' 2 (с„ — й„ )) 10.131. если траектория винеровского процесса дифферепцируема в некоторой точке г (без ограничения общности 0 < г < 1), то [!г! — в.[ < й(с — г) при г < с < и+ 5/и, и > ю для некоторого й) 1 и некоторого ж > 1. Но вто событие содерл<ится в событии 7< П П П П и !ю:[ „„— „„<«[< — „, !<и! в<в! «Риз<!с«+з <<»с<+в ! ' ) 21» 315 а Р( () П (ю: ) юа/„— ит12 М ) < — Д~ <(и+ 2) )Р ()итд/и)< — )1 «2 ,з -'( ( =-)-=--- 2 1 С (/'2я ) ~I~ ~«1<т!/Уй 2л/С вЂ” 2)(С вЂ” 2 ) Р1 2(д — 2)(Д вЂ” дд)( д.— гд д)) ) 10.136„Пспользуя строгудо марковость випероесиого процесса, покажите, что Р( птах итт~ )2, ит2 ) 2) = Р /пжх ит„)~ т, ю2 < 2).
Отсюда Р( птах и,) т) =. дихт«2 2Р / жах итт> 2, ит, > т) =- 2Р(ит, т) = 2Р(и, >2). 10.137. р Ы («) тх ~аат«2 1 2 ~ т г) — = — „ехр — 2 )', «) О. Покая'ите, что Р(т(т) < «) = 2Р(ит ) 2). 10Л38. Воспользуйтесь результагамн задачи 10Л37. 10.139. Так как Р(:тт(1) < < «) = Р(г(1) < х/2'), то плотность распределения 2'т(!) равна р т («) = тзпд) 2л ( 2)з'2 10.140. ехр( — (1+ т) )) )т') д )~. 10.141. (2/л) агсз(яффой тдд. 10.142. х т тз т Ыт — т]2 х 22 тт т 10.143. Г (х) = 1 — е 2", р («) = 4«е 2" .
10.144. е ди". 10.145. Для доказательства а) воспользуйтесь утверждением а) задачи 10Л26. Для доказательства б) используйте строгую марковость вннерозского процесса, 10Л46. Из утверждения б) аадачн 10.145 и того, что для любых а, Ь Р(а, Ь) < < 1 следует, что Р(а, Ь) = а ", где а) О. В силу утверждения а) задачи 10.145 отсюда следует, что р(а, Ь) = а-д", 7 р. »О.
10Л47. 7 = 2. 10Л48. Восполь"о зуйтесь тем, что Р(22 <х, Ц <«„, ..., со<«) ) НР($ < и )Х тт «д-ттт «и-(исо. ° +и„д) Х ~ др~~,,— ~„<и,)... ~ /й,а — 4,,<.„~. 10Л49. Воспользуйтесь тем, что если сь ..., $2 и ць ..., Пт — дзе независимые последовательности независимых случайных величин, то случайные величины $1+ цп ..., К +ц независимы. 10.150. Если сумма независимых случайных величии имеет вырожденное распределение, то каждое слагаемое также имеет вырожденное распределевие. 10.15!.
для любого с,любого тдд > 0 и любого натУРального и имеем Ц,тад — 22 = ~~Р~ (Цдеадд/„— абдт/2 >а2/„). В пРавой части а=д стоит сумма независимых (процесс с независимыми прддрапдениямн), одинаково распределенных (процесс однородный) случайных величин. Следовательно, распределение й~т.тт — Цт безгранично делимо. 10Л52. Докажем непрерыввость справа (непрерывность слева доказываетсл аналогично). В силу стохастической Р непрерывности зьиа — Цд- 0 при 52-е-О.
Пусть Пт) = /(д, 50 2) — характеристическая функция случайной величины Цттат — $2, тогда /(2) -2-1 прн /дд-иО, 316 но ф(с + бс, з) = ф(с, з)с(з), следовательно, ф(с+ ьс, з) -ьф(с, з) при ьс-ь О. 10.153. Воспользуйтесь следусощим фактом: пусть Зс, $ь ...— последовательность случайных величин, П(с), сз(с), ...— соответствующая последоватевьность характеристических функцйй. Если равномерно в некоторой окрестности Р пулл ) (С)-~-1 при п-есо, то $„-~0. 10Л54.
Воспользуйтесь равенством — Ез и независимостью $ь ..„Е„. 10.155. Пусть Ь» 'гз-1 "'*го-Сага~ба с, ( сь Обозначим чеРез ((з) хаРактеРистическУю фУнкцисо вс — зс . тог- 3 1' да ф(сь з) =ф(сь з) )(з) и, поскольку [)(з)[(1, [ф(сз, з)[ я, [ф(сь г)[. 10.156. $~т,=$~т,— з,+"„. Случайные величивы Ес+., асс,— $о 5, имеют характеристические функции ф(С+ г, з), ф(С, з) и р(з, х) соответственно. Кроме того 21т, — Е, и Е. независимы. Таким образом, ф(С+ х, з) = ф(С, з)ф(з, з). 10Л57.
Воспользуйтесь тем, что сумма независимых случайных величин, одна из которых имеет абсолютно непрерывное распределение, высеет абсолютно непрерывное распределение. !0.156. Дисперсия суммы независимых случайпых величин равна сумме дисперсий слагаемых. 10Л59. Воспользуйтесь следующим фактом: пусть $ — случайная величина, причем для каждого я сущестзусот независимые одинаково распределенные случайные величины йс, ..., $„такие, Сгй Сл) С, Р что 2 = чссс"с+ ...
+ 6(оо"и тогда в~В!- О при и-~со. 10.160. Установите сначала справедливость требуемого утверлсдения, когда Х вЂ” рациональное число Затем воспользуйтесь резулыатом задачи 10.159. 10Л61. Вообще говоря, нет. Рассмотрите случайный процесс 2п йь = тс, 2~ = 0 при а ( с < 5, причем ц имеет невырождепное распределение. 10Л62. Воспользуйтесь результатом задачи ЗЛ90. 10Л63. Цс = зс — ьс+ 2с — зз+ з„.
Случайные величины ьс — 6„2с — ь н Ез независимы и, так как зс почти наверное равна постоянной, каждая Со из пих также почти наверное постовпная. Отсюда следует, что йг — почти наверное постоянная. 10Л66. Воспользуйтесь результатом задачи 10Л55. 10.167. Воспользуйтесь равенством Овч~ = Щс с+ Ойс. 10Л69. Воспользуйтесь неравенством чебышева и соотношением е/$ — $ '1~= есзс — асс + сей! — езс '1~ и справедливым при С) Са. 10Л70.
Доссалсйте методом от противного. 10Л71. Если Е~ — процесс с независнлсыми приращениями, то з = ь — ь + $ п ьс 'о 'о о о о а 2, независимы. Покажите, что зто невозможно, если $с имеет показательное ' о распрелеление, а 4 — равномерное иа отрезке [О, 1]. 10Л72, Найсдите характеристическую функцию совместного распределения приращений 10Л75. Пусть  — совместное распределение А и тр В(В, С) = Р(А ш В, ц си С) для любых борелевских множеств В и С. Тогда для любых борелевсквх множеств Аь... А Р(Л сов [т)(СС+ й) + ф[ ш Ат, ..., Асов [СС(С„+ Л) + ф[ а Ао) = — Р (х соз [У [сс+ Й) + ф! ~ лс...,, х сов[У[ со+ 5) + ф[ ы ла) х (нх~ НУ)— о о = ~ ~ Р [ф Г„) Р (Ах, гу), о з где Га = (х; х соз [у(С~ + й) + г) ш Ль ° ° ., х соз [у(С + й) + з) ш Л ) Й [О.
2сс) ° Так как множество Гл получается иа Га сдвигом на уй и приведением по модулсо 2я, а распределение ф — равномерное на [О, 2я[, последний интеграл равен х о ~ ~ Р [фш Г ) Г (дх, Ау) =Р(А сов(т)с +ф)ж А, ..., А сов [т(С„+ф)шЛ„). о з 3!7 10Л76. Е>), = О, Е>!»), = 0[(Е созЛс+ Е,з(пдс)(Е>созЛе+ $,2(п Ле)] = = сов ЛСсоа Ле+ з!пЛСа(п Лз = сов [Л(С вЂ” е)], т.
е. пд — слУчайный пРоцесс, стационарный в широком смысле. Но, папрпмер, Р(тп = 1) = РД> = 1) = 1(2, ь> + ьз (» ->>= (==»)=».!.>>>. > >)>' ' («>~> — о. »>>» ) ( 2 41 Ез> = Ел» вЂ” Ел>='Л(1+1) — Лс = Л; Е2Д, = Е[(л»> — л>) (л»з> — л )]. Рассмотрим три случая. 1.
з ( с — 1. Тогда Е[(л>з> — л>) (л.».> — л»)] = Е(л>е> — л,)Е(л»е> — л,) = Ле. 2. е = с, Е(л,„> — л>)2 = Л'+ Л. 3, с — ! ( < е < с. Так как (л>ы — л) (ле> — л) = [лт, — ле, + л, > —.'1>] Х Х [л,» — л>+ л> — л] = (л>е> — лз>) (л»е> — л) + (л,„> — л)'-,'- + (л>+> — лаю)(л, — л.) + (л.е> — л>) (л> — л.), то ЕЕ>Е, = Л'+ Л вЂ” Л(с — 2).
Р 10Л79. Пусть зс-«а, с оо, т. е. для люоого е) О Р(~$> — Ц~ ) е) -«О при С вЂ” «оо, Возьмем любые С> ( Сг. Тогда для любого Т Р()4> — 4~ )~е) ~ "'1 < Р (~ Ц вЂ” ~ ~ ) е/2) + Р (] $ — ~ ] ~ е(2), Р (1»,. — Ь] > а) < < Р() ц — "й ~) е/2)+ Р(~ ц. — с !) 2>2). но так > ак з>— стационарный процесс, Р(~ цс — бт~) е)2).= Р(~ $> — зг„, с ~ сз е,'2). ОтсюДа ] Р (/ Цс — Ь [) е) — Р (] Ч> — 1 ! )~ е) ] ~ <Р [] чт — Е ].е-. 2>2]+ + Р (! Чг с — с ( ~) з(2). Н, следовательно, длл любого е ) О и щобых с> < с, Р(~ ьс — ь ! ) е) = Р (! Цс — з ~ )~ е).
Отсюда, з силу Р() 3> — Е ! ) з) ->. ->.0 пРи с-«»о, длЯ л>обого е ) О Р(! ь> — з/~ )е) = Р([;с — е / >э е) =-О. Значит, и Р(~ ьс — зс !.. е) = О для любых с>, 12 и е ) О. Отсюда вытекает 1 2 утверждение задачи. 10.180. Пусть т)(ю) = б(Т»>). Тогда Ег! —" ~ >) (пб Р(»(ю).
11 Сделайте замену переменных 7>ы = и и воспользуйтесь тем, что 7 — сохраплющее меру преобразовавае. 10Л81. Для л>обого Л а.4 Л и Т вЂ” >Л содержат одинаковое число элементарных событии. 10Л82. Повал»иге, что мера Лебе>а >шожеств [сс 3) и Т-'( [а, [)) ), 0 < и ( 8-" 1 одинакова. Получите отсюда утверждение задачи, 10Л83.
Рассмотрим преобразование Тх = Ла, О ( ). ( 1. Пусть г" (г) — функция распределения меры Р, Г(О) = О. Тогда для любо~о а ) О [О, а) = Т '([О, Ла)) и, если Т вЂ” сохраняющее меру преобразование, то Р([О, а)) =Р(а) =с (Ла) = Р([0, Ла)). Отсюда Р(а) =1, по Р (О) = О, что противоречит непрерывности г". Аналогично рассматриваетсв преобразование Тх =и'. 10.184. Обозначим С вЂ” класс множесзе ннвариантных относительно Т. Тогда, очевидно, Я~С. Пусть ЛыС, Тогда, так кан А2>Т 'Л =-ЛТ>Т->Л, Р(А сЛ Т 'Л) = Р(Л >Л Т 'А) = О и, следовательно, Л~С. Аналогично провернются все остальные условия в определении о-алгебры.
10.185. Пусть Е(о>)— случайная величина с Ез' ( ео. Тогда ряд Фурье и~р ~еле~~се~з(ы) сж>дится в е= среднеквадратическом, ~чд~ ] ее [2 ( оо н з(ю) =- ~ е„е "'"" почти наверное. Отсюда з (Тю) = ~д слета!левал а, л если 3 инваРиаптна, то и=— е„(1 — есо'"') = О. По прсдположени>о Л иррационально п, значит, для всех и~1 е"'"'Ф1. Поэтому с =О, лФ1, Ь(ю) = е». Отсюда следует, что преобразование 7 эргодично. Пусть теперь л рационально, т. е. Л = Лут, где Е и т — целые. !'ассмот2т — 2 рим множество А = (ю: 0< ю < 1с'т, 2>т < ы ( 3)т, ...,, (~ю< 318 2ог — 1) < ),Ото множество является инвариантным, но Р(А) = 172.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
