А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Следователь)й по, Т пе эргоднчно. 10А88, Необходимость. Пусть А — любое множество из С. Положим В = (а: $(ы) щ А). Тогда Т-'В = (нн Ты а В» = (ок $(Та) щА» = В () !у, где Р(В) = О. Следовательно, Р(В Л Т-'В) = О. Отсюда В щ С. Достаточность. Пусть А яС. Тогда В = (он й(ы) я А) е С. Таь как Т 'В = (сн Е(Ты) аА), то Р((ь(ю) щА) гх (ь(Ты) щА)) =О. Следовательно, Р(Е(ю) яА, ь(Ты) Ей А) = Р(ь(ы) Ф Л, в(Тю) щ А) = О. Получпте отсюда утверждение задачи, 10 187. Пусть Р(А Л Т-'А) = О.
Танкан А Л Т 'А = (А тТ 'А) () (Т-'АХА), 'го Р( 1!Т-'А) = Р(Т-'А тА) = О. Пусть теперь Р(АХТ 'А) = О. Тогда, так как Р(1) =Р(Т-~А), Р(7-~А)А) =Р(Т-~А) — Р(А()Т-'А) =Р(А) — Р(А()Т-~А) = = Р(А'тТ-'А) =0 Значит Р(А 5 У' 'А) =О. 10А88. Нет. 10189. Для доказательства достаточности возьтпме в качестве з) и Е индикаторы собьпий А и В. П е о б х од и и ос т ь. Докажите сначала справедливость утверждения для ступенчатых случайных величин. 10А90. Вообще говоря, нет. Пусть, например, Ес, со "„— попарно независимые одинаково распределенные случайные величины, заоиспмые в совокупности (постройте пример таких случайных величин!), 4п йо .. — независимые в совокупности, одинаково распределенные с Ьс случапньн зелнчнны, ке зависящие от йс, йь йь Тогда последовательность йм Ьь...
удовлщооряет усющто задачи, но пе является стационарной, так как трехмерггые рзгпределекия ($я Ць $з) к (ьь ьь "ь), очевидно, не совпадагот. 10Л91. Вообще гглюря, нет. 10.192. Пусть ((хч...,, х ) и у(зе, ..., х ) — щраниченные функции, ил~егоюис абсолютно внтегрируемые преобразования Фурье. Покажите, что если !пп л !а) =О, тонн! еУ(й„, хогг, ..., 4оч,„) х(ьо, Йг, . ° . К„,) = = Е(($о, ., ь,„) Еу(ье, ..., Е,о).
10.193. Воспользуйтесь законом 0 или 1 Колмогором. 10А95. Однородная цепь Маркова $и $ь ... с фазовым пространством (Х, 6) будет стационарной последовательностью, если распределение случайно!1 величины $м Рс(А) = Р(йсщ А), А щ 6, свнзано с переходной функцией Р(0 х, Г) соотношением Ро (Г) = ~ Р (1, х, Г) Ро (ох) длн любых ! и Г щ 6. Х 10.190. Пусть Аь ..., А — любые борелевскпе л~ножества. Тогда РЯмы щ А„,. „з)ьы щ А ) = Р(((ты+к ..., $ +ь+П щ Аь ..., ((й,„....., Е„„+.) А.) =Р((й,..ь ..., Е „,„) В), гдеВ=(зь..чз ы!(зь...," >~)яАо...,((з„...,зии)щА).Таикакпоследоватсльность (й,) — стацяонарная, то Р((й~~ь ..., й еь ) щр((йь, Ь ) ~пВ) =Р(т)~щАь ..., г)»щАч) ° 10.197.
Д о с т а т о ч и о с т ~. Пусть ~1, х щ Л,...., х „гщ Ам лг ""лмчг ' г' ''' и+т) (О в противном случае. Тогда (Ь щ Ат ' ' Ьо-~-ещ Аоег) = ТАГ,,Ам+т( о' '"' Со+т) = Н е о б х о д им о с т ь. Пусть Г(Аь ..., Л з~) — распределение й„..., С +„. Н силу стацнонарности последовательности зь йь ... оно не зависит от а. Но тогда и Е(($„.....
$„чю) =) ... ) 7(. „... „,)Г( „...,» пе зависит от п. 10А98. Пусть А — произвольное инвариантное множество относительно последовательности це, цо ... Тогда существует В си 6(В 319 такое, что А (ак (ц», ц +с, ...) щ В)) для любого я. Отсюда А (юс (1($», ° ° о $»о»), 1(2»»с, . °, »»»о»»с)~ ° ) он В) = (со: Д, 2»»ь ...) ~ С), тле С (го, гь °... (1(го, ..., г ), 1(гь ° ° ., г о~), ...) щВ), н, так как В щ М(В"), а функция 1(з„.. » з ) измерима, то С щ Я(сс"). Таким образом, А — инвариантное множество относительно последовательности йо, 0» ... и в силу зргодичности последней Р(А) = О или 1, Отсюда следует зргоди шость последовательности ць Оь ...
10.199. Стационарность (Оо) следует нз того, что совместное распределение (1 [Од»ь "., $»+ды), °" 1»(здо ° ° й оьо )) не зависит от Со. Для доказательства зргодичвости воспользуйтесь предыдущей задачей. 10.200. Воспользуйтесь результатом задачи 10.194. 10.202„Напишите конечпомерные распределеннл и покажите, что в условиях задачи онп не зависят от сдвига времени. 10.ЮЗ.
Воспользуйтесь тем, что для однородного процесса с независимыми приращениями йе д(йсч-д-4с) одели где ф(й) не вависит ст й. 10.20сс. Пусть Ас, ..., Л» — произвольные борелезские множества. Тогда для любых сь . „с», с Р($с „сои А1, „., $с он л„) = Р(Р(с + с+ 2) ом л, ..., су(с„+с+2) щл ) = =Р(йщ В), где Вс (лс ю(гс+ С+ в) СНАс, ..., р(с»+ с+в) он А ) С) [О, Т[. Так как функция ф(п) — периодическая с периодом Т, то множество Вг получается вз Во сдвигом на с и приведением по модулю Т. Но $ имеет равномерное распределение па [О, Т[, следовательно, Р(вщ В,) = Р(» щ Во) = =Ргйс ом А, ..., вс он Л 1. 10.205. Пусть ьг = $с+ Ос, где $г и г[,— нева» зиснмые стационарные процессы Выразите конечномерные распределения ьг через конечномерные распределения $с и цс, 10200' (вс +с щ Лы ''' Ос»г~-с ги Лг») » » Р~~~~ $дсов[й(О,+с +с))ыА,..., ~чр~ $ сов[й(Од+с»,+с))щА )= д=г д=с / » '» Р ~ ~С ад СОВ [й (Од+ С + С))ЩАХ, ..., ~~Р~ заесз[й (Ого+вы+С)[ д=с д-1 А„)АР(Рс< 1" в < )= -) ...) Р((0„..., О,) В,)А~(2,< „...,2.<»), Ю о,-[ъ" ": 2»" во,о' о'в д=-1 » „„~~~~ ад сов [й(г„+ вы+ с)[ щ л ) [[ [О, 2я[", [О, 2п[» = [0,2я)х...х[0,2п!.
Но множество Вг получается нз Во сдвигом на (с, 2с, ..., лс) и приведением но модулю 2л по каждой координате, Так как Оь ..., О» независимы и тщют 320 — ) Цлг — гл 1 г г с 3 1, фунггцпя процесса Еь Тогда равномерное распределеяие на (О, 2п), Р((бь ..., Ол) си Вс) Р((Оь ... 0») еи жВ ). следовательно,р(з, + спА, ..., ь + сяА )=в ее а А, ..., $ ~а А 10.207. См.
указание к задаче 10.202. 10.208. Пусть К(и) — корреляционная тз з Е = 2(г — г ) еде ~ [(1 — 1 ) — и) К(о) Ни-ьО при гт — 11-ьсо, если К(г)л-0 о при г-л со. 10.209. Воспочьауйтесь тем, что если существует производная стационарного процесса, то она имеет нулевое математическое ожидание. 10.210.
Вообще говоря, нет. Пусть, например Ее, зь ... — независимые невырожденные одинаково распределенные случайные величины и т) — Ел. Тогда последовательность Ее, Еь ...— стационарная, а (ба+ го $~+тЬ ° ° -) = (О $~ — $а ° ) ое является стационарной.
10.211. Процесс 2(Х) постояпея на интервалах ( —, — г)), ( — т1, пА) и (гь оо), а в точках — г) и г) (при т1 - 0) делает скачки, А равные —., е ги и 2 его. При ц = 0 процесс делает один скачок А сов бь 10.2!2. Пусть Ц = ~ еп"о2 (Х). Тогда г), =. ) еп"АХ (Х), где Я (Х) = с'т2 (Х вЂ” Л)+е жг, (Х+ Л) 10213. При т ~ я Е(Ял)о($е ° ° ° ьт)) = Е(Я + От 1+ .., + "- (О(Ь ° . Ь )) — 5 +Е(утл.,+...+~,~оДь ..., $ )) =Хт+Е(5 ы+ ° ° ° +В ) л Ет 10 200 Е (Хл ( о (Ь ° ~л)) = Е (Хт$т+г ... фл ( (фе, ... ~ Зт)) = — Х Е(,, „л)о(~, ...,Цт))=-Х Ц ЕЕЕ=Х . 10.2ПЕ Е(В (а ) Е=~л<-1 Е(Е(З,'У-,)(У- ) = Е(в(Ут) =„', 10210.
Е((„)О(~ы ..., ( ))=" =е ( ~~р ~9~2~( (цг ° ° т)~ 2~ ° ° злг) 1а=г гл л — Е (11Д, ( О (ц Ы ..., т), С, ..., Чт)) =- ! --.1 ь=.т~-г л = -'.т+ ~', Е(г)з(ЕД (о(чг ..., Оь, $г... $л1))] (о(г)1 ..., т)„$т. ь=н-~.! ". Зт))="-т-' ~г Ебаб(цл(о('1, " От, б ", бт))=бт. ь=т+г 10.217. Е($;, / о(сг ..., ел))~ )(Е("„(о(2, ..., 2,)))~ = $";. 10218, Е(Х,(а(ьл..... О )) = Х + Е(б ы+... + Ц,(о(ба, ..., $ )) ) Я . 10219. В селу перавепстза 11елсена Е(,(Х ) ~У т) ) 9(Е(Х.~У,)) = д(Х ). 10220.
Пусть Ул = а(йь ..., ьл) — о алгеора, порождеппая случапными величинами $к ..., 2л. Пспользул то, что Е„(сь ..., л„) - плотность распределения Еь .. „фт з д„(гь ..., лл) — плотность распределения, покажите, что для л~обого В жУ», (2 (се) ° °, ь (е1)) уз (ег (е1),, за (ы)) " - '.) Е„(2, ( В ..., 9„( )) "' =,) Е, (В, ( ), ..., б, (» ' ""' 10.221. См. решение задачи 10.219. 10.22о2. (тлел) = П (Ха ля В) жУ„.
ь=-о 10.229. Пусть (У'Д вЂ” неубывающее семейство о-алгебр, относительно которого 321 т и о являются марковскими моментами. Тогда (т+1 <1) = (т < с — 1) ~ жУ'т-и сбгс, (и!п(ъ, а) < с) = (т < с) П (о< с) жУ'с, (щах(т, о) = с) = =(т < с)(](о "с)жЯ с. 1022се Вообще говоря, вет. 10220. Покажите, чы т„— марковский момент. Далее, так как то<те «... т <..., то прн т ".
и и А си У'т ттл л ~Х Р(йе) = ~ ~ЧР„~ Х, Р(с(ы)= ~ ~ ~ Х, Р(йе)— А 1= з='1 АО(ттл — — сс,тл — — ст) 1,=-1 ~А" (т ='1) — Х Р(йо)+ ~ Х, „Р(йо)— АО(ты=с! та~!с) А с](т„,=сс,та~с!) Л", „Р(йе)+ ... + ~ Хл Р (йо)— АО(т сс,т )1 +1) А О ( тю — — 11, т л)л - т] — Хл Р(с(ю) + ~ Х Р(йе) ~. Ас](т,„=сс,тл) -1] АГ1(тщ — — 1с,тл)л — 1) далее, так нак (тл > !1+1) сн Ус ес то ~ хс +сьср(йе] =.
АС](т„,=с,,та~с!+С] () для субмартингалов) Л'1 е,р (Асс). Следовасслььо, АС] (т =сс,тл)11+1) л Хс Р (йо) = (~ )для субмартннгалов) 'в=11 АС](т~=-сс,тл-ст) Хс Р(с(ю). Отсюда ) Хт Р(йо) =- () для субпартгпгалов) АО(тт=сг] А Хс Р(с)ю) = ~ Хт Р(с(ю), т.е. !Х ) — мартингал (субмартингал), '1='А(](т =1,) А 10227. Пусть Я", = а(е„, и < т). Имеем Е(ьс]У',) = Е(ехр (Е.
— аз — Е, — Е,— — а(1 — а)))У',) = ехр Д, — ы)Е ехр (Ес — Э, — а(1 — т)). Но <1 при а~~Л(е — 1), Е ехр (т — $, — а (С вЂ” т)) ) 1 прн а < Л(е — 1]. Отсюда следует утверждение задачи. 10.228. Покажите сначала, что !пп Е(э]У'л) почта наверное существует. Пусть л 1 )!щ Е ($(У'л), если предел существует п конечен, т]=" ' О в противном случае Тогда т] измерима относительно т и интегрируема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
