А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пусть во втором случае, напрпмер, ! = гг. Тогда Р» ... Р. ) О, т. е. состоянае !' достижимо пз ! за о — ! шагов. пгь! 'гг †!! 20* Отсюда следует, что если состояние 1 достижимо пз 1, то мо'кпо выбрать цепочку из разлпчпыт, отличных от з и Л состоявпй О, ..., з, таких, что Р з ...
Р, 1) О. Но так как всего состояний г, то т ( г — 2 и, н1 ''' зжз следовательно, 1 достиязимо из 1 пе более чем за г — 1 шаг. Доказатольство б) аналогично. 9.45. а) да, о' = 4; б) да, о = 2; в) пет. 9А6. а) Возьмем люоое состояние 1. Так как цепь неразложима, существуют я и т, такие, что Р','~> ) О, Р1~1 )О. Следовательно, Р~,",ч'~~ ) О, н так как Рм ) О, то п Р;.",ь~ "ы х ) Р ДРДР(; 1 ) О.
Так кзк л+ т и л+ т+ 1 взаимно просты, отсюда следует непериодичпость цепи. 6) Да. Например, цопь Маркова с мат- ( О 1(2 112) рицей вероятностей перехода аа одпп шаг 1!2 0 П2 . 9.47. Для ре- 112 1!2 О шепия задачи воспользуйтесь следующпх1п двуьп1 сворютзамп: 1) для непериодического состояния з существует коночный набор натуральных чисел яо ..., пм таких, что Р~",.11 ) 0 и Н, О, Д, (иь ..., яь) = 1; 2) если Н. О. Д. (пь ..., щ) = 1, то существует 1уз такое, что любое Л~ ) Мз моязет быть ь представлено в зиде )у= ~ язлы где а~ — целые неотрицательные чиста. з=-г 9.48. Состояние 6 воавратпо, состояния 1 — 5 невозвратны. ОАЧ. Используйте критерий возвратности: состояние 1 возвратно тогда и только тогда, когда ~', Р)',.'~ = ао.
9.50. Используйте критерий возвратности и следующее соотя= 1 ношение. Пусть () 1 — вероятность того, что состояние 1 будет впервые до1ь) о стигнуто из 1 за й шагов. Тогда Р1;'~ = — ~ г;:,"1Р~"" ~1. 9.51. Так как ь=е ~р~ Р~,"~ =1, то существует й такое, что р',,у~ т' 0 при и- . В силу про- 3 дыдущей задачи состояние 1 возвратно. 9.52. Да. 953. Пусть состояние 1 несущественно. Тогда существует и и состояние Л такие, что Р р1 ) О, по Р,'~' = 0 для любого я.
Обозначим (и — вероятность возвращения в состояние Тогда (м < р (не будет пи одного попадания в состопвпе 1 яз состояния 1) ~ ~ ~1 — Р,, < 1. Пусть теперь состояние 1 существенно. Возмоя:пы деа случая: 01 1) 1 не сообщается ни с одним состоянием. Тогда Р',.' ~ = 1 длл каждого л и, следовательпо, 1 — возвратно; 2) 1 сообщается только с состояниями зь ..., ~ . В силу предыдущей задачи одно иа состояний 1, 6, „~ возвратно и, следовательно, возеражпя все остальные. Относительно цепей со счетным чнслом состояний см., например, следующую задачу. 9.54. Так как рассматриваемая цепь неразложима, то все ее состояппя одновременно возвратны или невозвратны, Пусть 1 е — веРоЯтность пеРвого возвРаЩениЯ в сосгоЯпие 0 за 1 шагов.
Покажите, что 49 я-3 т-~-х м уоо Ре' ~ос П (1 Рз) Ря — т' Я «~ 2' Х )оо 1 П (1 Р|) з=е я=1 з=о польауйтесь критерием сходимости бесконечного произведения. 9.55. Навлате матрицы вероятностей перехода ва я шагов и воспользуйтесь критерием возвратности.
956. Пусть Ум — вероятность возвращения в состояние 6 а (>!,'"— вероятность возвращения по крайней мере я раз. Покажите, что Ц(,"~ = (1,,)~. 9,57. Воспользуйтесь результатами аадачи 954. 9.58. Рассмотрите цепь Ыа)1ко- 300 о о ва с матрпцей вероятностей перехода 4) = '" гт '-", где ы 21 22 ральпого и. !!спользуя атп уравнения н неравенство ж, ) и,. ) ( сс г=о нз усло- вия аадачн, покажите, что по крайней мере для одной пары г, / Р) "~ ~ь 0 прп л — 1 и-ь ос.
9.61. Покажите, что а =- О, ио = У„р! являетсн решением снсте- 1'=е Х Ру;= /=о /о рт 'з /е рг 'з о р о о ип / Ф О. Воспользуйтесь результатом задачи 9.58. 0.62. ыы "з рз рз Пусть /(з) =- ~ рьхь, тогда /' (1) = р, йр ь =.о И=О н если ~' йра ) 1, а=е то уравнеппе /(з) = з имеет решение гз, тапое, что 0 ( зс ( 1. В случае ~~Р /гра ) 1 воспользуптесь результатом задачи 9.58, взяв а=о л! = з~~. В случае ,"~~ йрь (1 воспользуйтесь результатом задачи 9.59, а=о взяв и; = /. 9.63. Пусть / — несущественное состояние. Тогда существует ! такое, что Р!.".'! = 0 длл любого л и, следовательно, !!в Рор ==. О.
9.64. Гас 0 О и ю смотрите, наприыер, цепь Маркова с ыатрнцей иероятностей перехода /О 1! аа одпн шаг ~ ! 9.65. Покажпте, что если Р— стохастическая о! и матРица, то система УРавпенийл!= ~ЧР~лгртр !'=1, ..., л, имеет неотРнцаг=! тельное решенпе, отличное от нулевого. 9.66.
а) (6/17, 7/17, 2Д7, 2/!7); б) (1/!2, 1/4, 5/12, 1/12, 1/6). 9.67, а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) пег. 9.68. Пусть 1 и/ — несообщающиеся состояния. Тогда либо Р,.," =О, лнбо Р'.,".! =-0 для лгобого л. 9.69, Воспользуйтесь резулыатами задачи 9Л1, 301 Р» — вероятности перехода в пехотной цепи. Для доказательства необходпмостн найдите вероятпостн поглощения в состояния 0 исходя из состоший О, 1, 2, ...
п покажите, что ошг образуют пскомое решение. Длн доказательства достаточносп1 покажпте сначала, что л~о кно выбрать решенно и, = !. 0 ( ( и,: 2. Далее, покажите, что вероятность поглощення в нуле походя нз состояния ! меньше плц равна иь Гассыотрнте два случая: 1) существует их( 1; 2) сущоствуот иь ) 1. 9.59.
Гассыотрпте пень Маркова с мзтрнцей вероятностеи перехода () (см. уяазапне к задаче 9.58). Покажите, что мо'кпо счнтать зсе а, ) О. Далее, используя неравенства з услознн задача п то, что ис-ь со, дока:кпте супгествованпе «онстанты С, такой, что для любого з ) 0 вероятность поглощения з состояния 0 больше нлн ранна 1 — зС. 9.60. Покажите, что иь иь ... удовлетворяют соотношенням и = ~~ и!Р).'„О для любого пату =о т-е.е)(~- т' ч) а=-е з рю Тогда и (з) = а а=с з — р (з) а — т Г '1-г к„=п (1 — р,) ~Д П(1 — рг)~, 0=1,2,. /=т 1=1г=1 9. 77.
9.78. Воспользуйтесь критерием эргодичности неразложнмых цепей со счетным числом состояний, взяв е ) 0 — любое, 1, = (1), п = 1, иг = /е, 302 1 — а а 9.70. Р = , где О ( а ( 1. 9.71. Пусть Яе и 81 соот- 1(р/(1 — рйа 1 — (р/(1 — ГПа/ ветственно множества несущаственных и существенных состояний рассматриваемой цепи. В силу задачи 9Л7 существует а ) О, такое, что Р(1) ) 0 для л1обых / ш Юь Покажите, что если / — несупГественное состоание, то ( 1'1 шах Р~й) (/г(- .), где а = шах ~~ Рф ( 1.
Существование пределов гг ие айне 1пп Р~о) = я )О при г, / ш Б, следует из критерия зргодичности неразо ч логшшых цепей Маркова с конечным чяслом состояний. ИспользУЯ УРавнениЯ Колмогодова — т1епьгена, покажите, что еСли г ш Яь / ш Бь то Пш Р',")= и.. 9.72.
Так как Рм ) 0 длп всех ь и /, то рассматри- П / И ваемая цепь зргодична. Следовательно, существуют 1пп Р',,") = я. ) 0 а для всех 1, / н яя / = 1, ..., ж, является еднпствелпым стационарным распределением. Далее, 1нп р($„= г/) = Пш ~яр ~р(аз = з,.) Рф~ = л. Утверждение задачи вытекает теперь пз того, что яг = 1/т, / = 1, ..., ю являт и ется решением системы уравнений я = ~~ я,,дгр ~~~ яг = 1. 9.73. Пусть Л~(Л)т множество состояний, для которых рд) ~~ дд (р," ( д,." ). ТОГда ~ р("+Ы вЂ” 0(гг+~)~ =! ~ /(р~; ~ — яГ ) РО ( ~ (РГ Ч; ) 1 П ~ ~ ( гни ген (р~р) 0(~)) (Рр — ш1г1 Р .). () ~яр~ ~ го+1) (л+г) ~ 1 1=1 4. = ш(пр/0). Докажите,чтосуществует 0 < о < 1,такое,что а/Р/ — р(Ш </га.
9.75. Воспользуйтесь следующяя представлением матрицы вероятностей перехода за в шагов Р/. )=~~,).ь ~ЧД~ С,, и, где йо ..., )т — собственные значения а=г 1=е матрицы вероятностей перехода за один шаг, Бг — кратность Хр 9.7Гь В условиях задача цепь фе, $ь ... неразло'кима и неперяодкчна. Воспользуйтесь достаточным условием эргодпчностп цепей со счетным числом состоннпй, взяв ит =/, /а = (0), в = 1, е = 1 — зт' йр,. Пусть я(з) = ~ зая,, р(з) а=о а=а И вЂ” р ОО) з з'я.
= где р(1) = 7 12рз. 9.79. (1 — 2) ~„ссс2а з=-е с ==с е ' 1 (с,— 1)ь 9.80. 1 2 — 1 о с,м, если рФ1!2, 1 — р — -р1. (р-' 1! Л (Дс — 9), если р =1/2. 2 р = 1, р, =- Ц (Соса ), 9.82. Ет, =- 791, 2=1 п(з) = 1=1 7 = 1, 2, ... 1 — )2 (1 — 412 (1 —, ) 1) 2.22. ( У 2,.)(( 2 2,), 1 У „!'л С!'и ! Гл ЗМ-1 л л 9.88. РС.Р= — и соз" —,соз —,соз —.
Покажите, что созе —., соз — = 19 ' Х Д ' ' ' ' ' ' Д' Я з=о лс Чт Р'""! СОЗ ! ', . 984. ПуСтЬ Х„(!) = Р(гу (С) = !). ИСПОЛЬЗуатЕ СООтпащсвпя с=-е л — с+1 х„(й =- ~~ )С!2!а„с (! — 1) ! > 1с хл (0) = лЧЧ сСС!. 985. Пока!ките, что 1=1 С=- л-С-1 вероятность возвращения в 0 конечное число раз равна нулю. Глава 10 10гП а) с, 2с; если щ)п ~ †„ ... '(с," ". (х если 1 < щсп— ("1 если ппп [с, 5) Рсм,с„(хс х„) = 172 0 прп прп ! с,,сз ( ,, х,) с при прп ппп (с, с О 101 П 108' рс с (х1' ''''х ) р(псгл(х1 11' ''''х с ))' 10 4.
Рс с (хс, ..., хл) = Ф(ппп (с хс...,, слх„)), где Ф(х) — стапдаРтиая нормальная функция расвределенпя, рс с (х„..., хл) = сг)+( 1 л 10.5. 1)2. Рассмотрим сооьппя (гь ) ь,), и > г ~) О; (ц ) О). Покажем, что (1)) 0) = () с" ) 4 т Действителысо, ("„> ь„) = (З+ и(ц+ и) > „-+ и=. >Е 1"" 22 -(- а(11 + е) ) ((и — г) ц + (и — и) (и + е) ) 0) = (2С ) — (и + и) ), откуда следует доказываемое равенство. Далее, в силу свмметричвости ц и условия Р(0 = 0) = 0 имеем Р(11 ) О) = 1(2, 10,6. а ( — 1)2 и а > 1 10.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
