А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При доказательстве необходимости используйте неравенство аадачи 4.127. 6.об. См. решение аадачи 6.47. 6.57. Используите задачи 4Л26 и 6.37. 6.58. В качестве такой последовательпости можяо взять, например, последовательпость пезавпспмых случайных величин, удовлетворя1ощую условиям 03, оо, $„= 0 п. п., п = 2, 3..., 6.60. Покаисвте, что если РЯД ~~ Эвзв в=э почти наверное сходится при з = зэ ) О, то ои почти лазерное сходится при щобом )з) ( за 6 62. Воспользуйтесь тооремой о трех рядах. 6 63. От условия симметричности отказаться нельзя (пример: 21 1 = 1, йэч — 1).
6.64. т = — 5~ + ... + 5„ где $1, ..., $„ — независимые одипаково распределенпые случайные величипы, Р(а; = 1) = р, Р(с1 = 0) = 1 — р. 6.6ж Поскольку 279 $т+" +$„$о $,+" +т,, (и — 1)$,+ "+$„,си л и и о о — 1 Ьо т.е. с вероятностью1осуществлиетсялишь конечное число событий ~ — „]>-1. Отсюда, в силу леммы Бореля — Кантелли следует, что ~' Р(] Ь„) > и) = ь- 1 Р() с ) > л) < оо. Значит, Е]$~] < ао.
6.6Гь Воспольвуеагся следующим и=» фактом: если Ьь Ьз, ...— возрастающая последовательность положительных чисел, Ь„-ьоа прн и со н хь хз ...— последовательность чисел таких, что ркд у з)о — Ез!о Х ° л„сходится, то —, г Ь г/- 0 прп и со. Имеем о и и 1=1 о 1 пч /'Ц» — Е$»') =Ь-ХЬ,,( позтому достаточно, чтобы почти наверное сходился род о ] Ь »=г ь» — 64» но втот ряд сходится в силу теоремы о двух рядах. 6.67.
Вос»=г 1 пользуйтесь предыдущей аадачей и тем, что рид у з сходится. 6.70. л!од и и =1 Рассмотрите последовательность независимых случайных величин $ь $з, ..., оз Оо где Р($„= п) = Р(~„= — п) ==з, Р(ьо = 0) = 1 — — з для тех л, для ко2и " и торых о < и, н Р(3„= а,) = Р($» = — оз) 1/2 для остальных и.
Тогда ь,+ +3 йс = О, 0$и = оз. Покажите, что „гьО п. и, 6.72. Исследуйте в»+т 1 чД 2" — У (С.— 66.) на сходимость к 0 с вероитностью 1. 6.76. Воспользуйг=-з» ьг тось тем, что для последовательности $ь $н ... выполняетси УЗБЧ. 6.77. Пусть ю = Ейь о' = 0$,. Тогда /а — кт Чз ллт Ь вЂ” ит1 Пш Р(а<г)а<Ь)= — Пш Р~,— <» „,,- < о ь а о Вл а")га ! 6.78.
О, если Ей, > 0; 1, если Е»„< 0; 1/2, если Еь, = О. 6. 9 - (~'".""] ]-- ("'-"] -'') ИУ 1/72ир(1 — р). 681. 0$~ = 1/ух, где х — решение уравнении Ф/г) = 2;З. 6.82. Ф(УЗ) — 1/2. 6,83. (а„) — лзобая последовательность, аквивалентнав прп и -~- со последовательности (Гр/уГ2) + уи/2, где ср — решение уравненпч Ф(ср) = р. 6.8ь 2Ф(2а/з) — 1, где х — решение уравнении Ф(а/л) = (1+ Ь)/2 О.со. О. Воспользуйтесь тем, что Ещ = Е[$~] + Е(СД.
6.86. Распределение, прнписывающее точкам О и 1/2 вероятность 1/2. Сходпмость по вариации будет иметь место. 6.87. Предельное распределение приписывает точкам ж, >и =- = О, ~1, ... вероятности Ф(т+ 1) — Ф(т). Сходпмость по вариации будот 280 $г+" +$ $г+" +$„ иметь место, 6.86. в) — ° е е в ь= — - тС (/и ь + ...+ь„ 1 Ев,+ ... + Ге„р п и 1 прп и -и . 6.69. Нормальное распре- 5',+".+$', и Геленке с параметрамп (О, 1).
6.90. Ф(х(2Я). 6.91. Пусть $ь Ев, ... незавнсвгмы и одинаково распределены, Ебв = а, 0$в = ов. Тогда Е ((!а — )',(:а — ) > ° ')Я вЂ”;~' ЕЬ~ь — )" )'» — )>тВ*1- О й=! длв любого т > О. 6.92. Пусть длл последовательности Еь Ев, ... условие Ляпунова, т. е, си/В -вд прп гв-в со, где вивт и — аа (е+, В„= ~ЧР ~Овса, а„= Еба. Пмеем тес й 4=1 Прн и — в оо выполнено ь=.! и — Е[(аа — а )"; )Вва — а,(> тВ„~ < и а и ) е-ьа 1 у 1 +с 1 )'с„')е и ц В и (О, 1). Далее, и и — (П;~в„~ в~ив~ ив,~ во~,ч(ф ) в Ви ь=г би при и -,.во, так как в)и =. ~ имеет нормальное распределение с параметрами М ЕО„= О, 0~1 = 1!2.
6.94. По формуле полной вероятности п / й-=г / вг+" +) Но Р~ — < х -«Ф (х) п(пг Е - о, следовательно, для любого е > О )/ й (2~+ ". + ~а существует Е„такое, что дтл любого й > lвв Р ~ .),— < х — Ф(х) < е Р < —.. Далее, т оо. Отсюда следует существование лв, такого, что для любо- е е го л Ра лв Р(ги < Ео) < 2. СлеДовательно, 19 л, В, хгрохонов я лп, прн и -в- ов длл:нобого т О, 6.93. 1(ПТ выполняется в силу того, что для любого л (ь~+... (- е )/10(е~+... + ь ) имеет нормальное распределение Ль+" +$ь » ь„ьь«у,~ (' 'ь; ) — «ьь~о„-~ь», аа для любого л ) л,. 6.95.
Нормальное распределение с параметрами (О, 1), 8.96. Пусть / (ь) — характеристическая функция ь)„. Воспользуйтесь следующим равенством: «« р1.) (.),-"/з,-пх / (1),-ь' з) „ 6.98. рассмотрите два случая: 1) (ь () Ь„ь/з/2, )1) < П(48 ) 2) ) ь) ( бььь~з/2, ) ь)(1/(4бь), гдебьь = бз/а Ьььь. 699. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи и неравенством „т» ) «ьь$»„Ь $ $ «с ььь~„, !ь~~маьа где Сь(А) — постоянная, зависящая только от А. ОЛОО, Воспользуйтесь резульо.к.
Р Р татомзадачи5.11.6ЛО(.Пусть $„— «5, тогда $х-$ и $„— таьь -О. Пусть /«(ь) — хаРактеРистическаЯ фУнкцил 5«. имеем )/«(1)) (/ «ь(1)) — 1 и, значит, Р (/ (1)( — 1, т. е. существует а, такое, что / (1) - ехр (Иа). Значит, $ — «а. Поскольку известно, что 5 почти наверное сходится, отсюда следует ~„— «а Р и, н. ОЛ02. Заметим, что сходимость за О эквивалентна сходимости ь)а = =-5а/(1+ Еа) -«О. В силу неравенства Чебышева Р(ь)а) е) (Еда/е = ( «а =Š— е, откуда следует достаточность. Необходимость следует нз равно=( „,), мерной ограниченности случайных величии ц н задачи 5.87.
ОЛОЗ. Применяя неОт„ Равенство Чебыпьева, имеем Р~ — — 1 ~ ~ )е )= Р (( 5а — аа (~ )а„е) ~ з з -«О а а„з нрн л- оо. 6Л04. Воспользуемся неравенством Чебышева: р(~ь)„( ) е) ( ( Е) ь)х(/е = (Е(йь() "/е -«О прк а -ь- оа для любого е ) О. Обратное утвержде- ние (даьке в случае, когда $ь Еп ... одинаково распределены), вообще говоря, неверно. Действительно, пусть $ = О с вероятностью О ( р ( 1 и $а = 1 = Ь > — с вероятностью 1 — р. Тогда ь1„—. О с вероятностью 1 — (1 — р)" я, 1 — р Р следовательно, ь)„О прн л -ь- со, но, очезндво, Е($„) = Ь(1 — р) ) 1.
6.105, Применяя неравенство Чебышева, нмеем Р()азь) ) ) е) ( Е)азь)„)/е = = л" (Е(йь)") "/е-«О при л — «»о. 6 106. В случае, когда 5, имеют вырожденное распределение, утверждение задачи очевидно. Пусть $ь невыроькдены. Покажи- те, что если а Ф О и ь) ь)а, ... — подпоследовательность последовательности ь)ь, т)ь ..., сходящаяся по вероятности к а, то подпостедовательвость ь) + , азть' 282 т)«+г, ...
по может сходяться по вероятности ни к какому числу. 6.!07. Если «ь лт, ... — последовательность неотрицательных чисел, счодкгцаяся к а, то ), л ... х« -» а при « — » о». 6.!09. Для любой случайной вечичивы Е, имеющей конечное математичесное ожидание, справедливо неравенство ~ Р ( ( Ь (> и) < « =1 ""Е(2(. Имеем Ет)„= Р((Е„( ) лы«) = Р((ч«(«) к); отсюда ~ Е»)»= «=г =- ~Р((т„(") «) =- ~', Р( ($ (к) «) < Е(9,(а. 6Л10. Рассмотрите случайные »=1 «=г величины ~»» Г" 1=! где рл = 1 — и,.
Дальнейшие оценки основаны па двух неравенствах для комплексных чисел: 1) Д а — Ц Ь;) <~~(а, — Ь;( при (аг( < 1, (Ь;( < 1; 1 з 2) (е* — 1 — з( -" (з( прп (з( < 1. Тогда длн модуля подынтегральпой функции имеем ! « Д(1+р;(сп — !)( — Ц "'' ' ~(~ (.е" ' — 1 — р)(еп — 1)~~ )сь г — з ! — '1 » (У г~~ ( еп — 1 Р = 28 (1 — соз !). » — А 283 О, если $„= ц«, 1; есля ь«чь ц« рг задачей. 6Л11. Нет. Пусть, вепри 1(«с вероятностял~и 1/2, а = 2, () = относительно остаточной о-алгебры, то для любых а и Ь вероятность Р(а < ! < Ь) равна либо О, либо 1. 6Л(6.
Пусть (!), за, Р) — вероятностное пространство, И =(0,1), зе — о-алгебра борелевских подмножеств, Р— мора Лебега, ь = 1 при ю ~а (О, 1), ь» = О при ю = О. Остаточная о-алгебра состоит из мноагеств «1, !), (О), (О, !). 6.!!7. Воспользуйтесь результатом задачи 6Л15. ОЛ!8. Покажите, что рнд ~З~ Р(А«) сходится. 6.123. Воспользуйтесь тем, что ес«=г ли последовательность В ие стремится н»о, та существует ее подпоследовательность В, сходящаисн к конечному пределу В. 6.125.
В„= «" . Прсдельаыи и« закон — устойчивый с характеристической функцией ехр ( — (!(»). ОЛ2!2 грункция распределения Воши с плотностью (и(1+ *т)) '. 6.128. Воспотьзуйтесь М В вЂ” з!Х результатом задачи 6.91. 6.129, Положим р = —, 9 =, и обозна~ни В' В Ь'„= Р(йл, и, = т). Справедливо неравенство В„(р — —,) (9 — —,) <е <С„р™д«-"(1 — — ) М Ото!ода у -ь С«р~д" ~при )У, М-»»о, у -«р. 6Л30. См, следугогцую задачу, 6.!31, В доказательстве используютсв формулы обращения для характеристических функций: После интегрирования получаем ответ.
6Л32. Условие задачи означает, что при зиза1» тиш( любом целом и Ее и-|.Ег, и — »со, где $ имоет равномерное распределение на (О, 1). Для произвольного тригонометрического много |лева Ч'(з) = ,„саезиза' получаем ЕЧ|($») -«ЕЧ" ($) прн и оа. Используя вторую теорехагу Пейерштрасса, моншо показать, что длв а|абай пспрерынпой периодической функции /(П при и -«со Е/($,) Е/($). Длл функции аш(а,б), 0~(а<() <1, л (х) = О, а ж(а,()), ямеем еу($ ) = Р(а ( в < 6) и ел(в) = 5 — а. Остается доказать, что ел($ ) -»еу(ь) при и оо. Для этого нужво функцию у(х) доопределить на всеи прямой и аппроксимировать двумя непрерывными периодическими с периодом 1 функциями, длл которых еыполнеяы доказанные предельные соожшшения.
6ЛЗЗ. Доказательство опирается па нредыдущую задачу. 6Л34. Ыонпзо воспользоваться приближенной формулой "Р ) / 0,5 Р— а< <а~ ш2Ф~а+ ' 1 — 1. (/иР (1 — Р) Мир (1 — Р) / Яи — ар Р() 7| — Р) ( е) — -Р << )уир (1 — Р) )- — 1 ) 2Ф(2е(|'|з) — 1 = 1 — а. Тогда 6ЛЗ6. Прн заданном а имеем У ' -' ) -()'„,'„, а 1-— )Р— Р)( з <ле1 — а, где 2 .)||и а и — корень уравнения Ф (и)=1 — —. а 2 3 и неравенство р — и „/2)/л ~ (р~ РЧ. и а/2 (|и дает вскомый прнблиз —— 1-— е 3 жеппый доверительный интервал уровня 1 — а. Полее носледовательно результат получаетсл пз соотношения 1 — а х/Р(1 — Р) ) - 2Ф (е) — 1 = Р з() Р— Р ( < е ) „г = Р (Р„< Р < (ж), где Р, и Р 284 Полученные значения Р(35 < Я„< 65) ж 099806, Р(47 < 8 < 53) ие 05!608 интересно сравнить со значениями, вычисленными по таблицам биномиальпого распределенил (точность до 10 — ') Р(35 < 8„< 65) =- 0,99822, Р(47 < 8„< 53) 0,51588.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
