А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Вообще говоря, нет. !!апример, з случае, когда зсе $, $ь $т, ... кевависи- мы н одинаково распределены. 564. 6) Р((3 ц ( < г) >~ Р((й,ц,! < с, 1Б,! < <А) > Р()г) ( < е/А, (' ( < А) > 1 — Р(~ц»( ) з/»1) — Р((5 ) > А). 5.65. Р Р В силу пункта б) предыдущей аадачи 5» ) $„( 0 я, следовательно, ń— т)»- О, откуда, применяя пункт а) предыдущей задачи, получаем т)» = $»+ (т!»вЂ” — С») + $. 5.66. Сведите задачу к предыдущей, испольауя тот факт, что из неравенства (х — д( < е/н( при е < 1/2 следует неравенство )х — у) < < 2е(х).
5.67. Последовательность р,(х), г"т(х), ... сходится г, функции о прп х< 0, О (х) =- 1 — р прн х>0 в каждой точке веществеппок прямой, за исключением, быть может, точки О. 5.68. Используйте задачу 5.64. 5.69. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 5.70. $ с вероятностью единица принимает значение О, а каждое $ с вероятностью 1/2" принимает аначенпе 2" и с вероятностью 1 — 1/2" — нулевое значение. 1 5.71. $» = л с веронтностые — и $ = 0 с вероятностью 1 — —.
5.72. Пример, п п когда Е3 существует, а Ей — нет: $ — любая случайная величина с бесконеч- ным математическим ожиданием, $, если (с(<п, О, если )$(>п. Обратный пример: 3 — случайная величина с конечным математическим ожиданием, г) — с бесконечным, Е» = $+ — „г), 573. )ЕК вЂ” 6$( < Е)5 — Е) == < (Е($ — $))пт 0 прн п-»ао. 574. Достаточно докааать, что существуют такие е, > 0 и в„что длн любого е < ео и длн всех и > в, сз < о"„+ з. (1) Не ограничивая общности, можно считать, что математическое о>кидание распРеделенин Равно нУлю. Дла данного е > 0 найдем такие /У ) 1 и вк что пРи 5=0,1,2 е 3' (2) (х!>М 3 е ) *'ы„») — ( чг»)~» —, (3) (х(хн (х!хгг Тогда прп и > л, пз — от= ') хз,у'„(х) — ) хз,/р( ) ( ~ збр ( ) ~ тд/ ( (»~хм !х/' М 06>Н (х(»м 2е (' -(/г х.~»).-т.
~ -.~»-~ )г Р~.м)- Э (х(>М ),(х(хл хвд» (х) — 2 ~ хдд„(х) ~ хдро (х). (4) г (х(>п / !т(хм (х! и 272 Применим неравенство Ноши — Буняковского: < 2з АУ'а (х) ~ () хвйрв (х) ) лдо (х) а" —. ) хзлрз (х). (5) (х(>Я (щ. и (х(>я !х(. М Для последнего слагаемого в правой части (4) мозкно написать неравенство 2 ~ хайя(х) ~ лр„(х) «2 ~ хзбро(х)~ ~ брв( )— (х~<М ~х)>М )х('. м ~ (х(хм — хН' (х) — ~ хг)Г (х) ~ ~ — ~ х бро (х), (6) !мхи 1" (>М !х!>я Нроме того, Ч !з 42 хог „[х) = ~ хдГо (х) — ) хйГ(х) — ! хлд(х) (, (7) !х!хп (х) хм (х) см ~х(> ч Неравенства (4) — (7) означзгот, что прп е ~ 1 о; — о ) — — — — -(- ~ х бд (х) (1 — 2а) ) — с.
2е 4с ( 3 о ~х)>м (8) Внр Е ) Ча( = Зпр ( ! ( 'В„) бр+ ! ) Вв( бр ) С Зор (Е+ а) = Е+ П < о о о ),(5.'(> Е„~<о 5.79. Примените обобщенное неравенство Чебышева. 5.89. ) ( ьо ) г(Р ( !Ьв!>а ( ~ ( т) ( г(Р. 58!. Докажите, что Пш знР ( Еьо — Еь( ~ (зоР ) ( ьа) г(Р+ !ч)'>о П„(>а + ~ (а(3Р. 582. Покажите, что для тек а, при которыя Р(($( = и) = О Е(>а Е„ЫР-е ~ елР. 5.83. Нелегким а = звр Е) $а), тогда равномерно по я о Йа!>а 83>а Р((5„( > с) .- а/с.
Фиксируем проиазояьное е) О. По условию задачи длл пего существует б > О, такое, что из условия Р(е) ( б сведусп что ! ЫР ( с. Возьмем с > а, тогда Р((5„( > с) ( б и, следовательно, и ь енр ) (с„(ЫР(е. 5.84. Нет, Пример: Р(5„= — 1) = Р(а„= 1) = —, 1 (Яо(>с) 273 5.7о. Используйте неравенства (2), (3), (8) па решення предыдущей задачи. 5.76. Нет, не ооязано. Пример: Р пркппсывает точкам О, л, — о вероятности 1 1 — — соответствеано, à — вырожденное в пуле распределение.
В атом случае о'„=1, я = 1, 2, ..., Ь =-1, о' = О. 5.77. См. решение задачи 5.75, 5.78. Равномерная иктегрпруемость означает, что для люоого полоягительнога е существует а ) О, такое, что зпр ) ($„(ЫРг з. Отсюда п !!о)>а 1 Р Р(с =-0) =- Р (Е =. 2) =, а = 1. 5.85. Ответ изменится. Имеем )"„„) ( $( и значит последовательность )$~), )Ез), ... равномерно иптегрируеиа (зада- ча 5.82), но тогда равномерно пнтегрнруема н последовательность )$, + а~, Р )$г+ а), ... Кроме того, $з+ а)-«(5+ай отвуда (задача 5.81) следует, что Е)ф + а) Е)$+ а).
586. Пока)ките, что для любого вещественного А > 0 су- ществует с, таиое, что ~ 1() з„)) ЫР >А ~ ) $„(НР. 5.87. Для любого ()1~1>~) ( 1)з1>~) а > 1 и любого л ) ) с (" 49 = — ') '(си ')«ср » (') ) сз)~др )$ )и>а )«)«>иыг (4 )«>им" и, следовательно, знр 1 ) 4 ( г(Р < знр ~ ~ с„)~лр — О, а — со. в и )»Г=""'", 5.88. Как следует на задачи 5.79 последовательность| 5, )", ! $ (", ... равномер- НО ИптСГрпрусзса И,СЛЕдОзатЕЛЬяО, ВСИЛу ЗадаЧИ581, Е)с„)г СХОднтСя К Е)С«)«'.
589. $ сходится по вероятности к нулю (при любом а); Е) 5„)" 0 при аг < 1, при аг = 1 Е)$ )" = 1 для всех л, при аг ) 1 Е)$„)' со, 590. Из задачи 582 следует, что последовательпость Ць 5з, ..., а значит и последовательность Р ($~ — $), )$т — 5), ... Разномерно интегрируемы. Кроме того, ) Сз — С( О. Отсюда (задача 581) следует, что Е)$ — $) - О. 591. Из вадачи 582 следует, что последовательность 5ь 5„... равномерно интегрируема.
Но тогда в силу вадачи 5.80 последовательность дь Нз, ..., а значит н последовательность Р )тп — г)), )г1,— т)), ... равномерно иптегрируемы, Кроме того, ) г)„— г)) О. Отсюда (задача 5 81) следует, что Е) т1 — т() О. 5 92. Если г < 1, то )Е($ !" — Е)$)') < Е)$ — $)' О. Ислп аге г) 1, то по неравенству Мпиковско. го ) (Е~Ф ~')и" — (Е)$(") ы") < (6~ 5 — 3)')'" — «О. 593. Выберем последова- тельность еь зз, ... так, что е 0 пРи н сс, по РЯД ~ Е) С„(л/з~, 'сходитсЯ. с=! тогда, в силу неравспстиа чебышева, Р() 5«) > е ) < е)$ )г/с~~и, следовательно, ~~ Р() ь, ) > си) < ос, откуда, применяя задачу 5.18, получаем $«Оп. и, с=1 594.
Из задачи 577 следует, что Е) 5 ) — «Е) $) и, значат, (задача (582)) последо- вательность )5,5 (Ет), ..., а слсдоватслыю, и последовательность Ео зь равномерно интегрируемы. Следовательно, ($~ — $), )зг — 5(, ... равномерно Р интегрпрусма и, кроме того, ) с — ~ь ) — 0 поэтому (задача 581) Е)5„— 5( — «О. 5.95.
Решение аналогично решеншо предыдущей задачи (используйте задачи 5.81, 5.82 и 5.74). 5.96. Иа равномерной нптегрпруемости слодует (задача 5.78), что зпр Е )с„)с < н С другой стороны, зслодстзне обобщенного неравенства т1ебыпгбва Р() ф„) рь а) < < Е)$„)'(а'. Отсюда и пз (1] следует, что знр Р() е„)Э~а) <»звр Е) е„) /е, то есть последовательность распределений случайных величин 5ь 5г, ...
плоти а на. 5.97. нет, действительно, вэ сходпмости (зе/дз) О следует сходимость Р Р (с~/т)~)ащ 0 и, таким образом, $9и/црв-«О. 598. Сходпмость по Хинчп- 274 ну, очевидно, эквивалентна тому, что х ~ С ИС„ (С) о о ос Л ооо, 1 „ (С) Р Величина, стоящая в числителе, ограничена сверху числом х и если $о,о О, то величина, стоящая в знаменателе, ограничена для некоторой подпоследовательности пс, лс, ...
некоторым положительным числом снизу, то есть (2) и Р этом случае пе имеет места. Таким образом, со- О. 5.99. Нет. Достаточно положить $ „= в — 1 О с вероятностщо— !С 1. п с вероятностью — ' в л Х 5.100. Сооююшения со-+О н Оо-»О эквивалентны соответственно следующим: ЕЗС,"ССсййо -о О, Ес(Сож)сйс)а О для любого х ) О, где (см.
задачу 5.99). Имеем 5.101. Из условия задачи следует, что Р $„— $„ос -об. (1) Пусть У (с) — характеристическая функция случайной величины Ео, п = 1, 2... Из (1) следует, что У (С)У ю( — с) — «1 н, аиачит, )Уо(С) ~)У о1( — Ц) -~ — 1, откуда )у (с)(-ь1. Но )у,(с))- (У(с)(, где У(с) — характеристическая функция случайной величины $. Следовательно, (У(с) ) == 1, т. е. $ имеет вырожденное РаспРелеленнс. 5.102, Покажите, что Р (послеДовательиость йь йэ, ...
фУидаментальна) = О. бЛОЗ. Нет. 5ЛОСь Пусть У(С), К(С), Ут(С), ...— характеристические функции случайных величин Е, Еь Ес, ... соответственно, Тогда у„(с) — у(с) и у„(с) =- ло(с) е-с Ут,где щ(с), Лз(ц, ...— неноторые характеристические функции. Имеем Хо(С)-оУ(С)Уе-С Ут, причем предельная функция непрерывна в нуле. Следовательно, оиа является характеристической функцией.
l ) 5л05. имеем Р ~ () ((сз — чь) ~ )с))<~', Р() зз — цс,()~е)+О пРн и о» З=-о о=о и, следовательно, в силу аадачи 5ЛЗ, , "— Ч -об п.п. Но тогда (задача 5.12) Во = (С вЂ” д,) + по-о и. 5ЛОО. Используйте равенства Р(~$ — Ц~) ) — — ~~ Р(($ — $))~с)Р(оо —.7с), ь=-с Р(ьо < ') — ~ Р(со~*) Р(о„— Е). з=с 275 5.107. Покажите, чта из фундаментальности по вероятности носледовател> ности 8>, 8>, ... следует фундаментальность по вероятности последовательности ц>, г)г, ... и воспользуйтесь задачей 5.7.
5.108. Для л>обста е ) О существуют > положительные б>, ..., бл, такие, что если (х> — х (~(б... )х>,— хл((б>,,то >!у(х,, х„) — д(х>...„х„) ) <~ е, позталгу Р((г (8иг,, 8 ) — и (г, ... а ° ° ., «л)) ) е) < ~~', Р(( $и> — «>( б ) О при и- . 5109. Пусть >=г ..., Г„) — характеристическая функция случайного вектора $л, /(>ь ..., > )— хаРактеРпстнческав фУнкциЯ слУчайного вектоРа«,9>и(и) н >Р>(и) — хаРактеРпстические функции (бю !) и (5, () соответственна (! = (/>, ..., !„)). Тогда / (>,, ги) =- >рг„(1),/(>ь ..., >„) = >р' (1) и, следовательно, /л(>ь ..„>„)— ->-/(», ..., >„) для люГ>ого >.
5.!10. Воспользуйтесь задачами 564 и 5Л09. 5Л1!. Воспользуйтесь тем, что как>дый залп нутый ограниченный прямоугольник иа плоскости валяется компактом и, что каждый компакт л>ажно поместить в некоторый прлмоугальник. Глава 6 6Л. Выполняется. 6.2. Выполняется. 6.3. Да. 6.4. Да Воспользуйтесь пера- венством Чебышева н тем, что Е« = О, 0$„= 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
