А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 54
Текст из файла (страница 54)
4Л15. По формуле обращеннп Р(х+а] — Р(т] 1, ('е 'х(е ' — 1) й = — !(щ ~ . /(1) (и. '"" -3 -г е ' — 1 Прн Ь-«О —. -«1, следовательно, (бв !! и( ' = †. И (и е пх/ (() ~Р = †, е "/ (!) ((т. /г(х+/] — Р(х) 1 . Г п„1 Г и„ 4Л16. Используйте равенство е "" = созга — ! з]п (х. 4.117. Использун преды- дущую задачу, получаем 1 Г 1 р(х)= —, ! соз(х/(т) д!= —. ~ созтх/(!) Нт+ — 2, 2н (сов (т)о] Г + 2 Д соз (х/((] о(( —, ) сов !х/(!) (((я (сов (х(о] (саз(х~а] 1 - 2н — / (П л! ~ — ~ / П) 4! = р (О). 2я (сов(х)о] О Таким образом, р(г) достигает наибольшего значения в нуле. 4Л18. Пе поводу левого ыеравейства см. предыдущу(о задачу.
Донажем правое неравенство, Воспользуемся задачей 4Л16 и следующим злеыептарвым неравенством: сов х ) 1 — хз/2 (х чь О). Имеем 1 (' р(х)= 2 ~ созга/((]'() 2 ~ (1 — 2 ~/(()((! з з — /(() о( — 2 ° 2 ~ ( /(т) щ = — р (0) — 2 р (0). 4Л19. Воспользуйтесьзадачей4,1!5.4Л20. р(х)= —., (е ' "/(!) ((((~ ~лт=г/я. -с 4.121. Пусть й и П вЂ” независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения р(х). Случайная величина $ — П имеет 269 плотность распределения е ( ) =- ) р (. + У) р (у) лу.
с другой стороны, з — т( имеет ларакгеристическ)чо функцию (7(!) (' я, следо- вате.1ьно, но формуле обращении для плотностей (задача 4.1!5) д(х) = 2 ~ е пх(1(г))заг. Ю (2) Поло!вне х = О и приравняв правые части (1) и (2), полу ~нм пу:кпое соотно- шение, 4Л22. Воспользубтесь периодичностью фуншгни )(!).
4.123. 11меем т а ггх! (1) бг = г( Г (у --, 'х) + ~ — ' Н Р (Ч + х), -т щ<ь (г'(за где Ь вЂ” произвольное пологкптельпое число. Обозпачнгг д, =- Г(х+О)— — г" (х — О). Покажите, что для;побого е ) 0 существуют !ы ) 10 ) 0 п То, такие, что з1пТ у Г зтТ г — Ы Р(у+х) (з, ) —" И Р(у+х) г 2е, !з(>ь ,) ! Г з!и Теу е г( Т (у+х) р. (2з 7' у 1 т г —,,„„::Т ! -1(ш —.„) ! (г) 1 (г, откуда 11ш — 1 ! (!) ) гд =- ~«'„рзк 4.126. Пусть 2Т вЂ” Т -т г=-! 1г(х) — функцвя распределения, соответствующая характеристической функции )(!). а !."(х] — вырожденная в нуле функция распределения. В силу задачи 4Л22 1'(х) имеет в пуле скачок больше нлп равный а, следователыго, г" (х) = — (1 — а)С(х) + ад(х), где С(х) — некоторая функция распределения.
Обозначим л(!) характеристическую функцию распределения С. Тогда у(г) =— )(г) — а (! — а)Г(1) + а, откуда Л (Г) =- —. 4Л27. достатошо полонгить у(Г) = 1 — а 260 4Л24. Пусть Ры>(х) — снмметрпзанпя функции распределения Г(х), т. о, 1(0(х) = у Р(х+ П((Р (!). Лспо, что Г(') (0+0) — ГЫ)(Π— О) = ~к~ дз„ !~=-- где рь — всевозмогкные скачка функции Р(х). Но тарактернстнчесная функция функции распределения Еьо(х) есть ()(!) (', поэтому з силу задачи 4Л20 т дз = 11ш = ~ (7(г) 1 г(г = О, т. е.
Г(х) пе имеет нн одного скачка. т 2Т -т 4Л25. Пусть Р(х) — функция распределения $. Спмметрпзаппп Еы!(х) соответствует характеристическая функция (7(г) ('. Очевпдно, гы) (0+ 0)— — Р!О (Π— 0) .= ~ рз, а в силу задачи 4Л23 г"(') (0-(-0) — !'!') (Π— О) ==- г — — г .=(1 — а) е ' з+ а.4Л28. Нет (воспользуйтесь аадачей 4Л23). 4Л29. Из условия -Р~з енрр(4 = 4) <1 следует, что всюду на отрезке [ — я, и] зв исключением ко> 1 вечного числа точек ])(1) ] ( 1, поатому ~ (у(г) )"41- 0 при л-ь со. Но в силу задачи 4Л22 для любого й Р ($, + ... + 5„= 4) = 2— „- ~ е-н" !" (1) 41 < 2— „~ ( ! (1) ("Аг.
-я Праван часть не зависит от й, следовательно, вор Р (Ц, + ... + 4„= й) < — „~" ( ! (Ц (' и, Правая часть пе зависвт от х н у. Устремляя у-~ — ос получаем нутнное не- равенство. 4ЛЗ1, По формуле обращения для плотностей (задача 4.115] 1 Г нх 1 Г (р(х) — е(х)) = —, ~ е нх(у(1) — к(ц) и <2,— ~ (у(1) — 4(1)(41. х, следовательно, сер ]р(х) — з(х) ] з 1 Г 4.!32, ИМЕЕМ 2 — „~ !(1)АГ=Р(О)йА, Правая часть не зависит от 1 Г » (~ ( ! (1) — к (з) ( 41 х 1 à — ) В (г) Аг =- д (0) к.. В. Используя зти неравенства и задачу 4ЛЗО, получаем Зя ) т еор)р(х) — С(х)(» — ~ ~ ]аз< — ~ ! ]Аг-(- -т 201 Учвтывая (1), получаем, что еорр(г)„=/с)-ьО при и- ао. 4ЛЗО.
По формуле а обращения для любого у имеем т 1 Ге — е р(х) — г (у) — (о(х) — С(у)) ( = 2— Пвг ) г (!(1) — к(1И 41 -т т ОО 1 Г 2 1 Г ))(1) — з(1)( » — Нга ) — ]!(Г) — у(С) (з(1 = — „) -2и т 3 (1( -Я 3 ]1( Ак -т М з Ю Г 1()~ Г „Г) Г С 1 Г Л (с) 1 Г ) 1(с) — л (с) $ 1 с' л,) С л .) С л~~ С ~ лт~ ~ И+ — ~ 1(С) и+ пг т Пхт -т ° Э т 1 Г Г (!(С] — Л(С) ) 2А 2В +лт 1 Л(с)пс< — „~1 ( с )Лс+ т + т. 1 е х 4.133.
Воспользуйтесь еедачей 4.122. 4Л34. е-'"<р(ап). 4Л35. 4Л36. Пусть гс(х), Рс(х), ...— функции распределения, отвечающие ~р~(и), срс(и), ... Тогда, как легко видеть, преобразование Лапласа функции распреде- ления ~ а„р„(х) равно У а„~ух(п) 4.137. Имеем 2 — 1 <~ (и) 1 х (и) 2 ср (и) + 4 Р (п)+... ° При каждом в = 1, 2, ... р" (в) — про. 2 образование Лапласа, следовательно в силу предыдущей задачи функция 1 1 х ср (в) + 4 ~р (и) + ..., ташке является преобразованием Лапласа. -и ')х й х — их -их 4Л36.с с . 4.!39.
Фуссксгнле ' — в ' СтРого положительна при х) и ) О и вс ( ис и, следовательно, х с 4)г(х) — ) е х"Ц)х(х) ) 1е с — в с ) ИР (х) ) О. о е о 4.140, Покажите, что вторая производная неотрицательна. 4Л41. Дифферелци. руя л раз функцию 9(н) =) е ~ор(х) по и под знаком интеграла, полу- ОО чаем ср(") (и) ) ( — х)ех др (х), откуда (-1)х~ргх>(и) х0.4.142. а) ((С) нс о является непрерывной, б) с(с) пе дифференцируема в точке с 1, в) 1(О) = О чь 1, г) то >ке самое, д) пе явлнется выпуклой.
4Л43. Р(~р(п)). 4Л44. С 1 еСпг~ 1 Г (+ ')' .4Л45. 1(с) = — — "~р(и) с)и Выражение, стоящее в скобках о в)п С является характеристической функцией (задача 4,59), а — — характеристиче С ская функция равномерного па отрезке ( — 1, 1) распределения. Таким образом 1(с) — характеристическая функция свертки двух распределений, одно из кото рых абсолютно непрерывно. Следовательно, 1(с) — характеристическая функ цня абсолютно непрерывного распределения (см.
аадачу 3.193), 4Л46. Да, на пример, распределение с характернстическои функцией р + за", р ч' 1 1 /'2 -' 4.147. а) б) ~ -х . 4Л48. Воспользуйтесь тем, что нормальное л(1+х ) распределение не может быль сверткой двух распределений, одно из которы~ являетсв распределенном Коши. 4.149. Воспользуйтесь тем, что характеристи ческая функция ндра равна пулю вне отреака [ — 1, 1) и вадвчей 4.40 262 4,150. Существует. Достаточно в качестве $ь $„ць ц, взять симметричные слу- 1 чайные величины, для которых ЕЧ~~Ес)~ ~— ЕеьтсЕеьтс > 6 ЛЕЧсэ+ Ет)~ ~— Еьее — Еьее) (воспользуйтесь равенством/С"~ (С) С" ~ в"ем*ар (х) в случае, когда момент порядка л существует), 4.151.
Воспольауйтесь тем, что функция С (х)= х ( е ээей/г(х)/ ) эт"с/е (т) является фуплцией распределения. 4.!52. Воспольсуйтесь задачей 4ЛОО и тем, что функция /ы"-л(с)//м"-'с(0) является характеристической функцией с конечной первой производной (см. предыдущую эада~у). 4.153. Покаските, что /(с) — характеристическая функция случайной величлны $, принимасощей значения 1/(2з), 1 ~1, -ь2, ... с вероятностями Р(ь 2 (1 — соэ лс) .= И(2е)) э .
4Л54. Воспольауйтесь предыдущей задачей, 4Л55. Ер(С) четна и периодична с периодам 2, ср(С) 1 — )С) при (С) <1; тр(С) четна и пернодвчва с периодом 4 и ср(с) 1 — (с( при (с( е 2. 4Л56. Нет (по пройж.иному пути определяем ускорение, по ускорению — реаультирующую силу /е и убеждаемся, что распределение Се не является сверткой распределений 1:, и гт). 4Л57. Пет (поступая так же, как и в предыдущей аадаче, убеждаемсл, чта распределение е"1 не может быть компонентой распредслевкя е). 4Л58. Пусть е (х) — функция распределения $. Тогда /(С)= ~ эсс", (.)- ~еп.йР(.)+ ~ "'"4Р(х)-/ (С)+/ (С).
\ -е Сх(>с Если Р(($( < с) = О, то утверждение задачи очевидно. Пусть Р()5( л с) > О. Тогда /с(0) > 0 н в силу нелрерыености /с(с) существует э > О, такое, что /,(с) > 0 при )с/ ( е. Окончательно получаем /(с) /,(с) +/,(с) ~/,(с) + -~-Р()5) > с) 4(с) при )с) е е. 4Л60. Пусть /(с) — характеристическая функция случайной величины йа Воспользуйтесь тем, что характеристическая мчЛ"е" л функция /,(с) случайной величины $, +...+ $, равна / (С)= у — / (с). /е! э=о 4Л61. Воспользуйтесь задачей 4,63. 4Л62. Положим ь е"! — е"".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
