А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Очевидно, (Ц ~ 2 и Р(5 чь О) ~ Р(5 ~ т!), откуда е(ь( е 2 Р($ чье)), но )/(с) — х(с)( = )ее" с — ее""( = (е(е"т — е"') ( ~ е)ь(. Отсюда следует нужное неравенство 4.163. Применяя предьшушусо задачу н неразеястзо Чебышева, получаем акр ) / (с) — х (с) ) ~ 2Р $ Ф ц) ( 2Р П $ ) > е)< 2а /с . 4Л64. Если 5 ке является с вероятностью 1 постоянной, то (/(с) ( ( 1 па множестве паласкительной лебеговой моры н, следовательно, 1 шс( ~ — =Я т.
е. 6! > — !и! О. )/(и)( Г Иа !+и 1+и 4.165. Покажите, чта )/,(с)) ! прк п-еее. С.!66. Пусть /~(с) и /т(с) — характернстичсскке функции случайных еслвчин 51 и йт соответственна. Тогда Г ! /, (с) )т ( /, П) (~ , Г ( (/, (с) ( 1+ ст я !+!э н аналогично 6, +! е бс . Ясно, чта равенство может достигаться лишь в с+э ст том случае, когда (/~(с)( = ! (~/,(с)) = 1). 4Л67. Очевидно, ср(0) 1.
Покажем, по е/(и) положятельпо определена. Пусть л — нроиавольвое целое поланси- 263 тельное число, иь ..., и — вещественные, гь ..и г„— комплексные числе. Имеем и и Х:Š— ' У Ф(с+,— в,)Ф~Ю) АС*„,=- Л=л г и и / и 2 »р(С+ ил»(л(С+ и,) гаг„г/С = — ~ тч»р(с+ иь) г, »СС) О. ь=! Лбсолсотная непрерывность распределения, соответствующего ф(и) вытекает с2 из Условин Аг и. оо. 4.168. 0»У»скц»ги /(С) и г 2 Равны сУмме оДпого и того и»о айсолсотно сходящегося степенного ряда.
4.169. 1'ассмотрим независимые о»тс»- каково распределенные случайные величины $и ..и 5, каясдая из которых принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями, Тогда Р ($ + ... + ьи = /г)=- С,",/»2« С другой стороны, если/(С) — характеристическая функция $ь то Р(5+.„+ахи=4)= ) /" (с)с»найс и, следователысо, Сл,( 2« ( — 1 )/(С) (и»СС = — ( согг" ( )»СС. Воспользуемся злемектарпьлмпсравен2п,) — я -я/2 ствои сов С м',е при (С( ( п,2. Полу»им И/2 с, 2" г' / — ~ е »СС = )г —, откуда С (2 ) —.
4.170. Покажите, что характеристическая функция свертки Р «Р аосолсотпо иптсгрируема. 4.171. у(С) = гон "/(АС), где С = (Сл, ..., С ), т = (ть .. „т ), (С, е) — скалярное произведение векторов С и е, /(т) — характеристическая функция $, Х(с)— характеристическая функция тр 4.173. Введем функцисо Х (С) =.
1 + (1 — а) ) С (а . Легко видеть, что прп С ) 0 (1+ р с( )г Са — 2 Хи (С) = ((1 — аг)+ 2(1+ 2а ) С +(1 — а ) Сг") ) 0 (1+ са)» н, следовательно (см. задачу 4 10), я(с) — характеристическая функция. С дру»ои стороны, как легко видеть, Х(С) =/(С) + С/'(с) при С ) О, или, что то я»о 1 Г самое, /(с) =- — л у(и) си, откуда в силу предыдущей задачи следует, что с,л) ' о /(с) — характеристическая функция одповершисгпого распределения. 4.174.
Восо»ыьзуйтссь задачей 4.172 4.175, Да Прил»ером лщжет служить фупкцив Вейернл" с л+г штрасса:/(с)= ~и~',гсм /2 +г, которая является характеристической функцией С =-г распределения, прпппсывающсго точкам 1, 5, 5', ..., 5"... вероятности 1/2, 1/4, 26» 1/8... 1/2'+',... 4Л76. В качестве /(«] можно взять любюо бгэгранично делимую характеристкческу«о функ«ппо, а в качестве у(«] — функцию |/(«) |.
4.177. !(усть Ч(«) — характеристическая функция «побой ограниченной несимметричной слу «айной вел««чвоы, Полшким /(«) = |'Ч,(«) |', Л(«) = «Гэ(ц. 4Л78. Пусть /(«о ..., «,) — характеристи'«еская функция 2, а л(«) — характеристическая функция $, (случайные величины $» ..., К одинаково распределены). Тогда /(«ь ..» «„) < 6(с,),, Г( ). Глава 5 1 5Л. Введем события А =-](С вЂ” «]|< — „~, «и =.1, 2, .... Тогда (С = Ч] = » /" =- П Аю. ПРедположим, что Р($ = О) < 1, т.
е. Р, (] А /<1. ПослеДнее не»з=г з»=.з равенство означает, что существует «пе, такое, что Р(А„, ]<1 или ~е) (л — | — ) С другой стороны ((5 — О] — ) <Р~|~ — ~„|+|Π— ц„!> — ) < »чр~]$ ь»!) 2 )+ (!О з]»|) 2 )-»О (2) при и оо. И, таким образом, (2) противоречит (1]. 5.2. Предположим противное. Тогда существуют е ~ О и последовательность натуральных чисел и«, пь ..., такие, что~ а — Ь ~ ) е для всех / = 1, 2, ... Имеем »ь »ь е ) а»А — Ь„, ) = ~ ап„ вЂ” $„ + ,„ — Ь„а |< ~ ь„ — о„а | + ~ 6» — 5~а ~. Вти соотпошснггн справедливы для всех элементарных событий, следовательно, Р(~2» — п„~+~т„— Ь„~=»е)=1.
(1] Но / в '] Р( | 6„— а„)+~ ~„— Ь» |хе) (~Р(| ь» — а„, ~) 2 /+ Р(| й — Ь„(.» 2 / (2] Нэ (1] и (2] сразу же получается противоречие с условием эадачи. 5.3. Воспольвуйтесь неравенствами |а+ Ь| < |а|+ |Ь(, ||а| — |Ь|| < |а — Ь|, (а Ь вЂ” »Ь| = Ь»]а„— »| + а|܄— Ъ|. 54. Либо а > О, Ь ) О, либо а < О, Ь = О 5.5. Предположим противное: существует е) 0 и последовательность ватуральных чисел п»пт,..., такие, что|а„!) е, Тогда Р/|а 2» ()ес) »а »А»А )~Р ( ~ г» (~ с))б-,ь О, что протпворечвт условию задачи. 5.6. Не ограничп- »А вая общности, поясно считать, что все а„равны нулю (в противном случае переходам к случайным величнпаы В„=й — а). По определению медианы 1 1 (»<»») 2 ' (»» «и»») 2 (1) Предположим, что тй„, О.
Тогда существуют е) 0 и последователю«ость натуральных чисел пь пт, ..., такие, что либо тй» ~,— е, либо тч )~е. Пусть, например, выполнено второе неравенство, По условию аадачи Р (6» ) е) 0 »А при Ь- с илии($» <ст 1 и, следовательно, Р/$ <тр ] 1 пли »«, »в»«,/ 18 А. В. Прохоров к др. 265 Р($и,лтчи ) О, что противоречит второму неравенству в (1).
5.8. Восполь. Р вуйтесь реультатами задач 5Л и 5.3а. 5.9. Показ<иге, что если ($п — »)! — «О, то Р и воспольауйтесь вадачей 5.3, в. 5.10. Поскольку функция ((з) днфференцируема в точке л = а, для любого е ) 0 существует 5 ) О, такое, что из )з — а) ( Ь следует Для тех элементарных событий, где 5 = а, положим ц =-0 (это упрощает рассуждения). Очевидно, для зтнч элементарных событий нужное равенство тепеРь выполнено.
ОонксиРУем пРоизвольное е ) О, Поло'нни »1п = с .=(ю: )5„— а)~ 5). Очевидно, Р(А~) 1 прн л <о для л<обого б ) О. С другой стороны, для всех элементарных событий нз А„, где 5 ~ а, ! <)и ) = У($„) — ! (а) — Д (а) ~ ( в. Таким образом, окончательно получаем ((0„((е)=»А„. И, следовательно, Р()<1 ) (е)- 1 прп л о. В силу проиа- Р вольности е это означает, что ци О. 5.11.
Множество (ю: последовательность $<, 5<, ... сходится) ивляется событием. 5.12. Воспользуйтесь аналогичными свойствами числовых последовательностей. 5ЛЗ, Прел<де всего заиетпм, что. !!в! Р ~ 0 ( (вт — в (~ )а)) =-0 тогда и только тогда, когда Г т Р~ П 0 (($ — с)) е) ) =0 (так нак событии В,', = 0 ((в — 5).»е1 и=! <п=и монотонно убывают по п). Далее, множество элементарных событий, для которых Ц; 5, совпадает с множеством А .= 0 й 0 (') С вЂ” с ( ) — ~- А.=! и= — ! т=и а Действительно, принадлежность ю множеству А означает, что для этого ы существует в, такое, что для любого и ) 1 найдется т ) и, такое, что 1 ( $т(ю) — оь (е!) () й . Итак, если Р( 0 ((5т — оь ~ >~ с)) -«О, то для любого т=-и в ) 0 Р () 0 ((5т — С(~ )е)) = 0 и, следовательно, Р(А) = О, т.е 5„5 <и=! т=и п.
н. Обратно, если $п -« $ и. н., то Р(А) = О, следовательно, ( о о о <~! — <~» <~=о .. --., ( о о З<„— <~»ч)=~, ! и=! по=и и=! т=п ~в)- е откуда Р ( 0 ( (5т — оь()~ е))-«О. 5!5!. Достаточно замотпть, что Р()4 — $( ) е бесконечное число раз)= Р~ П 0 ((5т — Е() с)) п что и=! т=п последняя вероятность равна нулю тогда н толы<о тогда, когда Р 0 ()ст — ь)т е))-«Опрп л пп, и воспольаоватьсн предыдущей задачей. ! т=п 5Л5. Воспользуйтесь критерием Коши для числовых последовательностеи.
5ЛО. Воспользуйтесь задачей 5ЛЗ и следующим раьеэством: Р(зпр ) Са — ь')~) е! = Р 0 () ь — ь !~) с)). 5Л7. Используйте дзе пре- '<А)п ) <т= дыдущие аадачи. 5Л8. Заметим, что пз условвя задачи следует, что прп любом 266 положительном е ~ Р ( ) ст — $ ) ) е) -»О при л со, откуда т=п Ию Р( (/ ()с — С))е)) =О. Примсняи задачу 5ЛЗ, получаем 5»-»5 п. ть Гт=п 5ЛО.
Из суиинруемости последовательности еп еь ... следует, что з>, 0 (1) при л ос. Пусть е — проиавольное положительное чис>ю. В силу (1) существует ль такое, что прил )~ л„~~ ед < е. Имееи Р (зар ) $»„+д — $„) > з1 ~ Р ( зпр (5„„д — 5„~ ) ~~ сд дд)п "+ " / д=п <Р~,~> ~ьд+> — 5д~> ~~ ед~ < ~", Р((сд, — 5д))е) — О. > д=» д=п , д=п и 1 при в>н Ап, $п (в) = 0 при вФЛ», л=1 2, Р Очевидно, что сп О, но $„пе сходится нп в одной точке (). 5.24. а) Пусть для определенности а ) О, Для л>обого б ) 0 существует л» такое, что при л> пз Р(5 ) а/2) ) 1 — б. (1) Обозначим Л = П (ьп ) а/2). Неравенство (1) означает, что п»»»а Р(А) > 1 — б.
(2) Прп л > ле инеем Р(АП ~~ — — »1»~~)~'()~.— ) 2) (3) (~ — ' Из (2) п (3) следует, что Ию парр т — — — ~)з~~~б. В силу произвольно» д>»п 267 Применяя теперь задачу 5Л7, получим нужное утверждение. 5.20. Для каждого целого положительного и> обозначим л'(т) максимальный член последовательности, фигурирующей в условии аадачи, удовлетворяющий условию л(т) < и>, Имеем л(т) со при >л со и, следовательно, ($ — $»оп>~ -»О п. н. пря т с".
Таким образом, 0 < ($ — Ц < )5 — $»») + )$ цап> — ь) -» -»О и. н» т. е. 5~ $ п. н. при т-»со, 5.21. Примените задачу 5ЛЗ. 5.22. Примените задачу 5ЛЗ. 5.23. Пусть (й, з», Р) — вероятностное пространство, где () — окружность единичной длины, Ф вЂ” а-алгебра борелезских подмножеств П, Р— мера Дебета, Рассмотрим последовательяость дуг А>, Лт, ... следующего вида: Л, имеет длину 1/2 и откладывается от произвольной точки против часовой стрелки, дуга Аз имеет длину 1/3 и откладывается в том же напоавлении 1 н ее начало совпадает с концом дуги А>, вообще, дуга А„ииеет длину я+1 и откладываетоя от конца дуги А„> в том же направлении, что и все дуги.
Рассмотри и последовательность случайных величин $ (в) на (П, зФ, Р), ! 1 1 сти б зто означает, что Р(! —.— — ~) е) -«О прп л со б) Воспользуйтесь а авалогичяым свойством для числовых последовательпостей. 5.25. /(остаточность очевидна. Докаяселг необходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
