А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 58
Текст из файла (страница 58)
6.5. Нет. Пусть $г+ ". + 8и ( ...-)-«+2" >+2" 6.6. Нет. 6.7. Нет. 6.8. Да. 6.9. Да. 6.10. Применим. Воспользуйтесь равенством 1'-(-2'-)-... + иг = (и(и —,' 1) (2и+ 1) )/6. 6 11. Нет. Так как характеристиче- ская функция $ равна соз уи >, то характеристическая функция (5>+... +"„,)/и и~' и.> Равна / (>) =. соз — и соз — ... соз —. ПУсть О < Г < и/2 и и — четное, )и Тогда 0</„(>) < соа —,— ~ -ле > л.
6Л2. сг < 1/2. 6ЛЗ. Воспользуйтесь нер- венством Чебышева. 6Л4. Воспользуйтесь неравенством Чебышева. 6.!5. Пока- И + "+~») 1 'О, жите, что 0( / < — з Ъ л>. ОЛ6. Пусть 0$> < С, > = 1, 2, ... и г=г Не ограничивая общности будем считать, что 5> имеют нулевые математиче- /$> + " + 1и) / 1 1 сине ожидания.
Имеем О( и ! = — Р) Е($ + ... + тли)т =- / о / и -(л) ~~г.лд; гг/-(-'>)(д г,л д гг~с"-г ., >=г >гл» .=г (г-д .г,>;л> и->. са, Используя теперь неравенство г1ебышева, получаем утверж- дение задачи. 6Л7. Пусть 0«> <С, 1=1, 2, ... Тогда О( ' " ) = >$г+" +8из и 1 иг 1 мз > У 0«>+ з Д сот(з> «)< з ~ 0«>(~ —. 6Л8. Воспользуйтесь пера>=г ,=1 венствам Зсоу(8>, «/) <у () > — / ) )(аз+аз) и неравенством ЧеГ>ышева. /8,+ ...+5~ 1/' ", лил .»-.»л ° -.
~> ' „' ")=-т д~ьлд ° за >>) гФ> 276 — 621. Поскольку (ц — Ес! ( < 2Сл, можно беа ограничения общности считать, что Ейс = О, 1 = 1, 2, ... Пусть Л ) О. Положим рл —— = р() 1)„( < л), е„= 1 — рл Тогда стц„=- ец,' ~ и'р„+с'л'ел<А'+ с'пзд„, дз ожсудатл)~ —,з — — зз, т.е. Еа не стремится к пулю при и ла. 6.2л2. Без ограС л ничения общности москпо считать, что йс имеют нулевое математическое ожидание.
Имеем = 1 .1 — 2 + ... + — ьл. Пусть /(с) — харак- ')1+. +1)» \ — 1) 1 л 1 ' П т н теРистпческал фУшсцнн $ь Я (с) — хаРактеРистическаЯ фУнкциа — 1 цс+ ° "+т), — и /с„(с) — характеристическая функция л з г а л л Достаточно показать, мо сс (с) р 1 для некоторого с. поскольку (741 Ф О, существует с, такое, что (/(1)( < 1.
Но (йь(с)( = (/(1))(у.(с)) < (/(1)(. Докажем теперь, что для последовательности ащь асцт, ... выполияетсн ЗБЧ. Пусть о' — дисперсия ",ь Тогда С)а цл =. а,",лок Да.чее, тан нан аз — ьО, лз+ 2лз+ + лас -«О пря л — ь оо. л Отсюда — 1 р Схц. О при н лл. 6.23.
Покажите, что л 1=1 (~,-ц,)-".+(йо — ц„) р — О. 6.24. Пет. 6.25. Нет. 6.26. Воспользуйтесь пера- л вепсжсоМ Чабышева н следуннцнм утаерясдеппем: Если ас, ЛС,... — ПОСЛЕДОВатЕЛЬ- кость вещественаых чисел такнт, что а„а нри и-ьсо, то (лс+ ... +а„)/п-ь а прп л-~ сс. 6.27. (!ет. Достаточно положить 21 = ( — 1)'$, где $ — невырожденная случайная величина с пулевым математическим ожиданием и а,с = 1, ам 1 = О. 6.23, /[а.
629. Пе ограничивая общности можно считать, что с = 1. Пусть /,(с) и +...+$„1! +...+Ц„ б„(С) — характеристичогкпе функция сумм и соотл я /17(Я] С)! нетстаенпо. Воспользуйтесь тем, что /„(с) =Ц ~(1 — 2рс,)+ рь соз ~ 1=-1 Г /~Р Ос( С)! ) Ц С(1 — 2Е ) — , 'ЧЬ СОЗС! — „— Л== Ел(С). 6.30.
СМ уКаэаНИЕ К ПрЕдЫдущЕй 1=1 задаче. 6.31. Нет. 632. Пе ограпнчпвая общности будем считать, что Еа, = 6. Пусть /(1) — характеристическая функции 21 и ср (1) — хзрактеристн кокая функция (с,йс+ ... + с,б )/л, Тогда ср„(С) =/~ — „)/( — „ / ... /! — „ /. Далее, для некоторого б ) О функция (Пс) ( монотонно яе возрастает при О < с < б.
/с,т) л таким образом, при О < с < б имеем ~/ ~ †/! < (ср„(с)( < -И 1( 'и /с „, )С)( з откуда, учсыыаая, Что /!( —" /1 — 1 —," с.о(гз) п С-ьО, ПОЛУЧаЕМ, ЧтО (1Р (С)(-ь1 тОГДа И ТОЛЬКО тОГДа, КОГДа С„/)скп-ьО ПРИ л — ь ло. 6.33. Воспользуйтесь теоремой со даух рядахз. 6.3сь Пусть /ь(П вЂ” характео'с' ) ристичсская функции $1+ ...
+ $ . Тогда /о (С) =- Ц ехр ~— 1=-1 277 1' жч з1 ехр — — т па и, следовательно, 7 (1) сходится к непрерывной в пуле фупкь 1 ции тогда и только тогда, когда ~Р~ оз < со. 6.35. Воспользуйтесь тем, что еслк ь=г сумма двух независимых случайных величин почти наверное постоянная, то каждое из слагаемых — почти наверное постоянная.
6.36. Нет. 6.37. Воспользуйтесь тем, что ~ й~,з1 =(~ц,)Ы1 6,36. Пусть 7 (с) и х (с) — характеристические п и функции случайных величин ~ йь и ~ Ча соответственно. По условию а=! а=1 7„(1) йи (1) -и ф$1), гДе ф (1) — хаРактеРистическаЯ фУнкцпк. ОтсюДа (1п(т) )'(хи(1) ( -и (ф(1) (т. следовательно, последовательности ~У (с) (' н (Уи(1) (з сходятся к непрерывным в нуле функцинм. Ко )7 (1) (' и )х (1) (' — характерна п стические функции случайных величин ~ Ч)ь~ и ~ ць', нозтому ряды з —..г ь=з Ю и ~ т)и почти наверное сходится.
Применяя предыдущую задачу, поз и (з) «=т п=т лучаем, что для некоторых последовательностей вещественных чисел аь аз ... и Ьь Ьь ... почти наверное сходятся ряды ~ (5и — а„) и ~ (ци — Ьи). 6.39.По«=1 и=1 кажите, что иа сходимости по вероятности ряда ~, си вытекает существои=т ванне последовательности (а„» такой, что ряд ~' ,($и — аи) сходятся с зо- и=1 роятностыо 1.
Тогда будет сходиться ряд аз аи как разность двух сходячт шихся по вероятности рядов и, следовательно, будет сьодпться с вероятностью 1 ряд ~~ йикак сумма двух сходящихся с веронтпостыо 1 радов. п=т 6.40. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 6.41. Воспользуйтесь задачей 6.39. 6А2. Воспользуйтесь задачей 4.54 6.43. Воспользуйтесь результатами задач 454 и 637. 6Л4. Пусть ( (П вЂ” характеристическая функции случайной величины ~~ с йь. Достаточно докааать, что 7 (1) сходятся в веков=т торой окрестности пуля к непрерывкой в нуле функции. Характе1щстнческая функция $~ равна сов с. Существуют положительные а, Ь и д, такие, что ехр( — ар) < созе < ехр( — ЬЕ') при (1( < б.
Но 7„(с) = созе,с сои с,с... созе,д, следовательно ехР ( — асз (с,'-,'- ... + с;, ) ) < (и (1) < ехР ( — ьтз (сз + ... — , 'с~ ) ) прп (П < б. Кроме того, последовательность ((и(1)) монотонно не возрастает, я, следовательно, длн сходимасти ее к непрерывной в нуле функции нрп (с) < д' необходимо и достаточно выполнения условии ~~ сз, < со. 6Л5. См. решение зач1 и=т дачи 6.44. 6йб.
См. решение задачи 6,44. 6.47. Достаточность следует нз теоремы о двух рядах. Докажем необходимость. Пусть 7(1) — характеристическая функ- ЦВЯ СЛУЧайНОй ВЕЛИЧИНЫ 5 И Уи(1) — ХаРаКтЕРНСтИЧЕСКаЯ ФУНКЦИЯ ЧаотнЧНОН 273 суммы ~3~ сй$ . если ряд чд 1„$в почти наверное сходится, то еч(1) сходит»=1 в 1 ся к пепрерывпой в вуле функции. Имеем//в (1) = Ц /(с»1), Пусть ~Ч~', сэ, й=1 в 1 с . Существуют положительиые б и а (см.
задачу 4.119), такие, что )/(1) ) ~ — йь э~~1 ---~оп~~ ч~- '/2 ф 1» 1 и, следовательно, д (с) -гО при )с( ( б, 1~ 0 и Е (0) -ь.1. Противоречие. 648. См. решение предыдущей аадачи, 6.419. Не ограничивая общности, можяо счи- тать, что с = 1 так как сходимость ряда ~чд~ 5„, очевидио, аквивалеитиа сходи1=1 зюсти ряда ~~ С ~св . Тогда 0$ ~ Е$ и сходииость ряда ~ 0$ следует в=-! / и 1 из сходпмостп ряда ~~~ Ез». Остается применить теорему одвух рядах.6.50.Исч=1 пользуйто неравенство 02, ~ 2СЕ) 5, — Е$ ) и теорему о двух рядах.
Обратное, вообще говоря, неверно; рассмотрите, папркмер, последовательность независи- мых случайпыт величин 51, 51, . таких, что 1/ч с вероятностью 1/2, $,= — 1/и с вероятностью 1/2. 6.51. Характеристическая функция г (/) частичной суммы ~~ сйс» равна »=1 ехр — )1) ~ !с»! .
6.52. Покажите,чтоввекоторойокрестностинуляхаракй теРистическаЯ фУлкциЯ Ев(/) частичпой сУммы ~„ей~» УДовлетвоРЯет неРа»=1 вепствам ехр — а(г ) ~з~ ) сй( (у (с) (ехр ~ — ь(г( ~чр~ ) сй) (а, ь — полой=1 жптельлые числа). 6.53. Характеристическая фупкция частичной суммы „'~~~ сйб» в ...в..*,~ — ~ ~ 2~*,Г~.СП Иь-ь 1* .;-.-. ° -. ОП Г 6.55. Досзаточпость вытеиает иэ теоремы о двух рядах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
