А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 63
Текст из файла (страница 63)
= '. " Р(за=та в =') 1.~ =' м)1« =') =-Р("-.=1.(~ =') Р(ЛВ1;(з„=- хп)) Р((~„, =- хп)ЙА) Р(В! А/)(Фп —— хп)) Р (АВ ! ~„= ~п) =- = Р (А ! 5» = х„) Р (В ! $п = х„) 9.8. Воспользуйтесь результатами задачи 9.6. (5>з-> +т 1» ! > > т.>.» >и ' ' ' ~т >о) Ъ' Р(т- => вЂ Р П Р (в,. „ , = 1„ , ..., ~.
= ! ) Х ' !' = /! Р Ж+.+ = 1».Н ! З/Ь =- 1.) (~/+ = '. " %/ = ',) >=-а ( »+и >п' '''' ~т >а) Р($ => )1 => ) Аналогично Р(в,»»»> = 1»>)ь»» = >„) = РЯ> = 1 +>)за= 1»). Для неоднородныл цепей Маркова равенства, вообще говоря, неверны. Рассмотрите пример; Р(т = О) =- Р(г = 1) = 1/2, Р($» = 1) = 2/5, Р(Ц» = 2) = 3/5, (Р (Ь =/Я =1))= =( ) =- = =(. )'-= -= =(' л 3/4 1/4/' ( ( з > )) (1/2 1/2/ ( ( з з )) 11/2 1/2/ Пока>ките, что РЯ +з = 1 / $,»> =1, 2>= 1) Ф Рй»зз = 1 ) 2>»> = 1). ОАО.
Р(5,, =1„)5,,,+ ь, — „, Б, =-',)= ~ ... ~~~~ Р (~. х/ = 1„, ..., $1 =» 1 ) Р (т = — / ) ... Р ( с = / ) >, /и '(~.„,ч-...т., ='*- " 4, =-' ) ~'Р(~1 =>п)Е =г„)Р(т =г)Р(5 =>и, ...,Ц =1) (»тп >Е....>-т, 'и-1 .. »т ' >) ='('- ='-!'- ='и-). /1 — а а1 9А1. Ещп>а+ Ь = 1, то !!га Р'"> =. Р!"> = ~ ) если а+ Ь = О (т.
е. и ° 1 — а а а=-Ь=О)до !!щ Ргп>=-Ргп>=( ) Если а+Ьта 1, а+лай, то 295 9Л. Пусть А = (5»гыА», ° ., $»-»и А» >), В = (ь»ь> >= Вь ..., вь„» Я В ). Тогда 1 — а 1 — а 2 2 1 — а а 2 2 а<п) 1 — а( 1 — а Р= 2 1 — а 2 Р(п) а(п) 2 1 а(л) 1 — а 1 а(п! а(п) Используя уравнение Колмогорова — Чепмена, покажите, что а<п)=- За — 1 (п-ю ! — а =' — а + —. Отсюда а + ', )!ш оп = <л) 1 2 /За — 1)" <л> 2 2 3 3 ~ 2 (1/3, а~ 1, 9.13.
Покажите, что матрица Р имеет вид !1, Р = 1п 11 ' ' 1п-1 12 ''' 1П 11 9Л4. Из уравнения Колмогорова — Чепмена Р(д) =- ~' Р. Р(д '1>  — Х Ы ~~ Р<аш!пР(1! 11=. и!(и — 1), и, значит, и/(и) = гвш Р(") ) н (и — 1). и Аналогично Р(".) ~ „'Р, Р<„шах Р(Р 1)=й (и — 1), т. е. ()1(и) ( Р<(и — 1) и Крома того, очевидно, а<(и) ( 91(и).
9ЛЬ. Воспользуйтесь резуль татом аадачи 9.8, 9Л6, Так как $„2, ...— независимы, т( Р(йл„пп <п Ы (ел ° (.... и 4 = 1,) = Р(й.+, — 1„„) = Р(2л+, — — 1.„(йл лп 1„) Кроме того, Р(п))=р(йл=/'(! =1)=-р(йп=/)=р(йл=/($л 1=1)=РВ <1й<7. Если йь $ь ... независимы, то, как следует из предыдущей задачи, стра ки матрицы вероятностей перехода за один <паг (и за любое число шагов) оди паковы.
Пусть в матрице вероятностей перехода за один шаг строки одинако ВЫ, т. Е. Р»=О<, 1=1,2, ... ТОГда р(,е=<Е,Ь,=<1, ...,Ьл=-(п)= = р (х = 1 ) а< °... а< . с другой стороны, (й, =- ',) =- Х (й. = .) (й, =- , ( й. == .) = Х ' (й. = '.) "', = .', Ч <а р(сз '2) Хр('1 (1) р(92 <2(е< "11) ~л~~р(сх !1) с'( Ы(а+ Ь) + (1 — а — Ыпа/(а+ Ь) аЦа+ Ы вЂ” (1 — а — Ь)" а/(а+ Ь) )Ки) = Ы(а + Ь) — (1 — а — Ь) "аЦа + Ь) а/<а + Ы + (1 — а — Ь)"а/(а + Ь) <п, /Ы(а + Ы а/ (а + Ы! причем при а + Ь и. 2 )!ш Р(п) = ( ), а при а+ Ь = 2, т.
е. и Ы(а+ Ы а/(а+ Ь) а = Ь = 1, )!ш Р(и) не существует. Указание: аапишите уравнение Колмогоп» » <п,) /1 — а рова — Чепмена Р(П) = Р(л Ь ! — Ь/ и воспользуйтесь методом про. наводящих функций. 9.!2. Покажите, что пз условия задачи следует, что магри. цы Р и Р«п имеют вид Г (л) 1 — а 1 — а (п) (и)) а (~л п) ( таким образом, РЯ2 = га, ..., $ = ! ) = Р(ьо = 12) ' ° ° ' Р(В» = 1,), т. е.
$2, 3>, ... независимы. 936. Нет. Это легко показать с помощью следующего примера. Пусть 32, 3!, 22 — случайные величины, такие, *шо Р(3! = 0) = = Р(Ь = 1) = Ц2, Р(Ч! == !ь С! = !2) = 1/4, 1! = 01; !г = 01! Р(42 — — О, $г=о, Ьг=п) =Р(32=0, $!=-1, 22=1) =Р(52=1, 6!=0, 32=1) = Р(32= 1, »»! = 1, 32=0) =!/6, РЯо=о, Ц! =О, Цг= 1) =Р(32=0, =1, фг=о) =Р(22=1, ф!=О, 32=0) =Р(22=1, $г=1, 32=1) = = 1/!2. Очевидно, случайвые величины ьь $!, $2 попарно независимы, но ке наля!отса незаеисииымв е совокупности (проверьте, что укатанные распределенва согласованы). Для введенных случайных величин Р (аз=о(ь! — — О, 32=0) —.- — Ф .> — — Р(с =-о(; = 0).
9Л9. а) является; б) не является; в) пе 2 ! явлнется, 9.20. а) будет; б) бучет; в) не будет. 9.21. а) будет; б) не будет; в) не будет. 9.22. а) образует; б) образует; в) пст; г) образует; д) образует. (Чи 4' '''' Че ге) 4 4) и — ! и-! '" 'е о) Р(Ч =-г, ...,Ч =!) 4-! 4-!' ''' о о) — и- '!) Р (и = го» -и-и! =- '4-!) (=.е и ! — -." ! 5. и = '4) = и (Ч =- !г,)Ч4 х =- 14,). Произвольная псристгпгозка цепь 51аркова, воооще говоря, не образует. Пусть, например, »2 = $!, "ь! = $2 -".г = 32 Тогда Р(",г =- 1!!»! =- 1, ~»и = 1) = Р(гг = 1(ьг = 1, й! = 1) = Е и Р (" = 1)", =. 1) = Р (С вЂ”.. 1К = 1) = )а!2!!, п если Р чьР!2г, то Р(»г = 1(»»! = 1, »»о = 1)) ч» Р(ьг = 1(ь! 1).
924. нот. (1, р Пусть, например, $2, $г, ... независимы, ь! = — < Тогда О, О = 1 — Р, р чь 1/2. Р (: = о, 5 — о, 32 = 1, 3 = о) (22 »з )'! + »2 ' »е »! ) Р (» =. О, с = О, 5 ..- 1) 3 — Н, Р (;, = О,, = 1, '32 =- ! ) + Р (~, =- 1, 3, = О, 3 =. 1) Р (й, =-. О, 5, .—.— 1) + Р (;-, = 1, ";, —. О) 9.25. Нет. Возьмем, например, цепь Маркова с двумя состоянинмн (1, 2), матри- /1/2 1/24 цей всролтпостей перехода за один шаг < ! и начальным распределепи- (1/4 .
3/4) ем [!/3, 2/3). При таком начальном распределении распределение на и-м шаге также будет (1/3, 2/3). 7!егко проверить, что Р($2+ $! = 3($2+ $2 3, 22+ й! = 3) т- Р(Ь+ 32 = 3(22+ Фг = 3). 926. Нет, Рассмотрам цепь Марко- ва $2, Ц„... с трепп состоянвнми (1, 2, 3), матрицей вероятностей перехода < 1/3 * 1/З 1/34, ! 6 5 6 ! 1/5 2/5 йг/5 ) и начальньгм распределением < †, †, †). Распределение < 17 ' 17 ' 17 )' 1/2 1/6 1/3 па и-м шаге также будет (6/!7, 5Н7, 6/!7). Легко подсчитать, что Р(Ч 4 = 1 )Ч, = О, Чи = 1) = —.,и, Р (Чз == 1(Ч =- 0) = 11 ' 9.27. а) Да — при Р = 1 = = 1 2, пст — прк р ~ ч. Дсггстзптсльпог Р(Ч„= г„ц»-! = !»-и ° » Чю = го) = 20 л, п, прохоров и лр. 297 = Р(йа = 1)Р(ф~ = 1~) ... Р(й а1 аиД -а) + Р(3а = — 1)Р(81 = — а,) Х ° ° ° Х Р(В +~ = а Д -1), Р(Ч -а а -ь ° - Ча = ~а) = Р(аьа = 1)РЙ~ = 8)Х ° . ° .
° Х Р($ = аа 1/аа-а) + Р(Ва = — 1]Р(21 = ц) ... Р(8 = ~ -~/аа-а) Таким образам, при р = О = 1/2 нивен Р(Чи = а„) Ча а = аи а °" Ч,= за) = — — Р(а)и = аи)Чи = аи ). НРи Р ~ а достаточно вза~ь какУао-нибУдь конкретную конбинацню аа, ..., 1„, например О = 1, / = О, и. Тогда Р (Чи =-1)Ч„, = 1, ..., Ч, = 1) =- „,, „.„,, а Р (Ч„= 1)Ч„, = 1) = —, б) Да, в) Ла 928. Р(Чи= 'и)Чи а='и-т " Ча='е)= (йа=г„, а =1 — ~ ... „$и=аи — аи ) Р аа — 1 а — / /,Х =;; а (»» ао И вЂ” т) Иаяа ( а о' т г о''' и-т и-т и — а) С другой стороны, Р (т)и=/и(Чи =-1 ) а '' " а'.а ''' ° и — а и-а аа+ '''+ аи-1 и-т) =а (~и и-ы аа+ '''+ аи-а аи-а) Р(„+...+~„,=- „,) -'(" =' — '-)=';„-;., Таким образом, Ча, Чь ... — Пень Марково с патрицей вероятностей перехода за один шаг Р, тле Р,а = Ра а.
9.29. Нет. Возыметь например, две незанисимыо между собой цепи Маркова (за) и (Ча), такие, что йа и Ча принимают значения 0 и 1, начальные распределения Р($а = О) = Р(оа = 1) Р(ца = 0) = = Р(Ча = 1) = 1/2 и матрицы вероятностей перехода аа один шаг для (йа)а ( )':( ) 1/2 1/2т /2/3 1/31 ); для (Ч.); 1/2 1/2 ' т1/3 2/3! Тогда РЯа+Ча = 0)3,+Ч, =1, фа+ Ча = 0) = 5Д8, а Р(фа+ Ч, = 0)ф1+ тн = 1) = 1/2, Р(.=:и...Ч„= „) и-т — и-а ''' )а а) аи а а на з 'о М-а Х" Х '(8.=" """".,'='--) 'о ''и-а 'а 'и-а 9.31. Множество состояний — (1, 2, ..., и).
Начальное распределение— Р(Ча = /) Рш, / 1, и. Матрица вероятностей перехода за один шаг— Р(т)и ии /)Чи = 1) = Р(ь~ю = // = Раа, 1 1, и; / = 1, та. 9.32.Воспользуйтесь результатом задачи 9.31. 9.33. Р (Чае-т ш Аа+т)Ча = з;а ° ° ° Чо заа) «(/а (ча охот) ш Ах+а ча = за ..., ча —— з ) Р (а1а — — тЬ, ..., а)а = о,. ) 298 Р(/«(т., ',,) ш Лч„,)р(ц« =,,, г) = т. ) =- Р(цг,„, гп Лг,+, ! цг, = з, ). 9.34.
Нет. Пусть з«, зг, ...— цепь Маркова с тремя /«1/3 1/3 1/3») состоянкягш !, О, — 1, матрпцсй вероятностей перехода 1/5 2/5 2/5 1/2 1/Ог 1/3 /Н 5 йг! и начальным распределением ( 1/, 11, 11). В качестве функция / возьмем /!з) = з'. тогда Р(сз! =-Од"; == 1, »«~ =0) =-2/!!; Р(«' = !з)ьз! = 1) =1/4. 935. Птсть Р п 4) соответственно матрицы вероятяостей перехода за окпп шаг для Ь, йг, ...
п ць цг ... Тогда 4)0= Рг/+ + ! . ° ° ~з «г, !ге ° ° Р!, 1(!(У, 1(/(М. »г»', "г! г — г- ' Указанне! воспользуйтесь тем, что ("о !о' ' ° цгг = «) го.=о !!=ге+' !«=-/«-г+! О, г/!О. ! =г, Все состояшгя, кроме 10, несушествопкы. Указаппж пусть ц„показанял счетчика в момент и. Нанта Р(ц» = г, г! -г = ! -г* цг = 0). 1 0 0 0 ...
О 9.38. О О Р О . Состояния 0 и и — существенные, все осталь- Ч 0 0 0 0 0 1 О ... 0 0 0 О Р ... О О О пые — песущественпые, 9.. ° ° . ° . Все состояннн — су- О и О ... д О Р 0 0 О ... О 1 0 щестзснкые. 9АО. Состояния 1. 2, 3 — несущественные, 4, 5 — существенные. 9.41. Нет. 9.42. «1а. Например, для цепи Маркова с матрнцей вероятностей пе- О 1 0 0 0 0 0 1 0 0 рехода за одпн шаг О О О 1 О .9.43. 1 н 4; 2 п 3. 9А4.
а) Так как /-о 0 0 0 0 1 состоянпе достнлпжго из г-го, существуют и н цепочка состоянпй !ь ..., !„ такие, что Р! Р ... Р > О. Предположим, что н ) г, тогда: 1) либо 'тгз г»-! среди сошоянпй «г, ..., ! г есть совпадагощпе; 2) лабо одно пз состояний гь ..., !„, совпадает с ! нлп !. Пусть в первом случае !! = г«, ! ( й. Тогда Р.. Р ... Р! Р! ! ... Р.; ) О, т, е. состолние / достижимо из ! за гг! г!'З г! — тг! г«г«.!-! 㻠— г! л — !/! — !) шагов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
