А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 66
Текст из файла (страница 66)
[К (С, г) + ЕзгсЫЕСССС~ [К (С, г) + Еб!с'СЕЗ)гс]. 10.48. а) Р"г+ 1 — Р"; П вЂ” Р)сг„с(О ! 1 1!2 — р«!! 1 1 Ла б), где а„(г) =~ —.+ )~ —.+ —.] 1 — 4р(1 — р)) + И вЂ” 4р(! — р)!'х 2 +~ . ], . — 2 ']/'! — 4р(1 — р))~ при р Ф 1!2, а,(г) ]с ! — 4р(1 — р),]т 2 (!!2)" [и+ 1 — и 1 прн р = 1!2; в) 1 — (1 — г)" рсф"а"'т~ 10АО. а) 1 пРи р ( !!2, (1 — р)!р пРи 1!2 < р С 1; б) 1 — рцц с; в) 7Т вЂ” 1. 1050 а) р (! р).
б) рсти+...та С,( ра") 1052 риги+с +(1 р) г 1 — рг с (1 — с) 10.53. (1 — а)а" ', где«с= —. 10.5ь 1 — ехр( — с(! — с)х). 10.55. Вос! Хи пользуйтесь следувпцнин соотношениями: Е[Х „] Х ) = Е ~~а 4,]Х «=-г = Хайз = и«Хи, где 5~ — число потомков с-й частицы и-го поколения в (и+ 1)-и ноьоленви; Е(Х «г«,(Х ) = Е(Е[Х «г«~]Х «г] [Х ). 1056. Воспользуй~' Р[У,=Ь, Х,=!]Х, =1) с=.л тесь равенством Р[уа = Ь] Уо =- Х --1) — Р[! 1 †еас (1 — «) 10.57. а) Ьс при а=О, Ь 2 (1 — г)+1 — [е — 1) (1 — г) + 1 при а Ф О, а = 2а, +аь Ь = 2а«! 6) г[е'" О' — (е'" П' — 1)«" '] в) 1 — [1 — е '"+ е ы«У! — г]'( г) 1 — ехр (е-«' — 1+ е-ы1п (1 — «)).
1058. а) — 1 — а~!а«, если а~!а«) — 2; 1 в противном случае; б) 0; в) 0; г) ! — е '. 10,50. Воспользуйтесь результатами задачи 10.57. 10 60. Обозначив ()(с) Р(Х, ) О). Покансяте, что ()(с) -«.О прн с-«- ао и удовлетворяет дифферен- 4(д (с) циальному уравневию Š— — О~(с)(О (с) — 4), 41(0) = 1.. Отсюда (? (с) =- /[Сн-«-[е~) ) аа а- «. г -* -. ' ° а.,— ы'- о е-'(1 — е ') -~-0 при С-~о«.
Таким образом, существует случайная величина 5, такая, что $г сходится при с -~ со к 5 в среднеи кьадратичесвом. Отсюда следует сходимость характеристических функций. Положим, далее, (рг, г)=Е« , ф (Л)=Ее . Тогда, подставляя в уравнение Г(С -(- т, г) = хс' ОП р(т, р(с, г)) аначение г = ехр (сла "+и), имеем фгг«(л) = р(т, фг(ле ')) 307 Отс1ода ыри 1-~-ое ф(1) = Пт ф, (х) = Г(т; ф(йе т)). Устремляя т к нулю, ! Лф(Х) ! (ф (й)) имеем ЛХ Х , ф(О) =1. Из последнего уравнения находии ф(а) = 1/(1 — Й). 10Я2. Покажите, что Х3 ~*Р ~6(Х,[Х,- О) ~'[Хг~б е Р(Д ехр(г).Р(Х,)О))) — Г(1, О) =..
Е (ехр (1ХХ,Р (Х, ) 0)) [ Х, > О) 1 — з где Р(д з) = 1 — 1(1 ) + 1 (см. задачу 1057 а)) и Р(Х, ) 0) = (1-[- г)-Е 10.63. Пусть выполняется а), тогда для докааательства б) нужно показать, что длн любого В ~ У и~ и лгобого А ~и У ~~ Р (АВ) = ) Р(В[У г) ЛР.
Но Р(ЛВ) = ЕР(АВ[У,) = Е[Р(А[У'.,)Р(В[У' ч)]. Далее, ) Р(В[У' ~) ЛР А =-Е[Р(В[У ~)уг]=.ЕЕ[Р(В[У ~)ух[У ~]=Е[Р(В[У ~)Е(!л [У' ~)]= = Е [Р (В [ у,) Р (А [ у,)]. Пусть теперь выполннется б). Тогда для доказатсльстяа а) нужно показать, что для гпобого С ги У =г Р (ЛВС) = == ~ Р(А [У' ~) Р(В[У ~) ЛР, где А ыУ'ыо Вы У';пи Имеем Р(АВС) = С =.
ЕЕ [улувуо [ У.,] =-Еухтср (В[У,) =ЕЕ [7ЛГ Р (В[таи) [ У' [уср (В[У=,) Е (1Л [ У,) [=Е[Р (Л[У,)Р (В[У-,) У ] ) Р (А [ У,) Р (В [ У,) ЛР. Доказательство эквивалентности определенна в) С аналогично. 10.66. Воспользуйтесь тем, что о-алгебра У с~ (У'~,) порождается полукольцом событий вида (ги я Л, ..., з, жА ), з, ..., з <т, ((ьг ~ Вг и ~ Вп)' гы тп хх т Вт ° ..
Вп ~ы о). 10.65. Воспользуйтесь реаультатом задачи 10.64. 10.66. См. аадачу 10.65. 10.67. Нет. 10.68. а) да, Р (х, А) =- ~ р (и) Ыи; б) да, Р(х, А) = ) Р (и — х) Ли; А А в) да, Р (х, Л) = ) р (и) Ли. 10.69. Нет. 10.70. Используйте тах(х,и]яА уравнение Колмогорова — '1епыена Р,"(1+ т) =- ~~ Р (г) Рз (т). 1071.
Ись=о пользуйте уравнение Колиогорова — Чепмена. 10.73. Пусть г = д Положим а= анр(1 — Рм(а)))а. Если б ( сз и (1 — Ры(ьз))Дс ) р, то при а)а [,()] 1о((п+ 1) ('г ( Сеlп 6 ( — [1 — Р.. (г)]" Р.. (1 — пт) ( + е 1 — Рг,(1 — пт) 1 — Р,г (т) 1 — Рм (С вЂ” пт) Поэтому [) ( + о е Пт (1 — Р г(1 — пт)) =О, то Длн лгобого 5 ( а сУществУет б такое, что 308 1 — Ри Ст) пРн т ( б 0 ( <и, откУда вытекает, что а =1!ж (1 — Ри (т)))т. » е ПУсть тепеРь С Ж й ВыбеРем б так, чтобы пРн 0 < з ( ай < б Ри(з) > с и Р„(г) ) с. Рассматривая цепь Ь!аркова с веровтпостяии перехода за один щаг Р» Р» (Ь) можно сюказа гь, что Р„( аа) р» с (2г — 1) ир», (Ь) .
Отсюда — ~) с (2с — 1) Рб \ — „] — при С ( б. Пусть [х] — целая часть х, тогда — Переходя к пределу при т -»-О, имеем »па <, 1! га — ( са, по так как Р», (с) — 1 и Ры (с) -». т г (2с — 1) — С -»- 1, то с можно выбрать как угодно близкни к 1. Ото!ода вытекает существо- ванно конечного прсдсла !!щ Р! (с)/с. Существование конечных а г и равене ство ~, а, == — агс следуют теперь иа соотношения 1 — Рсс(Ь) = ~~~ О ). чз Р, СЬ» С=-О Си! 10.7»».
В качестве множества состояний процесса возьмем множество А всеь рациональных точек прямой. Пусть»1, — показательно распределен- ная с параметром 1/7, случайная велнчпна, причем (»)»» независимы, ~ч. у, ( аа дла к!обо!о и, ~' уа = аэ. П»»пожни Р (О = Р(ц„) О, а(а а=А Р,.»(с) =О, Ь (а, Р„ь (с) =Р ~ ~ ц, (с( ~ т)и) Ь) а. Тогда (ахи<о ааааь 1 — Р„„(С) 1 Раь (С) ° х," =л —, !».а г=».—, > — ', ап —, ( ~ »,а)=». е С Е о с-о ааи(Ь 10.75. Прогрессивная нзмерпмость 2» очевидна. Далее, Р.
(А П (ь„„щ Г)) = Х Х Р„(А П (т = ж) П (Ч =-.) П (:„+. = Г)) = а=о и=о Р (и, $ „; Г) Рх (6») ° »а=з а=о А ГГ!г =а» Ч=-а! Отсюда вытекает утверждение задачи, 1076. Пусть (а»», С ) 0; Р,) — семейство впноровских процессов, выходящих из каждой точки прямой. Положим и„иеМО, Покажите, что семейство Я», Р,) является марковским, ио не строго марков- 1 — Р,г гм сиам 1077. 1 — г — лгс, гле ).! =- Вгп . 1078. р(1)= 2с, р(2» = с, с-е с ) 0 10,70. Любая конечная цепь Ыарггова более чем с одним классом су- щественных состоянии, р (х < Е ( и + х) И (х) р (т) ( с<и+ С)) 10.61.
р(й(и+6(~>„) ) ра> )йа() о Ю е [е ૠ— е а(к+а)[ ~!я !«) !О, «<г, = 1 — е а". В частности, полагая б(«) =г 11, . > 1, е-ахзя («) е имеем Р($ ( и+ !!'„> с) = 1 — е-' . 1082. Воспользуйтесь результатом аадачи 10.81. 10.83. В силу определения операции наложоннл потоков ъч = !+ ... + ъ) ! Свойства отсутствия последействня и стацнонарпостп ъ, вытекают нз свойств отсутствия последействпя п стацнонарпостп т)'~, 1=-1. ..!ч и их независнмостя. Свойство ординарности следует нз того, что сумма й независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами !ъь .. „»» имеет пуассоповское распределение с параметром (» --) 2ъ,+...+»» и равенства Р(т,+» — т,>2[г~ » — т,>1)= Р, .
>! (ъ» ) !»1, . 10.8гь В силу задачи 10.82 исходный ноток — рекур- Р',т» + "° +т» >1) рентный с функцией распределенил интервалов между поступлением 1 — е "', г > О. Докажите, что мнтервалы времени между поступленнячн требований 1-го подпотока независимы в совокупности п имеют показательное распределение с параметром грь Затем воспользуйтесь результатом задачи 10.82 10.85. Пусть зь зп ...— интервалы времени между поступлениями требований нсходваго пуассоновского потока, нь иь ...— интервалы времени между поступлениями требований просеянного потока. Из определения операции просеивания следует, что в~ = «1 + ... + за ь ма = «»та+... + «и» аа = з„, 1н»ам»~ +...
+ ««~»ЫН Отсюда следует, что иь ои ... независимы в сояокупности и одинаково распределены. Найдем функцию распределения л,. Для етого надо найти функцию распределения суммы (й+ 1)-й независимых случайных величин, имеющих показательное распределение. Докажем, что Р(сд+ ... + «аег < г) = И вЂ”,.! е "л«. Воспользуемся методом математической индукции. При й 0 о и Р(з < 1) = 1 — е "г = ) е «ы«. предположим, что Р(зд+ ... + з„< г) = е 310 М о-т =.~(я 1)! а "3«.
Тогдар(зх+ ... е а-г [1 — е Х' "!) е хааа (л — 1) е М ' «и -« — ! е "б«. 10.86, Р(т~ — — »[иг —— л! е + за+ < 1)=Р((з + ° .. + зо) + затг< т)= ы а — 1 !Тг!а -« ° -ы а о« вЂ” е =Г,Д я! о (тт = " ~г = й) ") Р(т, = л) А тт+...+тй 1-,'-1+ ' '' + «+„.+тг, Исходя из свойств геометрического распределении докажите, что иь иь независимы в совокупности н одпваново распределены, т. е. поток оставлсяных требований — рекурренгный далее, Р(и <1) = Р Гг + „.. -[-г <1) =У(1 — р) рй гр(гг+...+гй < 1).Ото«ада ()г М«)Р(иг<1)=~ъ(1 — р) рй 1 [Се (г)[а=- А=1 о й=1 1 — а (г) = а (г) — ри (г) 1 .
Ооращая последнее равенстзо, получите утвержде- 1 — ри («) ' ние задачи. 10.89. Докажите следующее утверждение: если, [(х) — неотрицательяая н неубывающая на отрезке О < х < а функция и 7(х + у) < ~~ [(х) + ((у) длн любых х, у «к (О, а), х+ у «= (О, а), то 1(х)/х при х-«О либо неограниченно возрастает, либо стремится к пределу, причем этот предел равен нулю, только в случае [(а) = О. Докажите, что функция 1(х) = =1 — Р«(х) удовлетворяет указанным выше условиям. 10.90.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
