А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Достаточно показать, что для любого А сну ) в (ю) Р(йо) =- ) т](ет) Р(с(ю), а для этого достаточно А А доказать выполнение указанного равенства длн А ж ПУл. Пусть А си У„. тогда ) т] (ю) Р (ыю) = ~ ])ж е (ч (ю) ( Я а) Р (ссю) = )сю ') е (в (ю) ) Я а) Р (Аю) = А А ° а а А = )!щ ) в(от) Р(ссю]=) е(ю)Р(йо). 10.229. так как (е,) — мартннгал, то А А Е(аль (Я ) = Вл дяя ЛЮбОГО т ) О, ПОКажнтс, Чта ЕСЛИ (Э„) — раапеиЕрва 322 внтегрируемый мартингал, то 1!ш Е(Е»>м [~») = Е (1пп $„+ [У „).
>» 10 230. Так как (Х ) — мартнвгал, то Е(Х»(Хо) = Хо для любого и > О. Но Е(Е(Х )Хо)) = ЕХ,. 10231. Пусть У, = о(и„, и < 2). Тогда Е(и>,]У;) = = Е(и., + и>г — >и]У,) = им + Е((>и> — и) ]У,) = им + Е(и» вЂ” и>) = и>о. 10.232. См. решение ~редыду|цЕй Зада !н. 10,233. Пусть 1 > и > о.
Тогда Е((4! — 5 ) (~ — 5о)] = Е[Е((4~~ — Е.) ($> — Е ) [У )] = Е(» — $>) Х Ь< Е[Д> — Е ) (У'„] = Е(Е» — Ь,) Ą— Е») = О. 1023>1. Е($2 — Г(г) ] У" )= — Е [З, ж 2Ь>(11 бо)+(»>»>) Р (1) (У >[ = Ьо т Е(с| — $о) — Р(1) = = »2 — г" (о).
10.23з. Пусть У „= о(Е„..» $ ). <„> (ш!п(>!< и; ]»„]) а), если такое Ф существует, и в протп вн ом случае. <„> Г лпп [Ь«< и:.',»> а), гслп такое Ь существует, г<"> = [ и в вротпеном случае. Ежах(0, » <„) Тогда Р ( оир Ео > а] = Р(» <„> а) =.= (ь,) — суомартвнгал, а у = шах (О, а) — выпуклая Е шах (О, $,'о>) < Е шах (О, 2»), 10238.
Пусть 71о так как <]>ункпия, то (ш!п(Г! < >г: Ь > а), если такое I су|цестзует >г в протонном случае, Тогда ЕЬ >~ Е» Ог>~)ар( »1'Р ь» > а) + 3 2»н <ам) ~> (1<>г <>г оии )а<а р(, ир»„>а) — Е !пах(0, — 2„). Ото|ода Р( югр за>а) ~ (1 <» <» ) '<1<»<>г Е шат (О, — о») + ЕЬ Е шах (О, С») — Е"„+ Ейг < — а ' !0.239. См решения задач !0.235, 10.237.
10,210. Послеловательность (й») ограничена с вероятностью 1 снизу (нулем) в сверху (в силу задачи 1О?37). Пусть, далее, ъ(а, Ь] — число пересечений сверху вниз промея|утка (а, Ь] последовательностью Д,). Тогда, если (»») — субмартвнгал (в частности, мартипгал), то Еъ(а, Ь] < ю|р Е шах (О, 2» — Ь) <1- (локажите!).
следовательно, еъ(а, ь] < оо для л|о- Ь вЂ” и бых а, Ь. Отсюда следует, что Р(Л) = (>, Л = Ц(со! т(а, Ь] = оа), где объеди- 323 Тогда т'"> — марковский момент относительно семейства (У о, 1 < й < и). Пмеемр[ аир ]ф>,]>а)=Р(! $ „>[>а)< . Но Е(е <»>) = Еф„(для '(" < >)' 2 2 1 <О<» и т" субмартипгалов Е ($ <„>)' < Ей>). 10.236.
Пусть Д„, У' ) — субмартнпгзл, У,=сД>, ..., 2 ), Лс =2 — 2 г, >1>-, »>=4>, т> Г П -г+ + (Л»„— Е(Л2„(У> |)), и -о 2. Ооозвачим ~! =О, 2, = г, |+ Е(ЛЕ ]У |). Тогда 21 = г>1+ ьо, Ь > 1. Так кан (2 ) — субыартнпгал, то Е(ЛЕ»(У |) > 0 н. следовательно, Р(0 < ьг < 12 <...) = 1. Далее, очевипно, ь» измеря||а относительно У „|. Покажем, что (1> ) — мартингал. Для етого достаточно покивать, что Е(|!»]У 1) = 1>, >.
Пмеем Е(|! (У 1) = Е[(1> 1+ Ле — ЕМ >У вЂ” 1) >У»-|] =г!» — г+ Е((ЛВ» — Лй ) [У |) = 1! 1. 10237. П>сть в! ~р„, = Х ) ! ) [(1!)») (2!) з ... (л!) ) — )ы ' ' ')в »Г-)-з)з+" +о»о=и 10.247, Еехр !р=~= ехр(М) т'а)Г ~~д ~= ~ ~. — 1/ — [р УЬ)/— з из = ехр( — 2 +е(1))- е з при à — оо, 10.248. Пусть Ес — стационарный гауссовский марковский процесс. Рассмотрим случай, когда Ей ~ = О. Повал»ите сначала, что для гауссовского марковского процесса переходная функция Р(», х, г, Г) имеет ввд Р(»,х,т, Г) = „х — 1 схР—, . »[и, гДе т,) и аз» УДовлетвоРнз3 ' ~ 2оз »» ют соотношениям т,„= вы„ты, а,„=- т)тип;)+аны О(з~~ г(и.
Если процесс дополнительно валяется стационарным, то т,„= т, „, аз„= аз „, причем т,, = в»)ты аз)+, —— тзаз+ аз, КРоые того, в силУ стациоваРпости сутцествует а таное, что а = т,а + о). Из полученных условий ваходвы, что т~ = е-"',л ) О, а)з.=- а (1 — е згы)„Ото)ода /[(») = а'е '"'". Случай, ког. да Е4 ~ О, рассматривается аналогично. 10.249, Ковариацнонная функция е "', спектральная плотность (л(1+ х')) '. 10250. 1[ри х ( а 1 Р(», х, г. ( —, у)) = р»2л [»,) з )и х)з е з[' ') аи, у(а, у)а. [О, у(а, Р (», а, г, ( — оо, у)) = ( 1, у)а.
Гь „з ь [и-за»)з 1 10.251. = ) е з) аи — )Р ™у' ( — 1)а» з» Пи .(/2.1 ~3 о "= пенне берется по всем рациональным а, Ь, а ( Ь. Так как при и Ф Л [[т Е» су»цествует, а Р(Л) = О, утверждение аадачи доказано. 10.241. Докажи- те ограниченность снизу последовательности (4 ). Далее доказательство повторяет реп»ение задачи 10.240. 10.242. Докажите ограниченность последо- вательности ($„) сверху.
Далее сы. решение аадачи 10.240. 10.243. РО [)) (йг)» ) П вЂ” !)!' =е х —., /)!. 1 (' ( (и-()/) ) ) 10.244. Р(»,х, С, Г) =, о! ехр) — 2,(,,)/, )'»[и* »<'(О р' 2лг (г — »)/» г [1, ОшГ, Р (».х. О, Г) = ~ ', [О, ОФГ, .<О. 10.245. Р (, . г Г) = ~ [ -[у-х)"l[з[)-»П 1»-[у->х) '/[з[)-»)ф 2л () — ») ) Г и 10.246. Е((л» вЂ” л»]") = )' (Х (г — »И гри,г О, е(О, 10252.
Р ( епр [ю,[(а(в = О) = - а ат„т (ехыхт ' т ( ~1+2 ~~;( — 1)" е в" е,а)О. 10252. Ковервационная функцияравна ((А[ — )е()рУпри )е( ( )Ь[, Опри [е) ) )а(. Спектральная плотность [1 — сое ((а(х))/(ля'х'). (ее + 1 — в) ое, О ( в ( еп 10.250. В (п) О, в)вт. с с,.+„ое, О(л(и, 10.255. В (к) 10.256. Спектральная 10.257. Воспользуйтесь О, п )вт. плотность равна " + о~а )' 2я ~а + (х — ()) а + (х+ ()) 1 результатам задачи 10.5о, СПИСОК УЧЕБНЫХ ИЗДАНИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Помещаемый ниже список литературы содержит практически все известные учебники и сборники задач по теория вероятностей, изданные в кашей стране за последние пятьдесят лет. !!роме того, в список включены некоторые переводные издании, полезные прп изучении теорие вероятностей в целом нлп ее специальных разделов.
Перечисленные в пункте П1 учебные погобня ке используются в университетах, по они содержат материал, представлнющий интерес для приложений. 1. УИЕВГП1КИ ПО ТЕОРИИ ВГРОЯТНОСТЕИ Бернштейн С. Н. Теорвя вероятностей.— 4-е взд.,— Мл Гостехиздат, 1948. Б о ров к о в А. Л. Теорил вероятностей.— Мз Наука, 1976. Ве н т цел ь Л. Д. Курс теории случайных пропегсов.— Мл Наука, 1976. Г л и в е я к о В. Н. Куро теории всроятпостеп.— Мл !'ОПТН, 1939 Г н еде н к о Г>. В.
Курс теоркп вероятностей.— 5-с изд..— Мл Наука, 1074. Ги х и ан И. И., С ворох од А. В. Введевне в теорию случайных процессов.— Мл Наука, 1977. Ги хм а п П. П„Скороход А, В., Яд репко М, П, Теория вероятностей и математическая статистика.— Клев: Внп!а школа, 1970, Карл ил С. Основы теории слу ~айных процессов: Нср. с англ.— Мл Мпр, 1971. Кл им о в Г. П. Теория веронтпостсй п математнчесвая статистика.— Мл Издво МГУ, 1983. Нов а л е и к о И. Н., гр ил и и ион а Л. Л. Теория вероятностей и математическая статистика.— Мл Высшал школа, 1073. !1 оп и от о р о в А.
Н. Основные понятая теории вероятностей.— 2-е изд.— Мл Наука, !974. Л а и и е р т п Дж. Веронтпостгс Пер. с апгл.— Мл Наука, 1973. Л о э в Ы. Теория вероятностей: Пер. с англ,— Мл НЛ, 1062. Круг зов В. М. Дополпнтельныс главы теории веролткостей.— Мс Высшая школа, 1984. Не в е Яй Математические основы теории нероятпостей: Пер. с фр.— Мл Мпр, 1969. П в рч ас а рати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.— М: Мир, 1983. Р о з а н о в 10.
А. Случайные процессы.— 2-е язд.— М. Паука, 1079. Розан он !О. Л. Введение в теорию случайных процессов.— Ыл Наука. 1982. 1'о з ли о в 1О. А. Теория вероятностей, случайные нроцсссы, матсматическап статистика.— Мл Наука, 1985. Се в а от ь я п о в Б. А. Курс тсорпп веронтиостей и математпчеспой статистики.— Мл Наука, 1982, Скороход А, В. Элементы теории веронткостей п случайных процессов.— Киев; Ввща школа, 1980. Т у т у б а л и н В. Н.
Теорня вероятностей.— Мл Пзд-во МГУ, 1972. У и т т л П. Веронтпостгс Пер. с англ.— Мл Наука, 1982. ей ел л е р В. Введение в теорию вероятностей н се приво'кепия: Пер. с апгл.— 3-е пзд.— Мл Мир, 1984, т. 1, 2. 326 Хенн екен П. А„Тортра А, Теория вероятностей и некоторые ее приложения: Пер. с англ.— Мл Паука, 1974. Ч и от я кон В, П. Курс теории вероятностей.— 2-е изд.— Мл Наука, 1982. Ш и ряс в А. Н. Случайпые процессы.— Мз Изд-во МГУ, 1972. Ш и р н е в А.
П. Вероятпостзь статистика, случайные процессы.— Мс Пзд-во М!'У, 1973, 1974, т. 1, 2. Ш и р я е в А. П. Вероятность.— Мл Наука, 1980. Н. СБОР!П1КИ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Г и л е н и о П. Д. Зада шик по теории вероятностей.— Мя Учпедгиз, 1943. Дороговцев А. 11., Сильвестров Д. С., Скороход А. В., Ядренк о 51. И. Теория вероятностей. Сборник аадач.— Киен. "Нища школа, 1980. Израйлевич В. Л., Смирнов А. К., Черкасов И. Д., Чернявс к и й И. Я.
Сборник задач по теории веронтностей и математической статистике.— Саратов: Пзд зо СГУ, 1982. Ы с ш а лип н Л. Д. Сборгшк задач по теории вероятностей.— Мл Пзд-во МГУ, 1963. Севастьнпов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей.— Мс Паука, 1980. НС ДОПОЛНПТЕЛЫ1ЫЙ СППСО11 Уг1ЕБПБ1Х ПОСОБИЙ А р лей Н., Бух К. Введение в теорию вероятностей и математическую статистину: Пер. с англ.— Мс ИЛ, 1951. В с я т цел ь Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
