А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 41
Текст из файла (страница 41)
10.257. Пусть Х„Х„... — ветвящийся процесс, Х, 1, ЕХ, = вз, Я„= Х„/лз", Доказать, что (2„) образует мартингал. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ Глава! 1Л. Х = АВ О Х0, где Р— произвольное событие. 1,2. Х = В. 1.3. а) Л И; В П; б) А = П, В = И. 1.4. Например, пусть А <-В, тогда ы шВ= ~- ы 40 В~ ызвА, т. е. А =1 В и т. д. 1.5. Пврзые дза события достоверны, а третье — невозможно.
1.7. а), б) да; в), г) вет; д) да; е) вет; ж), з), в), к) да. 1.8. В случаях а), г), д), ж) — да, в остальных — нет. 1.9. а) Пусть м ш АВС, тогда ы ш АВ и, следовательно, ы ш АВ О ВС О АС; б) пусть ы ш А и 0 /УС 0 АС, тогда либо ы ез АВ, либо ы ш АС, либо ы зв ВС. Пусть, например, ы зиАВ, тогда ы зпА и, следовательно, юзнА О В ОС.
1.10. Во всех слу- 11 П П чаях а) — д) — ничья. 1Л1. а) П АВ б) 0 Аб а) 0 ~Л! й й Л/))! 1=1 1=1 10.ж „, А,. Аз ... Аз; ж) ( П Л1~) 0 ( й А1~. 1.12. а) 0 (А„П Ат/); 1а за+1"' зп' ,1=1 / (1=1 / 141 б) О А, . 1ЛЗ. Событие В означает попадание з круг рздяуса Вь собы1=-1 тие С вЂ” з круг радиуса В, и  — в круг радиуса Вь 1Л4. Л10 (Л11,41) 0 тп-1 О (Лзт(А10А1)) 0 „, О~А„) 0 А1).Впрочем, можно в Л А 0 И О,.
0 И. ° ;=1 1Л5. а) да; б) да. 1.16. Используя коммутативяость в ассоциативность операции Л (предыдущая задача), получаем Л/зВ = СЬВ ~ (А/зВ) /л И (С/зВ) /т И вЂ”. ~ (А/тВ) /з(С/зС) = (С/тВ) /з(ВЬВ) ~-(А ЬС) ~(ВЬС) = (В1зС) Л Ь (ВЬВ):э (АЬС) /т(ВЬС) Ь (ВЬС) = (В15В) /з (В/зС) с1(ВЬС): ~ А Л С В с1 В (мы воспользовались тем, что для любого событияВ Е/тВ И). 1Л7. (А ОВ) й(ЛОВ) й(А ОВ)= (ААОАВОВА 0 ОВВ) й(АОВ) (АВОАВОВ) П(АОВ) = ВП(АОВ) =ВАОВВ=АВ. 1Л9. А О В = А О (В'тАВ), причем А й (В'1АВ) = И.
Следовательно, Р(А ОВ) = Р(л) +Р(В~АВ). Далее, В (ВтАВ) ОАВ я(В~АВ) ПАВ = И. Отсюда Р(ВтАВ) = Р(В) — Р(ЛВ). 1.20. Имеем Р(АВ) = Р(Л О В) 1— — Р(А О В) 1 — Р(А) — Р(В)+ Р(АВ) = Р(АВ). 1.21. Воспользуйтесь равенством А /тВ (А~АВ)0(ВтАВ), 1.23. Воспользуйтесь задачама 1.21 и 1.22. 1.24. Примените метод математической индукции. 120. Простравстзозлемевтарных событвй П = (ап ы = (/ь ..., )пЦ,/ь = 1, ..., В; 71 — номер шара, вынутого ва л-м шаге. 11ислп разлвчвых упорядоченных наборов (уо ..., / ) равно /у", число различных неупорядоченных наборов — Си~+и 1.27.
С~М (/У вЂ” М)" м//тп= Смрю(! — р)™ тй, О( ж ( л,где р — доля белых шаров а урне. 1.28. АЯ~//Уп. 1.29. Пространство элементарных событий Й (ю: м (/ь ..., )п)), 71 = 1, ..., )у, все 71 различны; !л — номер шара, вынутого на й-и шаге. Пасло различных упорядоченных выбором разно А,",„ чнсво рааличвмх веупорндочеввых выборок — С"„. ! 30. СтА>т>А",, т>н/Ал= Ст>С«т>н/Сч, 0 < т (шш(л й!). 131. 1/18пРЯ й 1; 2/80! при й = 2; !/11748 прн й = 3; !/5Н038 при /с 4; 1/43949268 при й 5. 1.32. Сз/Сз.
1.33. 1 — Сз,/Сь . 1.34. 1/6"-'. 1.35. 1/2. !.36. а) 6!/6' б) 1/6'; в) (6+ Сз)/6 . 1.37. а) (6" — 5")/6"; б) л5" '/6"; в) (бл — 5" — л5" ')/6". 1.38. Вероятность события (хотя бы раз шесть очков прп 4-х бросанинх кости ) = 1 — 5'/64 ш 0,5!77.Вероятность события (хотя бы раз одновременное ьыпадение шеста очков зрп 24 х бросанннх двух костей) = ! — 35т/Збтш О 49!4. 1.39. Вероятности равны.1.40. С",,'/2". 1.41. С,",, «,„/С",,„«. 1.42. а) л/(2л — !); 6) (л — !)/(2л — 1). 1АЭ. (24 10'.36!)/40!.
1А4. (2"-' — 1)/(2" — Ц. 1.4о. (С.;и)з/Саз,"г 1.46. а) 2аЬ ь зз 6) +,) + ! . 1.47. 25)/([5Ц«5зз). 1.48. й> ! > а>'Ь>ст/(а — , 'Ь-)-с)™, если й+ !+ т = л. 1А9. Веронтностк равны. !.50. 1/(1+ а). 1.5!. а/(а+ Ь). 1.52. Пусть Д> п Ь! — соответственно число черных и белых шаров. Покансяте, >со вероятность выбора двух шаров одного цвета равна (Л>+ Ь!>)/(Х+ >!/)>. 2(Л' —.— П 1.53.
Вероятности равны. !.54. 2/Д>; 2/(Д> — 1). 1.55. д (,у 1) ! 2/(Ж вЂ” 1) 1.56. Пространство злементарных событий Р = (ю: и = (/и ., /и)), /« = 1, . °, Дс'; /« — номер ящика, в который помещон й-й шар. 1.57. Ынонсество всех различимых размещений можно описать кзк множество наборов (гл ..., ги), где 㫠— количество шаров в й-и ящике, г« = О, 1, ..., л.
Число различных размещений равно С,"„+„. 1.58. А," для различимых шаров; С,'„' 30! 8! 1 для неразличимых. 1.59. " ' ' (3Ц' (ОЦ !г! ' ' ' ' '8з"' 1.60. С«(Х вЂ” 1)" «/д>л = С«р«(! — р)и ", где р = !//у — веролтяость любо«>у л> 1 шару попасть в данный ящик. 1.61., —,„. 1.62. л!/л", л! ...л ! уи' / и 1.63. 1 — 1 ~ЧД~ ( — 1)"С«(л — й)л+з)/ли+в. «=о и-з !.сс. (с„2 (- >>" с„,> — > — и" )/ " .
>.6>. с" /с" «=о 1.66. = Сз" т /С" г . 1.67. 2 /3 +г. 1.68. С«С" " >/Сз" Ет 'зи-т-ы за — г' л Зи-> Г Злчш 1.69. 1/С,"„. 1.70. С"и/2з". 1,7!. а) (4!48Ц/521; 6) 2Сз50)/52(; 24С««СззС в) (49 — 3() 4!48!/52!. 1.72. а),з лз,з . б) 4/С>з. в) (4Ц~~/(С>зС>зС>з).
ьз зз ге а> >3-а> аз >3-аз аз >3-аз ! г >з >з >з« г) С>зСзз С,з а Сзз > а С>з а а С>з > а ! а / 1С«зСззСза/. 1,73. а) 1 — 1,'2)+ ... +( — 1)м >/Дг);б) ~ ~~~~~( — 1)> т(т)(/ — т)Ц и>=«> т .74. Х (( — )«( — — ")! ( 'й!)). «=о 1.75, ( — 1) л)г)/(т)л) Ч~", (( — 1) (л — /)" /«/((/ — т)! (л — !)! (г — /Ь)>(йЦ>)).
!лт >би «/аг 1.76. СыС„" т г/С,'...,. 1,77. 8! (1/2! — 1/3! + ° °, + 1/8Ц/С 14 л. н, прохоров а лв. 209 "« 1.79, С з ~2", если я+ Ь четко и О, если я+ Ь печетпо. 1.80. С,"» «/2»з Гя) где Ь= ~Я. 1.81. О, если я не дел«пгл па 4,(С"„2 ™)", сели л = 44. 1.82. Ыножество У; пе лвлиется пустым, только если л — четное, В этом случае искомая вероятность равна 1/(я — 1). 1.8г». Пусть а и у — моменты прихода двух человек на встречу. В качестве пространства элементарных со. бытнй рассмотрим мноя«ество точек (з, у) плоскости, образующих квадрат« О < з < 1, 0 < у < 1. В качестве класса событий возьмем класс всех под»шо«кеств квадрата, име«ощпх площадь.
Вероятности событий будут измеряться площадями. Все точки (з, у), которые «благопрпптствуют» встрече, удовлетворя«от условию: )з — у) < 1/6. Площадь полученной геометрической фигуры равна 1 — (1 — 1/6)' = 1!/36, это и есть искомая вероятность. 1.85. а) 2/27; б) 83/108. 1.86. 1/4. Ср. с задачей !.103.
!.87. Обоз««ач««л«через з расстояние от середины случайной хорды до ближайшей прямой, 0 я; л < а/2, черев 4« — острый угол между иглой п перпендикуляром к прямым, О < гр < и/2, Повожелие иглы полностью определяется значением координат з и «р. Бросание иглы «наудачу» интерпретируем как бросание точки с координатами (з, «р) «наудачу» в квадрат: О <з < а/2, 0 < гр < л/2. Площадь области в котороп лежат точки, благоприятствующие пересечению иглой прямьы, равна л/з ! соз алз = !/2. Поэтому искомая вероятность есть 2!/(ал).
е 1,88. 14г(а+ Ь) — 4г')/чаЬ. 1.89. 1/3. Эта задача п две следу«ощне пмеютотпошепие к так называемому парадоксу Бертрана; если «наудачу» выбирать хорду в некотором круге, то вычисления веролтности того, что хорда превзойдет сторону правильного вписанного треугольника, приводят к разным ответам, в вавнспмости от смысла, вкладываемого в предположение о случайности по.
ложенлл хорды в круге. !.90. 1/2. 1.91. 1/4». 1.92. ! — 2В/а. 1.93. !3/24. 1.94. 2/я. 1 95. 1/3. 1.96. См (а «Да «+ а ))~ (а /(а д + а ))я л. ( Я Ш» »«!л«! ...т,. «а +...+а«/ '' »а + ...+ а»/ т«+ ... + и,. 198,(1 — (а/В)")"'. 1Л02. л/4. 1.103. 1/4. 1.106. Воспользуйтесь тем, что Р(А) = Р(П АВа) = ~~Р„Р(АВ»). 1.107. Воспользуй- 1«» / а ч; Р(АВ,С) Р (АС) тось формулой пош«ой вероятности. 1Л08.
Р(А)С) = Р Р А(В С Р В»С Х ( ь ) ( ) — У Р(А)В»С) Р(В»(С),1Л09. Да. 1Л10. Вообще гово- Р (С) ря, пег, 1.Ш. Докажите, что,вероятность извлечения л«белых и я» черных шаров в фиксированном порядке раппа а(а+г)(а+2г) ..(а-«-и г — г)Ь(Ь+г) ...(Ь+п г — г) 1а+Ь)!а+а+ с) ...(а+ Ь ряс — г) 1.1!2. Пгпользу««те»«етод математической индукции.
1.1!3. Докажите по ияду««- цки, что вероятное«ь извлечении белого шара па Ь-м и ж-м шагах рави» а а+г — !Л14. Воспользуйтесь предыдущей задачей. Ьйб. (у«/(1+ у«) + р,/«+ р») + р»/(1+ р») )/3. у,/П+ р, 1.116. ' ' ') . 1Л17. 5/13. 1.119. 3/7. Р,/(1 + Р,) + Р, '(1+ Р,) + Р,/(1+ Р„) 210 1,!20. е-'лг (»р) '/л!. 23 ! '!/с 2бс,М,. 1.12!.
[~ +2/»][В +" — ']~ [В +"с](~ +22 — '] 1.122. (Р/ — 2)Д2 — 2). !Л23.,В + Л/,,»/ + А! +1]. !Л26. 2/3. 1.129. а) П75; б) 1/25; в) !/!5; г) 1/24; д) 1/6; е) 1/91, 1330. 19/27, 1Л31. а) 1/3; б) 1/3. 1.132. Воспользуйтесь формулой Байеса и найдите а! =- сс,. ! ~гтл '"2 Я2 т2 Р [Л,. ] С) =т, ' ' ,р, [1 — р] гя2 гг' тт Ъ а»р» [! — р»] " »=с тг+гяз яс+яз — тс — тт т +тз ьлэзг-тл-тз а„р» (1 — р„] л — с Р ( АВ) — Р (Л) — Р (АВ) 1,!34.
Воспользуйтесь равенствалси Р(А]В) = /, В, Р(А]В) = 1 /г В или формулой полной вероятности. 1Л35. Р(А) = О, Р(В) = р, Р(А~В) = О, Действительно, из первого равенства следует, что Р(А)Р(В) = О, т. е. либо Р(А) = О, либо Р(В) = О. Отсюда и из второго равенства следует, что либо Р(Л'ЛВ) = р, либо Р(ВггЛ) = р. Третье равенство показывает, сто справедливо последнее. Отсюда получаелс нужные равенства. 1.136. Р'(А) = Р(А).Р(Л ) = Р(Л П А) = Р(Л) или Р(А) (! — Р(А)) = О. 1.137. Всегда Р(ЛВ) ( Р(Л).
Пусть Р(А) = О. Имеем Р(АВ) ( Р(Л) = О, Р(А)Р(В) = 0 Р(В) = О. Если >ке Р(А) = 1, то Р(ЛВ) = Р(АВ) +0 = Р(ЛВ) + Р(АВ) = Р(В) = Р(Н) 1 = = Р(В)Р(Л). 1.!38. ! = Р(А (/В) = Р(Л)+Р(В) — Р(ЛВ) = Р(Л)+Р(В) — Р(Л)Р(В), откуда ! — Р(В) = Р(Л) (! — Р(В)). Отсюда следует, что либо Р(Л) = 1, либо Р(В) = 1, 1.139. Р(Л)Р(В) = Р(ЛВ) = Р((А (! В) () ЛВ) = =.
Р(Л (/В)Р(ЛВ) = (Р(Л) + Р(В) — Р(А)Р(В))Р(Л)Р(В), откуда, применяя лсредыдулцую задачу, получаем нуясные соотношения. 1.140. а) Да, б) нет. 141. а) Нет, б) нет. 14г2. а) Да, б) иет. Приведелс решении: а) пусть П = [О, 1], вероятность равна мере 7!вбегя, а собью ив А, В и С есть соответственно А = [О, 1/2], В = [1/4, 3/4], С = [1/16, 5/!6] 0 [9/!6, 13/!6]. Тогда Р(А) = Р(В) = Р(С) = 1/2, Р(ЛВ) = Р(ВС) = Р(ЛС) = 1/4 (и, следовательно, А, В и С попарно независимы), Р(ЛВС) = !/!6, Р(АВ П ВС) = Р(ЛВС) = 1/16 = = Р(А)рс(В)Р(С) = Р(ЛВ)Р(ВС), и аналогично Р(ВС П АС) = Р(НС)Р(ЛС), Р(АВ П АС) = Р(АВ)Р(ЛС); б) независимость в совокупности означает, во-первых, что Р(АВС) = Р(АВ П ВС) = Р(АВ)Р(НС) = Р(А)Р'(В)Р(С), н, во-вторых, ° о Р(ЛВС) = Р(ЛВ ПВС() АС) = Р(ЛВ)Р(ВС)Р(ЛС) = Р (Л)Р (В)РТ(С), отку-' да Р(А)Р(С)Р'(В) = Р'(А)Р'(С)Р'(В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
