А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Событие А»м,Ф называется атомом, если Р(А) ) О и для любого В»= А либо Р(В) = О, либо Р(В) = = Р(А). Вероятностное пространство называется нватомическим, если опо яе имеет атомов; если же П представимо в виде объедипекия непересекающихся атомов, вероятяостиое пространство называется атомичввким. Пусть (П, М) — некоторое измеримое пространство.
Вещественная функция 1 = 1(ю), определенная ка (В, лб), иазываегся ивмвримой откосителько о-алгебры хб или хб-или»риной, если прообраз любого борелевского множества прииадлежит лб: 1 '(В) = (о» щ О, ](ы)»п В)»м Ф, В»п Я. Гели ((), лб] есть измеримое простракство (б»п, Яи 1, где (кп евклидова про»»у стракство п измерений, а Як — борелевская о-алгебра, то любая Яп - изме- и и римая функция ](х), х ~ »'», называется борвлевской.
Рассмотрим вероятностное пространство (В, Ф, Р). Случайной в»личиной ка (И, хб, Р) называется любая вещественная функция $ = С(ы), измеримая относительно лб. Случайным вектором со зпачекиями в (Ыи, Яп ] (п-мериой случайной величиной) иааывается любая лб-измеримая функция з (ы) = (з»(ы), ..., $»(ы)) со значениями в Ип. 24 мвримыми или лр-измеримыми множествами.
Пусть П = Я есть воществонпая прямая и пусть д' — класс всех непересекающихся интервалов вида (а, ь]. Обозиачим через Я Яи= Я (Я) о-алгебру, порождеппу»о классом ь'. Эта и-алгебра кодмножеств прямой называется борвлввской п-алгвброй, а ее элемеяты борвлввскими множвствами. Аналогично определяется борелевская о алгебра и бореловскис мвожсства в евклидооом пространство п измерений. Веролтностным прострапвтвом называется тройка ((), Я, Р), где П вЂ” не- пустое множество, .Ф вЂ” о-алгебра подмножеств Сд Р— вещественная фупкция, определеппая иа Ф и удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) Р(А) ) О для любого А»м .Ф; 2) Р((]) = 1; 3) если Аи Аз, ... »п.Ф и А» (] А» Я при ! Ф у, то Вещественная фувкция Е(в) является случайной величиной, если для любого веществевяого х (с: х) = (в щ й ) С(в) ( х) )ы.4.
о-алгеброй, корожденкой случайной величиной Е, иазывается а-алгеора, порождевлая классом всех событий вида (в щ П: Е (в) )и В), где В пробегает множество всех борелевских множеств прямой. Эта о-алгебра совпалает с о-алгеброй, порожденной событиями вида (в )и й ) Е (в) ( х), где х — произвольное вещественное чпсло. Пусть А — сооытие. Индикатором А называется случайная величияа ~1 при вщА, 1 =1 (в)= (О при в~А. Случайная величииа $ нааывается простой, если ока представима в виде л1лл )1А) ( (1) где события А), ..., А образуют разбиевие П, а хи ..., т — веществсивые числа.
Математическим ожиданием ЕЕ простой случвйкой величины (1) называется величина ЕЕ= у; х,.р(А)). г=т Математическим ожидкнием неотрицательной с.гучайной величикы $ называется ковечкый или бескоиечвый предел ее=Вше„, где сь Ег, ...— мояотоино неубывающая последовательность простых случайпых величин, при каждом о) сходящаяся к $; Еь(в) — ь $(в) при к-ь со, Пусть ьь — яроиавольяая случайная величипа. Положим Еь = Е'1()ма) Ь = )Е) '1ы в Очевидно, $ = $+ — $ .
Митемотическим ожиданием случайной величины $ называется всличипа ЕС = ЕЕ+ — Ее в том случае, когда ЕЕ" и Е;" ве равны оо одповремекпв Если ЕЕ+ = ЕЕ- = = го, то говорлт, что математическое ожидание случайной величивы $ ке существует. (Иногда говорят, что математическое ожидание ке существует и в том случае, когда оно бескояечво.) Математическое ожидание случайвой величины $ есть ие что иное, как пптеграл Лебега от функции $(в) по мере Р; Е$ = ~ $(в) АР. Приведем оснозиые свойства математического ожидания.
Предполагается, что все ваписаияые математические ожидания существуют. Е$ ( Е)), если Е ~ )). 25 2. Ес = с для любого дейотвительного с. 3. Е(ай+ Ьи) ада+ ЬЕц дли любых вещественных а и Ь. 4. (Е$( ( Еф. 5. (теорема о монотонной сходимости). Если Еь фт, ...— неубывающая последовательность неотрицательных случайных величин, сходящаяся нрн каткдом ы к случайной величине 2, то 1пв Е$а = Е$. 6 (теорема Ледега о маэсорируемой сходимости). Если прн каждом ю Ев-т 2 при н -+ оо и ( Ц < ть где Ец < со, .го 11щ Е$ = ЕЕ.
7. Если сходится ряд Е ~~" С = ~ Езн. Одним ив основных и наиболее важных понятий теории вероятностей является понятие независимости. Два события А и В называются независимыми, если Р(А () В) = Р(А)Р(В). События, не явлнгощиеся независимыми, называются зависимыми. События Аь ..., А„, и ~ 2, называются еэаимно нееависииыми, если для любого набора мндексов 1 =' й ( й ( ... ( б ( и выполнено равенство Р(А;, П ..* Й А;„) = Р(А;,)...Р(А;„).
Взаимно независимые события иногда называют независимымв в совокупности или независимыми. Из независимости следует непарная независимость каждой пары событий, обратное, вообще говоря, неверно. События, составляющие бесконечное множество Я, называютсн взаимно независимыми, если нри каждом н любые п из этих событий взаимно независимы. Пусть Яь Ят, ... — некоторые классы событий. Классы Яь Ят, ... назызатотся нееависимыми, если лтобые собьпия Вь Вэ, ..., такие, что Вэ вн Яэ„ 1т = 1, 2, ..., являются независимыми. В соответствии с этим определением мы будем говорить о независимости ачгебр, о-алгебр, полуалгебр, разбиений и т.
д. Случайные величины $н $т, ... называются неэависимьсми, если независимы порожденные ими о-алгебры. Случайные величины, не являющиеся независимыми, называтотся зависимыми ф 1. Вероятностное пространство 2А. Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб но выпадет два раза подряд. Построить вероятностное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5.
2.2. Правильнан монета подбрасывается до тех пор, пока опа два раза подряд не выпадет одной стороной. Построить вероятно- 26 стное пространство. 11айти вероятность того, что число подбрасываний будет четным. 2.3, Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб не появится г раз. Построить вероятностное пространство. Сколько элементарных событий будет содержать событие (эксперимент заканчивается после и-го подбрасывания)? 2А. На отрезке [О, 1] случайным образом выбирается точка, Пусть событие А„означает, что точка выбрана из полуинтервала ! и О, — ),событие „— что точка выбрана из интервала[0, — !.Что ' а+1/' л/' М означают события () А„и () В„? И=$ и=1 2.5. Доказать, что каждая алгебра является полуалгеброй. 2.6.
Привести пример полуалгебры, не являющейся алгеброй. 2.7. Привести пример алгебры, не являющейся н-алгеброй. 2.8. Пусть Й = (О, 1, 2). Привести примеры н-алгебр, содержащих множества А = (О, 1) и В = (1, 2). 2.9. Описать а-алгебру подмножеств отрезка [О, 1], порожденную множествами: а) [О, 2/3], [1/3, 1]; б) [О, 1/2], [1/2, 1]; в) (О), (1); г) [1/3, 1/2]; д) О; е) [О, 1]; ж) множество всех рациональных точек отрезка [О, 1]. 2.10. Пусть Й вЂ” несчетное множество. Описать о-алгебру, порожденную: а) всеми одноточечными подмножествами Й; б) всеми счетными подмножествами Й; в) всеми несчетными подмножествами Й; г) всеми бесконечными подмножествами Й.
2Л1. Доказать, что всякая конечная а-алгебра подмножоств пространства Й порождается некоторым конечным разбиением Й. 2Л2, Пусть Я, и Я, — две о-алгебры подмножеств пространства Й. Являются ли о-алгебрами классы мнон<еств: а) Я, 0 Я;, б) Я, 0 Я;, в) Я,ЧЯ,; г) Я,/~Я,? 2ЛЗ. Пусть А„А„...— последовательность непересекающихся подмножеств пространства Й. Определить мощность о-алгебры, порожденной этой последовательностью.
2Л4. Доказать, что если .Фо Фн ...— неубывающая последовательность а-алгебр, то л1 = Ц Ф вЂ” алгебра. Я=1 2Л5. Может ли число всех событий какого-либо вероятностного пространства быть равным 129; 130; 128? 2Л6. Пусть М вЂ” а-алгебра подмножеств пространства Й. Доказать, что если,Ф бесконечно, то существует счетная последовательность непустых непересекающихся элементов Ф. 2.17. Докааать, что для любого пространства Й никакая а-алгебра его подмножеств не может иметь счетную мощность.
2.18. Может ли число элементарных событий быть строго больше, чем число всех событий? 27 2.!9. Меняет ли бытзк а) число элементарных событий конечно, а число событий бесконечно; б) число событий конечно, а число элементарных событий бесконечно? 2.20. Число элементарных событий некоторого вероятностного пространства равно п. Указать минимальное и максимальное воз- можные значении для числа событий.
2.21. Описать п-алгебру, порожденную: а) событиями нулевой вероятности; б) событиями вероятности единица, 2.22. Образует ли о-алгебру множество всех событий, вероятно- сти которых выражаются рациональными числами. 2.23. Доказать, что: а) 1пп зпр А„Иш ш! А„; б) Итп !и! А„= 1ип зпр А„.
2.24. Пусть А„А„...— последовательность событий. Доказать, что события Иш зпрА„и 1пп !и! А„принадлежат с-алгебре, порож- денной этой последовательностью. 2.25. Доказать следующие соотношения: Ищ зпр(Л„И В,) = Иш зпр Л„И!пп зпр В„, Иш !и! А„В„= 1пп !п(А„П 1пп !и! В„, 1пп зпр А„(! Иш 1п! В„с Иш зир(А „0 В„) с 1пп зпр А„ц 1пп зпр В„.
2.26. Пусть А, ~ А, =~...— невозрастающая последовательность событий. Доказать, что Р ( () А;~ = 1шз Р (А„). ~!~ / е 2.27. Пусть А, <=.А,~...— неубывазощая последовательность событий. Доказать, что Р ( Ц А;) = 1йпР(А„). '1=) / 2.28. Доказать, что Р( Ц А; Р(А,) + Р(А,А ) + Р(А,А,4з) + ~ Зсм 2.29. Пусть (!1, .Ф, Р) — произвольное вероятностное пространство. Доказать, что множество значений функции Р(А), А ~,Ф представляет собой замннутое подмножество отрезка [О, !'! 2.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
