А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В схеме выбора с возвращением найдите вероятность того, что все шары встретятся в выборке не более одного раза. 1.29 (урновая схема: выбор бев возвращения). Пусть урна содерн«ит У различных шаров с номерами 1, 2, ..., Х На кая«дом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и нааад в урну не возвращается. Исход н последовательных извлечений называется выборкой объема н без возвращения нли бесповторной выборкой. и Описать пространство элемептарных событий в двух случаях: когда выборка упорядочена и когда не упорядочена. 1.30 (продолжение).
Рассмотрим случай упорядоченных выборок и предположим, что они равновероятны. Так же как в задаче 1.15, предположим, что шары с первыми М(М ( М) номерами окрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Найдите вероятность того, что в выборке объема п окажется ровно т белых шаров. 1.31 (генуэзская лотерея). Из общего числа 90 номеров разыгрываются 5 номеров. Можно заранее сделать ставку на люоое число номеров в пределах пяти. Если ставка сделана на к, к = 1, 2, 3, 4, 5, номеров и именно эти Й номеров находятся среди номеров, вышедших в тираж, то соответствующие выигрыши таковы: если й=1, то 15 ставок, к = 2, то 270 ставок, к = 3, то 5500 ставок, к = 4, то 75000 ставок, з = 5, то 1000000 ставок.
Подсчитать вероятности вьтигрьппей при ставке на любое число номеров. 1.32. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима. 1.33. Из полного набора 28 костей домино наудачу берутся 5 костей. Нанти вероятность того, что среди ннх будет хоти бы одна кость с шестью очками. 1.34.
Бросается и игральных костей. Найти вероятность событии, состоящего в том, что на всех костях выпало одинаковое число очков. 1.35. Монета подбрасываетсн п раз. Найти вероятность того, что число появлений герба нечетно. 1.36. Брошены шесть игральных костей. Найти вероятности следующих событий: а) на всех костях выпало разное число очков; б) суммарное число выпавших очков равно 7.
1.37. Игральная кость бросается п раз. Чему равна вероятность того, что: а) хотя бы один раз выпадет шестерка) б) шестерка выпадет в точности один раз7 1,38. (задаса игрока де Мере). Какое событие более вероятно: (при четырех бросаниях кости хотя бы раз выпадет шесть очков) или (при двадцати четырех бросаниях двух костей хотя бы раз одновременно выпадут гпесть и шесть очков)? Найдите зти вероятности. 1.39. Несколько раз бросается игральная кость. Какое событие более вероятно: (сумма выпавших очков четна) или (сумма выпавших очков нечетка)7 12 1.40.
Между двумя игроками проводится и партий, причем каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что определенный игрок выиграет ровно т партий, 0 ( гп «и. 1.41. В зале, насчитывающем и + к мест, случайным образом занимают моста п человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные т ( и мест. 1.42. Для уменыпения общего количества игр 2п команд спортсменов разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе. 1.43.
Сорок участников турнира разбиваются па четыре равные группы. Найти вероятность того, что четыре сильнейших участника окажутся в разных группах. 1.44. Рассмотрим множество из )т' элементов. Наудачу выбирается одно пз непустых подмножоств. Нанти вероятность того, что в выбранном подмножестве четное число элементов. 1.45. Из урны, содержащей 2п белых и 2п черных шаров, извлекаются с возвращением 2п шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет одинаковое число белых и,черных шаров.
1.40. В урне а белых н Ь черных шаров (а > 2, Ь =-- 2). Иа урны без возвращения извлекаются два шара. Найти вероятность того, что: а) шары одного цвета; б) гпары разных цветов. 1.47. В урне находятся 5 шаров различных цветов. Производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того, что в выборке будет по 5 шаров каждого цвета. 1.48. В урне К красных, 7 белых и М черных шаров. Из урны с возвращенном (без возвращения) извлекается и шаров.
Найти вероятность того, что в выборке будет й красных, 1 белых и ш черных шаров. 1.49. В урне находятся черные и белые гпары, которые без возвращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно: (первый шар оказался белым) или (последний шар оказался белым)? 1.50. В урне находятся черные и белые шары, причем отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно а. Найти вероятность того, что при извлечении всех шаров из урны последним окажется черный шар.
1.51. В урне находятся а белых и Ь черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Нанти вероятность того, что Й-йг вынутый шар оказалсн белым. 1.52. Из урны, в которой находятся черные и белые шары, с возвращением извлекаются два шара. Доказать, что вероятность того, что шары одного цвета, не меньше 1/2.
1.53. В урне содержится а белых и Ъ черных шаров (ать Ь). Все шары без возвращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно: (в некоторый момент число извлеченных белых 13 шаров равно числу извлеченных черных шаров) или (в некоторый момент число оставшихся в урне белых шаров равно числу оставшихся черных шаров)7 Найти ати вероятности. 1.54. п лиц рассаживаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность, что два определенных лица окажутся ридом? Найти соответствующую вероятность, если те же лица садятся за круглый стол. 1.55. п лиц рассаживаются в ряд или за круглый стол в случайном порядке.
Найти в том и другом случае вероятность того, что менсду двумя определенными лицами окажется ровно з человек. 1.56 (раанещение шаров ио ящикам). Рассмотрим случайный эксперимент, в котором различимые (занумерозанные) шары размещаются по нескольким ящикам, так что каждый шар может попасть в ящик с любым номером. Описать множество всех различимых размещений — элементарных исходов данного эксперимента. Считая все алементарные события равновероятными, вычислить соответствующие вероятности. 1.57 (продоллиение). Рассмотрим тот же эксперимент, но на этот раз будем считать шары неразличилсыми. Подсчитать число всех различных размещений.
1.58 (продоллеение). Рассмотрим задачу рззмепсения и шаров по сзс ящикам. Считаем возможными только те размещения, при которых в каждый ящик попадает не более одного шара. Построить пространство элементарных событий в случае различимых и в случае неразличимых шаров. 1.59. 30 шаров размещаются по 8 ящикам так, что для каждого шара одинаково возможно попадание в любой ящик. Найти вероятность размещения, при котором будет 3 пустых ящика, 2 ящика — с тремя, 2 ящика — с шестью и 1 ящик — с двенадцатью шарами. 1.60. Найти вероятность того, что прн размещении и различимых-шаров по М ящикам ааданный ящик будет содержать ровно й, 0 ~ и ~ п, шаров (все различимые размещения равновероятны) .
1.61. п различимых шаров размещаются по ссс ящикам. Найти вероятность того, что ящики с номерами 1, 2, ..., У будут содернсать п„..., пв шаров соответственно (и, +...+ и„= п). 1.62. В и ящиках размещают п шаров так, что для каждого шара равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст. 1.63 (иродоляеение). В и ящиках раамещают и+ 2 шаров.
Найти вероятность того, что по крайней мере один ящик будет пустым. 1.64 (продолжение). В и ящиках раамещают и+1 шаров. Найти вероятность того, что ровно два ящика окажутся пустыми. 1.65. В п ящиках размещают 2п шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст, если шары неразличимы и все различимые раамещення имеют равные вероятности. 1.66 (иродолвкение).
Найти вероятность д~ю того, что заданный ящик содержит ровно сп шаров. $4 1.67 (продолхсение). Найти предел ~7)ю при и- 1.68 (продолжение). Найти вероятность того, что ровно й ящиков останутся пустыми. 1.69. Имеется 2и карточек, на которых написаны числа от 1 до 2п, и 2п конвертов, на которых написаны те не числа. Карточки случайным образом вкладываются в конверты (в каждый конверт по одной нарточке).
Найти вероятность того, что сумма чисел на любом конверте и лежащей в нем карточке четна. 1.70. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) монеты. Найти вероятность того, что после п подбрасываний у них будет одно и то же число гербов. 1.71. Имеется тщательно перетасованная колода из 52 карт (4 масти, по 13 карт в каждой от двойки до туза). Найти вероятность того, что: а) первые четыре карты в колоде — тузы; б) первая и последняя карты — тузы; в) между тузами находится одинаковое число карт й 1.72. Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам.
Найти вероятность того, что: а) у каждого из игроков окажется но одному тузу; б) у одного из игроков все тринадцать карт будут одной масти; в) у каждого из игроков будут все карты, от двойки до туза; г) у 1-го, 2-го, 3-го и 4-го игроков окажется соответственно а„ам а„а, карт масти «пик» (а, + а» + а, + а, = 13). 1.73. Сравниваются дво перетасованные колоды, содержащие пе 1»' различных карт. Если карта находится на одном и том же месте в обеих колодах, будом говорить, что имеет место совпадение.
Найти вероятность того, что будет: а) по крайней мере одно совпадение; б) по крайней мере й совпадений. 1.74. Две колоды из М различных карт сравниваются между собой и одновременно с такой же третьей колодой. Найти вероятность того, что будет ровно и» двойных совпадений. 1.75. Найти вероятность того, что при случайном размещении г шаров пе п ящикам ровно в гп ящиках окажетсн по и шаров, если для каждого шара равновозмон»но попадание в любой ящик.
1.76. Найти вероятность того, что при размещении г шаров по п ящикам ровно и» ящиков останутся пустыми, если шары неразличимы и все различные размещения равновероятны, 1.77. Восемь ладей случайным образом расставлены на шахматной доске. Найти веролтность того, что ни одна из ннх не бьет другую и пи одна не стоит на главной белой диагонали. 1.78. Из колоды, содержащей 52 карты, извлекаются 13 карт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
