А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы) (1115316), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найти вероятность того, что в выборке содержится ровно й пар «туз — король» одной масти. 1.79. Рассмотрим множество У кусочно-линейных функций вида 7'(О) = О, 1(х) = 1(1) +»»»(х — М), 1~:.хе-. » + 1, О«'1« . п — 1, 15 где а~ — принимает значения 1 илн — 1. Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция нз множества У принимает в точке и значение 1с.
1.80 (лродолавение). Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция из У имеет в полуинтервале (О, и1 1 корней. 1.81 (прадо«я«ение). Найти вероятность того, что для случайно выбранной функции (ш У ) ~(х)дх = О. » 1.82. Пусть У,~~ — множество функций 1 из У таких, что ~(л)= О, Найти вероятность того, что наудачу выбранная функции нз У, не имеет нулей в интервале (О, п).
1,83 (прооолагепие). Найти вероятность того, что минимальный корень в интервале (О, п) случайно выбранной функции пз У « равен й в 3. Геометрические вероятности 1.84. Двое условились о встрече между 10 и 11 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 10 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым «наудачу» в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.
1.85. Содержание предыдущей задачи. дополнить третьим лицом при тех же условиях встречи. Найти вероятность того, что: а) встреча трех лиц состоится; б) встреча по крайней мере двух л»щ состоится. 1.80, На отрезке длины 1 наудачу выбираются две точки. Какова вероятность, что из трех отрезков, на которые делится исходный отрезок выбранными точками, можно составить треугольник? 1.87 (задача Бюффона) . На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии а, наудачу бросается игла длиною 2г (2г(а). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из проведенных прямых7 1.88 (продел»меняв). На плоскости проведены две взаимно перпендикулнрные совокупности параллельных прямых, которые разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами а и Ь.
Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла длиною 2г (2г( а+ Ь вЂ” У(и+ Ь)' — яаЬ) пересечет хотя бы одну из проведенных прямых. 1.89 (задача Бертрана). На окружности радиуса г наудачу выбираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того, что длина хорды превысит УЗ г. 1.90 (вродоллсение). На окружности радиуса г выбирается наудачу точка, и через нее проводится диаметр. На диаметре наудачу 16 выбирается точка — середина хорды, перпендикулярной диаметру. Найти вероятность того, что длина полученной хорды превзойдет ?3г.
1.91 (продолжение). Внутри круга радиуса г наудачу выбнрается точка. Эта точка служит серединой хорды, перпендикулярной проведенному через нее диаметру. Найти вероятность того, что полученная хорда превзойдет по длине ?3г. 1.92. На плоскость нанесены параллельные прямые на одинаковом расстоянии а друг от друга. На плоскость наудачу бросается монета (круг) радиуса В (В(а/2).
Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из прямых. 1.93. Две точки выбираются наудачу из отрезка [ — 1, 11 Пусть р и д — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квадратное уравнение х'+ рх+ д =О будет иметь вещественные корни. 1.94. В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат. 1.95. На отрезок наудачу бросают три точки, одну за другой. Какова вероятность того, что третья по счету точка упадет между двумя первыми? 1.96.
Отрезок длины а, + ах поделен на две части длины а, и ав соответственно. и точек последовательно бросаются наудачу на отрезок. Найти вероятность того, что ровно ш из и точек попадут на часть отрезка длины ае 1.97 (продолжение). Отрезок длины а, + ах+...+а, поделен на з частей длины ао а„..., а, соответственно. Наудачу бросаются п точек. Найти вероятность того, что на части длины ае ав, ..., а, попадет соответственно то т„..., т, точек (т, +...+ т, =и), 1.98.
В шар радиуса В наудачу бросаются /х' точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше а, 0 < а ( В. 1.99. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины: а) какого-нибудь треугольника; б) правильного треугольника; в ) прямоугольного треугольника.
1.100. В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти вероятность того, что круг, диаметром которого является отрезок АВ, целиком содержится в исходном квадрате. 1.101. В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти вероятность того, что квадрат, диагональю которого является отрезок АВ, целиком содержится в исходном квадрате.
1А02. В единичный квадрат наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точна будет удалена от центра квадрата на расстояние меньше, чем 1/3, если известно, что от каждой из сторон квадрата она удалена больше, чем на 1/6? 1АОЗ. На окружности наудачу выбраны три точки А, В, С. Найти вероятность того, что треугольник АВС будет остроугольным. 2 А. В.
Прохоров и ир. й 4. Условная вероятность. Независимость 1.104. Доказать, что Р(А,...А„) = Р(А,) Р (А,)А,)...Р(А„(А,...А„,), если все входящие в правую часть условные вероятности определены. 1Л05. Доказать, что Р(А ... А„(С) = Р(Ас)С)Р(А»)А~С)... Р(А„)А,...А„,С), если все входящие в правую часть условные вероятности определены. 1Л06. Доказать формулу полной вероятности Р(А) = ~ Р(А)В„)Р(В„), »=1 где Р(В<)>0, В,ОВ,= И, (чь), А ~ Ц В». »-1 1Л07. Доказать формулу Байеса.
1.108. Доказать, что Р(А(С) — Х Р(А)В»С)Р(В»)С), »=1 Р(В»С))0, В; П В = Ы, 3~), АСс:. () В». » г 1Л09. Пусть Р(А)В))Р(В)А) и Р(А))0, Р(В)~0. Будет ли Р(АР Р(В)7 1Л10. Верно ли равенство Р(А )В)+ Р(А )В) = 17 1.111 (урновал схема Пойа). Урна содержит а белых и Ь черных шаров. Наудачу извлекается шар. Оп возвращается обратно, и, кроме того, добавляется с шаров одного с ним цвета. Производится новое извлечение, и процедура изменения состава урны повторяется и т. д. Доказать, что вероятность того, что при первых и = п, + и, извлечениях появилось и, белых и п, черных шаров, равна » а(а+с)(а+2с) ...(а+и с — с)Ь(Ь+с) ...(Ь+а с — с) (а + Ь) (а + Ь + с) (а+ Ь+ 2с) ... (а + Ь + ас — с) 1Л12 (нродоллсение).
Доказать, что вероятность извлечения белого шара на й-м шаге равна а/(а+ Ь). 1Л13 (продолжение). Доказать, что условная вероятность извлечения белого шара на т-м шаге, при условии, что на )с-м шаге, й ~ т, был извлечен белый шар, равна (а+ с) /(а+ Ь + с) . 18 1.114 (иродолжеиие). Пусть событие А означает извлечение белого шара на т-м шаге. Доказать, что Р(А !А„)=Р(А„~А ).
1.115. Имеются три урны с белыми и черными шарами, причем отношение числа белых шаров к числу черных равно ро р„рз для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу (с вероятностью 1/3) выбирается урна и из нее шар. Какова вероятность того, что оп белый? 1.116 (иродолжение), Наудачу выбирается урна и из нее шар. Оказалось, что он белый. Какова вероятность того, что шар был вынут из первой урны? 1Л17.
Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях, а второй — в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают правильную монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Вот оп видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок? 1Л18. Урна содержит )У шаров, из которых М вЂ” белого цвета. Производится выборка объема и. Пусть событие А, состоит в том, что на й-м шаге извлечен шар белого цвета, а событие  — в том, что в выборке ровно т белых шаров.
Доказать, что Р(А„~В„) = тlи в случае выбора с возвращением и без возвращения. 1Л19. В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть черный шар. Какова вероятность того, что другие два шара белые? 1.120. Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа обратятся й человек, равна Х'е 'lй( при некотором 2, ) О. Для каждого человека вероятность отказа равна р. Найти вероятность того, что в течение часа з человек не получат ответа на свой вопрос 1Л21.
Име1отся три урны. В первой урне находится )У, белых и М, черных, во второй — ?г', белых и М, черных, в третьей — Л, белых и М, черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн и из нее выбираются без возвращения 2 шара. Один из них оказывается белым, другой — черным.
Найти вероятности того, что выбор производился нз первой, второй или третьей урн. 1Л22. В урне первоначально находилось )г' белых и М черных шаров. Один шар потерян, и цвет его неизвестен. Из урны без возвращения извлечены 2 шара, и оба оказались белыми. Определить вероятность того, что потерян белый шар. 1Л23.
В первой урне )Ч, белых и М, черных шаров, зо второй— )У, белых и М, черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают шар. После тщательного перемешивания из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность, что он белый? 1.124. В первой урне )У, белых и М, черных шаров, во второй— У, белых и М, черных и в третьей — )г', белых и М, черных. Иа 2* 19 первой урны наудачу извлекают один шар и перекладывают во вторую урну. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей в первую. С какой вероятностью состав шаров в первой урне останется прежним? 1Л25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
