Lecture13 (1114600), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Аналогично для строк. Ч.т.д.Следствие 2. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимыхстолбцов (строк).Доказательство. Пусть rang = . Это означает, что у матрицы есть базисныйминор порядка . Базисные столбцы матрицы линейно независимы, их штук.Предположим, что в матрице есть + 1 линейно независимых столбцов. Составим изэтих столбцов новую матрицу . Базисный минор матрицы имеет порядок невыше , поскольку любой минор матрицы одновременно является миноромматрицы , а все миноры матрицы порядка выше равны нулю. Значит, по крайнеймере один из столбцов матрицы не является базисным, а следовательно, онявляется линейной комбинацией остальных столбцов. Тогда по теореме 13.5 столбцыматрицы являются линейно зависимыми.

Получили противоречие, котороедоказывает, что максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно её рангу. Аналогично для строк. Ч.т.д.Метод Гаусса—Жордана нахождения ранга матрицыМетод Гаусса—Жордана нахождения ранга матрицы состоит в том, что матрицаприводится к упрощённому виду с помощью ЭПС, не меняющих ранг матрицы:91) перестановка двух строк,2) умножение строки на число ≠ 0,3) прибавление к некоторой строке матрицы другой её строки, умноженной начисло ,4) вычёркивание нулевой строки.Упрощённым видом матрицы называется следующий её вид:1000⋮(0∗000⋮0…………⋱…∗000⋮00 ∗ …1 ∗ …0 0 ⋯0 0 …⋮ ⋮ ⋱0 0 …∗∗00⋮00 ∗0 ∗1 ∗0 0⋮ ⋮0 0…………⋱…0000⋮1∗∗∗∗⋮∗…………⋱…∗∗∗.∗⋮∗)Здесь некоторые столбцов матрицы являются первыми столбцами единичнойматрицы (и поэтому они ЛНЗ), а остальные столбцы можно представить в виде их ЛК.В этом случае ранг матрицы равен , а базисный минор состоит из столбцовединичной матрицы.

Звёздочками обозначены произвольные элементы матрицы.13915−1 −2 −4 −3Пример. Найти ранг матрицы = (), её базисный минор и27 17 122354установить линейные зависимости между столбцами.Сначала превратим первый столбец матрицы в первый столбец единичной матрицы.Для этого умножим вторую строку на (−1) и поменяем местами первую и вторуюстроки:113(2229734315).17 1254Теперь вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 13, а из третьей ичетвёртой строки — первую строку, умноженную на 2:12430 −17 −51 −34().03960−1−3−2Поделим вторую строку на (−17), третью строку — на 3, а четвёртую строку —на (−1):10(002111433332).2210Теперь попробуем превратить второй столбец матрицы во второй столбец единичнойматрицы. Для этого вычтем из третьей и четвёртой строки вторую строку, а из первойстроки — вторую строку, умноженную на 2:10(000 −2130000−12).00Вычеркнем две нулевых строки:1 0(0 1−2 −1).32Матрица приведена к упрощённому виду.

Базисные столбцы: первый и второй. Рангматрицы равен 2. Третий и четвёртый столбцы являются ЛК базисных:3 = −21 + 32 ,4 = −1 + 22 .Такие же зависимости будут и между столбцами исходной матрицы :1913−4−2−1( ) = −2 ( ) + 3 ( ) ,17275239135−2−1−3( ) = − ( ) + 2 ( ).2712234В исходной матрице базисным минором является любой минор второго порядка,отличный от нуля. Например, минор, построенный на базисных столбцах — первом ивтором — и на первой и второй строке:1 2||.13 911.

Характеристики

Список файлов лекций