Lecture01 (1114588)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 1Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны:http://sites.google.com/site/vkolybasovaГруппы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов:http://vk.com/vvkolybasovahttp://vk.com/club54291252Рекомендуемая литература:1.2.3.4.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра.С.Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.А.В. Овчинников. Курс лекций по аналитической геометрии. На сайте кафедрыматематики: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/21В нашем курсе аналитической геометрии изучаются матрицы, определители,векторы, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка, системы линейныхалгебраических уравнений.МатрицыОпределение. Прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов,называется матрицей размера × .Обычно матрицы записывают в круглых или в двойных прямых скобках (две формызаписи).Пример:1 3 −211) или ‖(0 1033 −21‖ — это матрица размера 2 × 3.13Произвольная матрица размера × имеет вид:1121= ( ⋮11222⋮2……⋱…12⋮ ) = ( )× ,где — элементы матрицы ( — номер строки, — номер столбца).Определение.

Матрица размера × (количество строк = количеству столбцов)называется квадратной матрицей порядка .Определители 1-го, 2-го и 3-го порядкаКаждой квадратной матрице порядка ставится в соответствие (единственнымобразом, по определённому закону) некоторое число det , которое называетсяопределителем (или детерминантом) матрицы :матрица размера × ↦ число.На этой лекции мы рассмотрим только случаи = 1, 2, 3.

Определителипроизвольного порядка будут изучаться в конце семестра.1. Определитель 1-го порядка ( = 1). Матрица размера 1 × 1 состоит из одногоэлемента: = (11 ). Её определителем называется этот элемент: det ≝ 11 .(Символ ≝ означает равенство по определению.)2. Определитель 2-го порядка ( = 2). По определению:11 = (211211↦det=|)22211222 | ≝ 11 22 − 21 12 .Определитель матрицы записывается так же, как сама матрица, но в одинарныхпрямых скобках.

Для матрицы размера 2 × 2 определитель равен разностипроизведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочнойдиагонали:11|211222 |побочная диагональглавная диагональДалее будем называть элементами, строками и столбцами определителя det элементы, строки и столбцы матрицы .Теорема 1.1 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителявторого порядка).

Для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю,необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или столбцов) былипропорциональны:11|2111 1212|=0⟺=.2221 22Примечание. В случае равенства нулю 21 или 22 данное соотношение следуетперемножить «крест накрест», как пропорцию: 11 ⋅ 22 = 12 ⋅ 21 .Теорему докажите самостоятельно.3.

Определитель 3-го порядка ( = 3). По определению:гл. диаг-льпобочная диаг-ль11 12 13det = |21 22 23 | ≝31 32 33≝ 11 22 33 + 21 32 13 + 31 12 23 − 31 22 13 − 11 32 23 − 21 12 33 .Запомнить эту формулу можно с помощью следующей схемы:111213111213212223212223313233313233Ещё одно мнемоническое правило:1112––13––11–1221222321223132333132+++Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцуСгруппируем в выражении для определителя 3-го порядка все члены, содержащиеэлементы первой строки 11 , 12 , 13 :11 12 13det = |21 22 23 | =31 32 33= 11 22 33 + 21 32 13 + 31 12 23 − 31 22 13 − 11 32 23 − 21 12 33 =(22 33 − 32 23 ) + 12 ⏟(13 13 − 21 33 ) + 13 ⏟(21 32 − 31 22 ).= 11 ⏟111213Определение.

Множители при соответствующих элементах в определителеназываются алгебраическими дополнениями:det = +(…⏟)не содержит .Упражнение. Получите явный вид всех алгебраических дополнений и проверьтесправедливость следующих формул разложения определителя 3-го порядка построкам и столбцам:11 11 + 12 12 + 13 13 (разложение по первой строке),21 21 + 22 22 + 23 23 (разложение по второй строке),31 31 + 32 32 + 33 33 (разложение по третьей строке),det =11 11 + 21 21 + 31 31 (разложение по первому столбцу),12 12 + 22 22 + 23 23 (разложение по второму столбцу),{13 13 + 23 23 + 33 33 (разложение по третьему столбцу).Определение.

Минором элемента определителя 3-го порядка называетсяопределитель 2-го порядка, получаемый из данного определителя путёмвычёркивания той строки и того столбца, на пересечении которых находится данныйэлемент.Пример:11|21311222321323 | ⇒ 12 = | 2131332333 |.Связь миноров и алгебраических дополнений: = (−1)+ .⍟Мнемоническое правило для запоминания знаков при :+ – +– + –+ – +Упражнение. Проверьте самостоятельно справедливость формулы ⍟ для всехминоров в определителе 3-го порядка, используя полученные в предыдущемупражнении выражения для алгебраических дополнений .Свойства определителей 3-го порядка1°. Определитель не изменится, если строки и столбцы этого определителяпоменять ролями (транспонировать):1 2 31 1 1|2 2 2 | = |1 2 3 |.1 2 33 3 3Доказательство: распишем определители в левой и правой частяхдоказываемого равенства и убедимся, что они тождественно совпадают.2°.

Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильнаумножению определителя на число −1.Пример:1 2 31 2 3|1 2 3 | = (−1) ⋅ | 1 2 3 |.1 2 31 2 3Доказательство. Разложим определитель по оставшейся на месте строке илистолбцу (в приведённом примере — по первой строке). При перестановке двухдругих строк (столбцов) поменяются местами строки (столбцы) во всехминорах, построенных на этих строках (столбцах). При этом согласновыражению для определителя 2-го порядка все миноры поменяют знак.3°. Если определитель имеет две одинаковых строки (или два одинаковыхстолбца), то он равен нулю.Доказательство: это следует из свойства 2°.4°.

Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то и самопределитель равен нулю.Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).5°. Умножение всех элементов некоторой строки (или столбца) определителя начисло равносильно умножению определителя на .Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).6°. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равеннулю.Пример:1 1 1|2 2 2 | = 0.3 3 3Доказательство: это следует из свойств 5° и 3°.7°. Разложение определителя в сумму определителей:1′ + 1′′ 1′ + 1′′ 1′ + 1′′1′ 1′ 1′1′′ 1′′ 1′′22 | = |2 2 2 | + | 2 2 2 |.| 23333 3 33 3 3Аналогично для любой другой строки или столбца.Доказательство: это следует из разложения определителя по данной строке(столбцу).8°.

Если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавитьсоответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число ,то величина определителя не изменится.Пример:1 1 11 + 1 1 1|2 2 2 | = |2 + 2 2 2 |.3 3 33 + 3 3 3Доказательство: это следует из свойств 7° и 6°.Непосредственной проверкой можно убедиться, что все перечисленные свойствасправедливы и для определителей 2-го порядка..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций