Lecture10 (1114597)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 10Канонические уравнения поверхностей второго порядкаЭллиптический цилиндрОпределение.Эллиптическимцилиндром(илиэллиптическоицилиндрическоиповерхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2+= 1,2 2где > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением эллиптического цилиндра, асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Направляющеи эллиптического цилиндра являетсяэллипс, образующими — прямые, параллельные оси .Следующие уравнения также задают эллиптическиецилиндры(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):222+2= 1,222+2= 1.Гиперболический цилиндрОпределение.

Гиперболическим цилиндром (илигиперболическои цилиндрическои поверхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координатзадается уравнением2 2−= 1,2 2где > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением гиперболическогоцилиндра,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Направляющеигиперболическогоцилиндраявляется гипербола, образующими — прямые,параллельные оси .Следующиеуравнениятакжезадаютэллиптические цилиндры (ориентированные подругому относительно координатных осеи):12222−2= 1,222−2= 1,222−2= 1,222−2= 1,22−= 1.Параболический цилиндр2Определение.

Параболическим цилиндром (илипараболическоицилиндрическоиповерхностью)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением 2 = 2,где > 0. Это уравнение называется каноническимуравнениемпараболическогоцилиндра,асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Направляющеи параболического цилиндра являетсяпарабола, образующими — прямые, параллельныеоси .Следующие уравнения также задают параболическиецилиндры(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи): 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2, 2 = 2.Эллипсоид2(√1 −ℎ222)+Определение. Эллипсоидом называется поверхность впространстве, которая в некоторои декартовои системекоординат задается уравнением2 2 2++ = 1,2 2 2где параметры > 0, > 0, > 0 называются полуосямиэллипсоида.

Это уравнение называется каноническимуравнением эллипсоида, а соответствующая системакоординат — канонической системои координат.Сечения эллипсоида плоскостями = ℎ при |ℎ| < , =ℎ при |ℎ| < и = ℎ при |ℎ| < — эллипсы.Например, если = ℎ, где |ℎ| < , то в сечении получим2 2ℎ2+= 1 − 2,2 2откуда2(√1 −ℎ222=1)— уравнение эллипса.2Если две полуоси равны, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Если всетри полуоси равны, то эллипсоид называется сферой.Однополостный гиперболоидОпределение.

Однополостным гиперболоидомназывается поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2 2+− = 1,2 2 2где > 0, > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническимуравнениемоднополостногогиперболоида,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ —эллипсы.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ и =ℎ — гиперболы.Следующиеуравнениятакжезадаютоднополостные гиперболоиды (ориентированныепо-другому относительно координатных осеи):2222+2−2= 1,2222+2−2= 1.Двуполостный гиперболоидОпределение.

Двуполостным гиперболоидомназывается поверхность в пространстве,которая в некоторои декартовои системекоординат задается уравнением2 2 2− 2 − 2 + 2 = 1,где > 0, > 0, > 0. Это уравнениеназываетсяканоническимуравнениемдвуполостногогиперболоида,асоответствующая система координат —канонической системои координат.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ при|ℎ| > — эллипсы.Сечения гиперболоида плоскостями = ℎ и = ℎ — гиперболы.Следующиеуравнениятакжезадаютдвуполостныегиперболоиды(ориентированные по-другому относительнокоординатных осеи):3−2222−2+2= 1, −2222−2+2= 1.Конус второго порядкаОпределение.

Конусом второго порядка (иликоническоиповерхностьювторогопорядка)называется поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 2 2+− = 0,2 2 2где > 0, > 0, > 0. Это уравнение называетсяканоническим уравнением конуса второго порядка, асоответствующая система координат — каноническойсистемои координат.Точка (0; 0; 0) называется вершиной конуса.Сечения конуса плоскостями = ℎ при ℎ ≠ 0 —эллипсы.Сечения конуса плоскостями = ℎ при ℎ ≠ 0 и = ℎпри ℎ ≠ 0 — гиперболы.Следующие уравнения также задают конусы второгопорядка (ориентированные по-другому относительнокоординатных осеи):2222+2−2= 0,2222+2−2= 0.Эллиптический параболоидОпределение.Эллиптическимпараболоидомназывается поверхность в пространстве, которая внекоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением2 22 = 2 + 2 ,где > 0, > 0.

Это уравнение называетсяканоническимуравнениемэллиптическогопараболоида,асоответствующаясистемакоординат — канонической системои координат.Сечения параболоида плоскостями = ℎ при ℎ > 0 —эллипсы.Сечения параболоида плоскостями = ℎ и = ℎ —параболы.Следующие уравнения также задают эллиптическиепараболоиды(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):42 =22222+2, 2 =2+2.Гиперболический параболоидОпределение.Гиперболическимпараболоидом называется поверхность впространстве,котораявнекотороидекартовои системе координат задаетсяуравнением2 22 = 2 − 2 ,где > 0, > 0.

Это уравнение называетсяканоническимуравнениемгиперболическогопараболоида,асоответствующая система координат —канонической системои координат.Сечения параболоида плоскостями = ℎ приℎ ≠ 0 — гиперболы.Сечения параболоида плоскостями = ℎ и = ℎ — параболы.Следующие уравнения также задаютгиперболическиепараболоиды(ориентированныепо-другомуотносительно координатных осеи):2 =2 =22222222222−22−, 2 =22, 2 =−22−, 2 =22−2,.Классификация поверхностей второго порядка (невырожденные случаи)1.2.3.4.5.Цилиндры: эллиптическии, гиперболическии, параболическии.Конус второго порядка.Эллипсоид.Гиперболоиды: однополостныи, двуполостныи.Параболоиды: эллиптическии, гиперболическии.Общее уравнение поверхности второго порядкаОпределение. Поверхностью второго порядка называется множество точек впространстве, которое в некоторои декартовои системе координат задаетсяуравнением вида11 2 + 22 2 + 33 2 + 212 + 223 + 213 + 21 + 22 + 23 + = 0,5где 11 , 22 , 33 , 12 , 23 , 13 , 1 , 2 , 3 , ∈ ℝ, |11 | + |22 | + |33 | + |12 | + |23 | + |13 | ≠0.Уравнение поверхности второго порядка приводится к каноническому виду спомощью поворота и сдвига координатных осеи.Линейчатые поверхностиОпределение.

Поверхность называется линеичатои, если она состоит из прямых.Цилиндры, конус, однополостныи гиперболоид и гиперболическии параболоидявляются линеичатыми поверхностями.Теорема 10.1. Через каждую точку цилиндра проходит прямая, параллельная его осии целиком принадлежащая цилиндру.Доказательство. Для определенности рассмотрим22эллиптическиицилиндр+ 2 = 1.Пусть20 (0 , 0 , 0 ) — точка, принадлежащая цилиндру.

Тогдаее координаты удовлетворяют уравнению цилиндра:022+ 02 = 1. Проведем через эту точку прямую ,2параллельную оси . В качестве направляющеговектора прямои можно взять вектор ⃗ = {0; 0; 1}.Тогда параметрические уравнения прямои : = 0 ,{ = 0 , = 0 + .Произвольная точка прямои имеет координаты (0 , 0 , 0 + ). Подставив их вуравнение цилиндра, получим равенство02022+2= 1, которое выполняется в силу того,что точка 0 (0 , 0 , 0 ) принадлежит цилиндру (см. выше). Значит, любая точкапрямои лежит на цилиндре, а следовательно, прямая целиком принадлежитцилиндру, ч.т.д.

Аналогично для гиперболического и параболического цилиндра.Теорема 10.2. Через каждую точку конуса проходит прямая, содержащая его вершинуи целиком принадлежащая конусу.6222Доказательство. Рассмотрим конус 2 + 2 − 2 = 0.Возьмем на нем произвольную точку 0 (0 , 0 , 0 ),отличную от вершины (0; 0; 0). Координаты этоиточки удовлетворяют уравнению конуса:0222+ 02 − 02 = 0.2Проведем прямую через точки 0 и . Еенаправляющиивектор:⃗ = {0 , 0 , 0 },и = 0 ,параметрические уравнения: { = 0 , = 0 .Произвольная точка прямои имеет координаты (0 , 0 , 0 ). Подставим их вуравнение конуса:02 02 02 ( 2 + 2 − 2 ) = 0.⏟20Мы видим, что уравнение конуса выполняется, а значит, прямая целиком содержитсяв конусе, ч.т.д.Через вершину конуса проходит бесконечно много таких прямых.Теорема 10.3. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят дверазличные прямые, целиком принадлежащие этому параболоиду.2(0 + ) = (0 + )2 − (0 + )2 .Доказательство.

Для простоты рассмотримгиперболическии параболоид 2 = 2 − 2 .Возьмем произвольную точку 0 (0 , 0 , 0 ),принадлежащуюпараболоиду.Еекоординаты удовлетворяют уравнениюпараболоида: 20 = 02 − 02 . Рассмотримпроизвольную прямую , проходящую черезточку 0 . Запишем ее параметрическиеуравнения: = 0 + ,{ = 0 + , = 0 + .Потребуем,чтобыпрямаяцеликомпринадлежалапараболоиду.Подставимкоординаты произвольнои точки прямои вуравнение параболоида:Раскроем скобки и перенесем все в правую часть:(2 − 2 ) 2 + 2(0 − 0 − ) + ⏟02 − 02 − 20 = 0.07(2 − 2 ) 2 + 2(0 − 0 − ) = 0.Для того чтобы это уравнение выполнялось при всех , необходимо и достаточновыполнения двух условии:2 = 2 ,{0 − 0 − = 0.Докажем, что эта система имеет решения.

Поскольку направляющии вектор прямоиопределен с точностью до произвольного множителя, положим = 1. Тогда системапринимает вид:2 = 1,{ = 0 − 0 .Тогда = ±1, = 0 ∓ 0 . Следовательно, через точку 0 (0 , 0 , 0 ) проходят двепрямые, целиком содержащиеся в параболоиде: = 0 + , = 0 + ,1 : { = 0 + ,и 2 : { = 0 − , = 0 + (0 − 0 ) = 0 + (0 + 0 ).Гиперболическии параболоид 2 =222−2получается из параболоида 2 = 2 − 2 спомощью растяжения вдоль координатных осеи.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций