Lecture08 (1114595)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 8Кривые второго порядкаЭллипсОпределение. Эллипсом называется кривая на плоскости, которая в некотороидекартовои системе координат имеет уравнение222+2= 1, где ≥ > 0. Этоуравнение называется каноническим уравнением эллипса, а указанная системакоординат — канонической системои координат.Теорема 8.1 (исследование формы эллипса).1) Эллипс симметричен относительно точки (0; 0), относительно оси и оси .|| ≤ ,2) Эллипс заключен внутри прямоугольника {|| ≤ .3) Точки (±, 0), (0, ±) принадлежат эллипсу.4) Эллипс может быть получен из окружности с помощью сжатия ее вдоль оси .Доказательство.1) При замене (, ) на (−, −) уравнение эллипса не меняется, поэтому онсимметричен относительно точки (0; 0). При замене (, ) на (, −) уравнениеэллипса не меняется, поэтому он симметричен относительно оси .

При замене(, ) на (−, ) уравнение эллипса не меняется, поэтому он симметриченотносительно оси .|| ≤ ,222) Из уравнения эллипса получаем 2 ≤ 1, 2 ≤ 1, откуда {|| ≤ .3) Координаты точек (±, 0), (0, ±) удовлетворяют уравнению эллипса.4)−−Рассмотрим окружность 2 + 2 = 2 . Ееуравнение можно переписать в виде2 2+= 1.2 2Теперь каждои точке (, ) окружностипоставим в соответствие точку (, ̃), где̃ = , что соответствует сжатию вдольоси враз.

Тогда координатыполученныхточекудовлетворяютуравнению эллипса 2 ̃ 2+= 1,ч. т. д.2 2−1Рассмотрим эллипс, заданныи уравнением1222+2= 1.21(, )1−−1 (−, 0)22 (, 0)2−Числоназываетсябольшойполуосьюэллипса, —малой полуосьюэллипса.Точки (±, 0) и(0, ±)называютсявершинамиэллипса.Точка(0; 0)называетсяцентромэллипса.Обозначим = √2 − 2 . Заметим, что < .Точки 1 (−, 0) и 2 (, 0) называются фокусами эллипса. Они лежат внутри эллипса,т.к. < .Отрезки 1 = 1 и 2 = 2 называются фокальными радиусами точки .Величина =называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что для любогоэллипса 0 ≤ < 1.Прямые 1 : = − и 2 : =называются директрисами эллипса.

Заметим, что онирасположены вне эллипса, т.к. < 1.Пусть 1 — расстояние от точки до директрисы 1 , 2 — расстояние от точки додиректрисы 2 .Особыи случаи: = , тогда = 0, = 0, фокусы 1 и 2 совпадают, и эллипспредставляет собои окружность радиуса с центром в начале координат. Уокружности нет директрис.Чем больше эксцентриситет, тем более «вытянутым» является эллипс.Теорема 8.2 (фокальное свойство эллипса). Эллипс222+2= 1 является множествомточек на плоскости, сумма расстоянии от которых до фокусов постоянна и равна 2:1 + 2 = 2.Доказательство.

Теорема состоит из двух утверждении: если точка (, )принадлежит эллипсу222+2= 1, то 1 + 2 = 2, и наоборот, если для некоторои2точки (, ) выполнено равенство 1 + 2 = 2, то точка принадлежит эллипсу2222+= 1.Докажем, что если точка (, ) принадлежит эллипсу, то 1 + 2 = 2. Заметим, что1 = √( + )2 + 2 , 2 = √( − )2 + 2 . Если точка (, ) принадлежит эллипсу, тоее координаты удовлетворяют уравнению эллипса2 −22222+2= 1. Выразим отсюда 2 = 2 и подставим в выражение для 1 :1 = √( + )2 + 2 −2 22√ 2 + 2 + 2 + 2 − 2 ==222 − 2 2=√ + 2 + 2 + 2 .2Заметим, что 2 − 2 = 2 , 2 + 2 = 2 .

Тогда221 = √ 2 2 + 2 + 2 = √( + ) = | + |.Заметим, что для всех точек эллипса || ≤ , и, поскольку < , то | | < . Поэтомупод модулем стоит положительная величина, и тогда1 = + .Аналогично получим2 = | − | = − .Теперь1 + 2 = + + − = 2,ч. т. д.Теперь докажем обратное утверждение: если для некоторои точки (, ) выполненоравенство 1 + 2 = 2, то точка принадлежит эллипсу222+2= 1.Подставив выражения для 1 и 2 в данное равенство, получим√( + )2 + 2 + √( − )2 + 2 = 2.Умножив левую и правую часть на разность корнеи, получим√( + )2 + 2 − √( − )2 + 2 = 2 .3Сложив полученные равенства, получим√( + )2 + 2 = + .Возведя в квадрат, придем к уравнению2 2 + + = + 2 ,2222откуда22+= 1.2 2 − 2Поскольку 2 − 2 = 2 , получим уравнение эллипса222+2= 1. Теорема полностьюдоказана.Благодаря фокальному своиству эллипса, можно дать инвариантное (т.е.

независящее от системы координат) определение эллипса: эллипсом называетсямножество точек на плоскости, сумма расстоянии от которых до двух фиксированныхточек 1 и 2 постоянна и больше длины отрезка 1 2 .На этом своистве основан практическии способ построения эллипса: нужно взятьнитку длинои 2 и закрепить ее концы в точках 1 и 2 . Тогда, двигая карандаш поплоскости так, чтобы он все время касался натянутои нити, можно начертить эллипс.Теорема 8.3 (директориальное свойство эллипса).

Эллипс222+2= 1 при ≠ является множеством точек на плоскости, отношение расстоянии от которых дофокуса и до соответствующеи директрисы постоянно равно : 1 = 2 = < 1.12Доказательство. Сначала докажем, что если точка (, ) принадлежит эллипсу22= 1, то11=2222+= . При доказательстве предыдущеи теоремы получено, что еслиточка (, ) принадлежит эллипсу, то1 = + = + ,2 = − = − .11С другои стороны, 1 = + , 2 = − , поэтому=22= , ч.т.д.Теперь докажем, что если для некоторои точки (, ) выполнено условиеэта точка принадлежит эллипсу222+211= , то= 1.

Если 1 = 1 , то4√( + )2 + 2 = ( + ) = + = + .Возведя в квадрат, получим уравнение эллипса (см. доказательство фокальногосвоиства эллипса). Аналогично доказывается, что если для некоторои точки (, )выполнено условие22= , то эта точка принадлежит эллипсу222+2= 1.Теорема полностью доказана.Директориальное своиство эллипса позволяет дать другое инвариантноеопределение эллипса: эллипсом называется окружность или множество точек наплоскости, отношение расстоянии от которых до фиксированнои точки и дофиксированнои прямои , не содержащеи точку , постоянно и меньше 1.Параметрические уравнения эллипсаПусть = cos ,{ = sin .=2(, )=− = 232−==022Тогда+ 2=2cos 2 + sin2 = 1, т.е.данныепараметрическиеуравнениязадаютэллипс.

Если ∈[0, 2],тоточка(, )пробегаетвесь эллипс один разпротивчасовоистрелкиивозвращаетсявисходное положение.5Касательная к эллипсу0 (0 , 0 )где =|Пусть прямая касаетсяэллипса = cos ,{ = sin , ∈ [0, 2] вточке0 (0 , 0 ).Посколькуточка0 (0 , 0 ) принадлежитэллипсу,то∃0 :0 = cos 0 ,{0 = sin 0 .Запишемуравнениекасательнои: = ( − 0 ) + 0 ,находится по формуле для производнои функции, заданнои =0параметрически:( sin )′ cos 0 2 0===− 2⋅ .|| =0 ( cos )′ =− sin 0 00Подставим это в уравнение касательнои: 2 0 = − 2 ⋅ ( − 0 ) + 0 , 0откуда0 0 02 02+ 2 = 2 + 2,⏟21т.е.0 0 + 2 = 1 — уравнение касательной к эллипсу.26Оптическое свойство эллипса0 (0 , 0 )1⃗1 (−, 0)22 (, 0)Теорема 8.4. Луч света,исходящии из одногофокуса эллипса, послеотражения от эллипсапопадает в другои егофокус.Доказательство.Рассмотримпроизвольнуюточкуэллипса0 (0 , 0 ).Проведемчерезнеекасательную .

Обозначимвектор нормали к ⃗ . Обозначим углычерез между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через0 2 и вектором и соответственно.Для доказательства теоремы достаточно показать, что = .Поскольку уравнение касательнои к эллипсу имеет вид0 2+0 2⃗ = {02 , 02}.= 1, то ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Заметим, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 0 = {0 + , 0 }, |1 0 | = 1 , 2 0 = {0 − , 0 }, |2 0 | = 2 , поэтому02 0 02++ | |1 + 02 | | + 0 |⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 0 )|1|(2 2 2 =cos ====,⃗ | ⋅ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⋅⋅⋅⋅||||||||||1 0111|02 0 02| 2 − 2 + 2 | |1 − 02 | | − 0 |⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1|()|2 0 =cos ====,⃗ | ⋅ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⋅⋅⋅⋅||||||||||2 0222поскольку при доказательстве фокального своиства эллипса было получено, что 1 =| + 0 |, 2 = | − 0 |.

Отсюда следует, что = , ч.т.д.7Полярное уравнение эллипса = 1(, )−1 (−, 0)2 (, 0)−Исключив из этих двух равенств переменную , получимВведемполярныекоординатыследующимобразом. Пусть = 1 , — уголнаклона отрезка1 к оси .Тогда + = cos (из рисунка), = + (выражение длялевогофокальногорадиуса).

= cos − + ,откуда =−1− cos .Обозначив = − (эта величина называется фокальным параметром эллипса),получим=.1 − cos Это и есть полярное уравнение эллипса.ГиперболаОпределение. Гиперболой называется кривая на плоскости, которая в некотороидекартовои системе координат имеет уравнение222−2= 1, где > 0, > 0. Этоуравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а указанная системакоординат — канонической системои координат.Теорема 8.5 (исследование формы гиперболы).1) Гипербола симметрична относительно точки (0; 0) и относительно осеи и .2) Гипербола лежит снаружи полосы || < . Гипербола не пересекает ось ,поэтому она состоит из двух ветвеи, расположенных в левои и правоиполуплоскости относительно оси .83) Точки (±, 0) принадлежат гиперболе.4) Гипербола имеет наклонные асимптоты = ± при → ±∞.Определение.

Прямая = + называется наклонной асимптотой графикафункции = (), если () = + + (1) при → +∞ или → −∞.Доказательство.1) При замене (, ) на (−, −) уравнение гиперболы не меняется, поэтому онасимметрична относительно точки . При замене (, ) на (, −) уравнениегиперболы не меняется, поэтому она симметрична относительно оси . Призамене (, ) на (−, ) уравнение гиперболы не меняется, поэтому онасимметрична относительно оси .2) Из уравнения гиперболы получаем 2 = 2 (1 +22), откуда || ≥ .3) Координаты точек (±, 0) удовлетворяют уравнению гиперболы.4) Выразим из уравнения гиперболы:22 2222 = ( 2 − 1) = 2 (1 − 2 ),221√ = ± 1 − 2 = ± (1 − 2 + ( 2 )) = ± + (1) при → ±∞,2а это и означает, что прямые = ± являются наклонными асимптотамигиперболы при → ±∞.Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением1=− 111 (−, 0)−− −22−2= 1.2=22(, )22 (, 0)Точки 1 (−, 0) и 2 (, 0) называются фокусами гиперболы.Числа и называютсяполуосямигиперболы.(±, 0)Точкиназываютсявершинамигиперболы.Точка(0; 0)называетсяцентромгиперболы.Обозначим =√2 + 2 .Заметим, что >.Отрезки 1 = 1 и 2 = 2 называются фокальными радиусами точки .9Величина =называется эксцентриситетом гиперболы.

Заметим, что для любоигиперболы > 1.Прямые 1 : = − и 2 : = называются директрисами гиперболы.Пусть 1 — расстояние от точки до директрисы 1 , 2 — расстояние от точки додиректрисы 2 .При = гипербола называется равносторонней.222−2= 1 — уравнение сопряжённой гиперболы (она изображена пунктиром).Сопряженная гипербола имеет такие же асимптоты, а ее фокусы лежат на оси .Теорема 8.6 (фокальное свойство гиперболы). Гипербола222−2= 1 являетсямножеством точек на плоскости, модуль разности расстоянии от которых до фокусовпостоянен и равен 2: |1 − 2 | = 2.Докажите самостоятельно.Благодаря фокальному своиству гиперболы, можно дать инвариантное (т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций