Lecture13 (1114600)
Текст из файла
Лекция 13Обратная матрицаОпределение. Квадратная матрица называется вырожденной, если det = 0.Квадратная матрица называется невырожденной, если det ≠ 0.Определение. Пусть и — квадратные матрицы порядка . Матрица называетсяобратной к матрице , если = = . Обозначение: = −1 .Лемма 13.1. Пусть = ( )× , — алгебраическое дополнение к элементу определителя матрицы . Если ≠ , то ∑=1 = 0, т.е. сумма произведенииэлементов j-го столбца на алгебраические дополнения элементов k-го столбца равнанулю.Доказательство. Рассмотрим определительопределителя det заменои k-го столбца на j-и:det ′ = Δ (1 , … ,⏟−е место,…,⏟det ′ ,которыиполучаетсяиз, … , ).−е местоТогда det ′ = 0, поскольку в этом определителе есть два одинаковых столбца.
Сдругои стороны, разложение det ′ по k-му столбцу имеет вид det ′ = ∑=1 (где — алгебраические дополнения элементов исходного определителя det — онине зависят от элементов k-го столбца), поэтому ∑=1 = 0, ч.т.д.Следствие. Поскольку определитель не изменяется при транспонировании, то при ≠ выполняется равенство ∑=1 = 0, т.е. сумма произведении элементов i-истроки на алгебраические дополнения элементов k-и строки равна нулю.Теорема 13.2. Для того чтобы существовала матрица −1 , необходимо и достаточно,чтобы матрица была невырожденнои.Доказательство необходимости. Пусть существует −1 . Тогда ⋅ −1 = .
По теоремеоб определителе произведения матриц получимdet ⋅ det −1 = det( ⋅ −1 ) = det = 1.Следовательно, det ≠ 0, ч.т.д.Доказательстводостаточности.Пусть = ( )× ,det ≠ 0.Рассмотримприсоединённую матрицу ′ = ( )× , составленную из алгебраических дополнениик элементам матрицы . Поскольку1det , если = ,∑ = {0, если ≠ ,=1то11′ = ( 12⋮1= det ⋅ ,2122⋮211… 121… 2)( ⋮⋱⋮1… 1222⋮2… 1det … 20⋱⋮ )=( ⋮… 00det ⋮01…0…0)=⋱⋮… det 1откуда следует, что (′ ) ⋅ = . Аналогично получим равенство ⋅ (′ ) = ,det det т.е.
матрица1det ′ является обратнои к матрице , ч.т.д.Теорема 13.3. Если существует −1 , то она единственна.Доказательство. От противного. Пусть и — две обратные к матрицы. Тогда = = () = () = = ,т.е. = , ч.т.д.Следствие. Из доказательства предпоследнеи теоремы следует, что обратнаяматрица вычисляется по формуле −1 =1det ′ .Свойства обратных матриц. Если и — невырожденные квадратные матрицыодинакового порядка, то1) ()−1 = −1 −1 ,2) ( )−1 = (−1 ) .Доказательство своиства 1). Нужно доказать, что матрица −1 −1 является обратнойк матрице .
Для этого нужно доказать, что (−1 −1 )() = , ()(−1 −1 ) = .Докажем первое равенство:(−1 −1 )() = −1 (−1 ) = −1 = −1 = .Аналогично доказывается равенство ()(−1 −1 ) = . Следовательно, матрица−1 −1 является обратной к матрице , ч.т.д.Свойство 2) докажите самостоятельно.Простейшие матричные уравненияРассмотрим уравнение = ,(1)где = ( )× и = ( )× — известные матрицы, — неизвестная матрица.2Пусть — невырожденная матрица. Тогда ∃−1 . Предположим, что уравнение (1)имеет решение. Умножим его левую и правую часть на −1 слева:−1 = −1 .Поскольку −1 = , то получим = −1 .(2)Итак, если решение уравнения (1) существует, то оно даётся формулой (2). Теперьпокажем, что матрица (2) действительно является решением уравнения (1).Подставив её в левую часть уравнения (1), получим: = −1 = = ,ч.
т. д.Таким образом, если det ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение =−1 .Аналогично, если det ≠ 0, то уравнение = имеет единственное решение =−1 .Система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными (СЛАУ)Рассмотрим СЛАУ11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1 , + 22 2 + ⋯ + 2 = 2 ,{ 21 1⋮1 1 + 2 2 + ⋯ + = .(3)Здесь 11 , …, , 1 , …, — известные числа, 1 , …, — неизвестные числа.СЛАУ можно записать в матричном виде:1121( ⋮⏟11222⋮2……⋱…111222)(⋮⋮ ) = ( ⋮ ) ⇔ = . ⏟⏟Как мы показали выше, если det ≠ 0, то это матричное уравнение имеетединственное решение = −1 . Поскольку −1 =1det ⋅ ′ , где ′ = ( )× , то 1Δ = ∑=∑ = ,det det Δ⏟=1=1Δгде Δ = det , Δ — определитель, который получается из det , если заменить i-йстолбец на столбец :31121|Δ = | ⋮1……⋱…12⋮⏟……⋱…12⋮ ||.−й столбецТаким образом, =Δ,Δ(4)∀ = 1, … , .Эти формулы для нахождения решения СЛАУ называются формулами Крамера.Теорема 13.4 (о формулах Крамера для системы из уравнений).
Если Δ ≠ 0, тосистема (3) имеет единственное решение, причём это решение выражаетсяформулами Крамера (4).Доказательство см. выше.Метод Гаусса нахождения обратной матрицыПусть — невырожденная квадратная матрица. Метод Гаусса нахождения обратнойматрицы состоит в том, что к матрице надо справа приписать единичную матрицу того же порядка, а затем с помощью элементарных преобразований строк (ЭПС)преобразовать расширенную матрицу таким образом, чтобы слева стояла единичнаяматрица. Тогда справа будет стоять −1 .
К ЭПС относятся следующие:1) перестановка двух строк,2) умножение строки на число ≠ 0,3) прибавление к некоторой строке матрицы другой её строки, умноженной начисло .ЭПС(|) → (|−1 ).11Пример. Вычислить методом Гаусса обратную матрицу к = (211 −1−10).1Запишем расширенную матрицу:11 −1 1 0 0(210 | 0 1 0).1 −11 0 0 1Для того чтобы её первый столбец превратился в первый столбец единичнойматрицы, нужно добиться того, чтобы его первый элемент был равен единице, аостальные элементы — нулю.
Для этого вычтем из второй строки первую строку,умноженную на 2, а из третьей строки — просто первую строку:411 −11 0 0(0 −12 | −2 1 0).0 −22 −1 0 1Теперь превратим второй столбец этой матрицы во второй столбец единичнойматрицы. Для этого умножим вторую строку на (−1), а затем вычтем из первой строкивторую строку и к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 2:1 0(0 10 01 −11 0−2 | 2 −1 0).−23 −2 1Теперь превратим третий столбец этой матрицы в третий столбец единичнойматрицы.
Для этого сначала вычтем из второй строки третью строку. Затем поделимтретью строку на (−2) и вычтем из первой строки третью строку:1 0(0 10 00,5 000 | −1 11 −1,5 10,5−1).−0,5Теперь слева стоит единичная матрица, а значит, справа — −1 :−10,5 0= ( −1 1−1,5 10,5−1).−0,5Ранг матрицыРассмотрим матрицу размера × :1121=( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ).… Обозначим строки матрицы через 1 , 2 , …, (от row — строка (англ.)), астолбцы — через 1 , 2 , … , (от column — столбец (англ.)). Для строк и столбцовматрицы вводятся понятия линейной комбинации (ЛК), линейной зависимости (ЛЗ)и линейной независимости (ЛНЗ) так же, как они вводились для векторов(см.
лекцию 2).Определение. Линейной комбинацией столбцов 1 , 2 , … , называется выражениевида1 1 + 2 2 + ⋯ + ,где 1 , 2 , … , — числа. Аналогично для строк.Определение. Столбцы 1 , 2 , … , называются линейно зависимыми, еслисуществуют числа 1 , 2 , … , , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что51 1 + 2 2 + ⋯ + = .00Здесь = ( ) — нулевой столбец. Аналогично для строк.⋮0Определение. Столбцы 1 , 2 , … , называются линейно независимыми, если 1 1 +2 2 + ⋯ + = ⇔ 1 = 2 = ⋯ = = 0. Аналогично для строк.Если среди столбцов 1 , 2 , … , есть нулевой столбец, то все эти столбцы линейнозависимы.
Если часть столбцов линейно зависимы, то и все эти столбцы линейнозависимы. Аналогично для строк. Доказываются эти утверждения так же, как и длявекторов, см. лекцию 2.Теорема 13.5 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости столбцов(строк)). Столбцы 1 , 2 , … , линейно зависимы ⇔ один из них является линейнойкомбинацией остальных. Аналогично для строк.Доказательство достаточности. Пусть, для определённости,1 = 2 2 + ⋯ + .Тогда−1⏟ ⋅ 1 + 2 2 + ⋯ + = ,≠0а это значит, что столбцы линейно зависимы, ч.т.д. Доказательство для строканалогично.Доказательство необходимости. Пусть столбцы 1 , 2 , … , линейно зависимы.Тогда существуют числа 1 , 2 , …, , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такиечто1 1 + 2 2 + ⋯ + = .Для определённости, пусть 1 ≠ 0.
Тогда на 1 можно поделить, и получим1 = −22 − ⋯ − ,11т.е. один из столбцов является линейной комбинацией остальных, ч.т.д.Доказательство для строк аналогично.Теорема 13.6. Если столбцы (строки) определителя линейно зависимы, тоопределитель равен нулю.6Доказательство. Пусть определитель состоит из столбцов 1 , 2 , … , . Согласнопредыдущей теореме, если столбцы линейно зависимы, то один из них равенлинейной комбинации остальных.
Пусть, для определённости,1 = 2 2 + ⋯ + .ТогдаΔ(1 , 2 , … , ) = Δ(2 2 + ⋯ + , 2 , … , ) ==⏟Δ(2 2 , 2 , … . , ) + ⏟Δ(3 3 , 2 , 3 , … . , ) + ⋯ + ⏟Δ( , 2 , … . , ) = 0,00ч. т. д.0(Все эти определители равны нулю, т.к. у них есть пропорциональные столбцы.)Аналогично для строк.Вернёмся к матрице1121=( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ).… Определение. Выберем различных строк и различных столбцов матрицы .Определитель, состоящий из элементов, расположенных на пересечении этих строк истолбцов, называется минором порядка матрицы .11Например: (1 , 2 , 1 , 2 ) = |211212)|,(,,,=|122221 |.Определение.
Минор порядка матрицы называется базисным, если он не равеннулю, а любой минор порядка + 1 матрицы , если таковой имеется, равен нулю.Строки и столбцы матрицы , входящие в базисный минор, называются базисными, апорядок базисного минора называется рангом матрицы : = rang . Если всеэлементы матрицы равны нулю (такая матрица называется нулевой матрицей иобозначается ), то её ранг считается равным нулю.Отметим, что матрица может иметь несколько базисных миноров одинаковогопорядка.Теорема 13.7 (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейнонезависимы. Любой столбец (строка) матрицы является линейной комбинациейбазисных.Доказательство.
Пусть rang = > 0. Тогда у матрицы есть базисный минорпорядка . Без ограничения общности можно считать, что базисный миноррасположен в левом верхнем углу матрицы (в противном случае всегда можнопереставить строки и столбцы матрицы так, чтобы он там оказался):711⋮1⋮(1…⋱…⋱…1⋮⋮… 1⋱⋮… .⋱⋮… )Обозначим базисный минор буквой .1. Докажем, что базисные столбцы 1 , 2 , … , линейно независимы. От противного.Если они линейно зависимы, то согласно теореме 13.6 базисный минор должен бытьравен нулю, но это противоречит определению базисного минора.
Следовательно,базисные столбцы линейно независимы, ч.т.д. Аналогично для базисных строк.2. Докажем, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисныхстолбцов. Дописав к базисному минору i-ю строку и j-й столбец матрицы , получимопределитель11⋮ =|11… 1⋱⋮… … 1⋮ |.Если j-й столбец (i-я строка) матрицы совпадает с одним из её базисных столбцов(строк), то = 0, т.к. определитель содержит два одинаковых столбца (строки).Если же j-й столбец и i-я строка матрицы не являются базисными, то определитель является минором порядка + 1 матрицы (у которой базисный минор имеетпорядок ), поэтому = 0.Разложим определитель по последней строке: = ∑ + = 0.=1Здесь через и обозначены алгебраические дополнения к соответствующимэлементам определителя .Поскольку = (−1)(+1)+(+1) = ≠ 0, то на = можно поделить. Тогда = ∑ − .⏟ =1Заметим, что алгебраические дополнения не зависят от (потому что онивыражаются через элементы всех строк определителя , кроме последней), поэтомуможно обозначить −= , и тогда полученное разложение будет справедливо длялюбого элемента j-го столбца матрицы :8 = ∑ ∀ = 1, … , ,=1а это означает, что j-й столбец матрицы является линейной комбинацией базисныхстолбцов: = ∑ , = 1, … , ,ч.
т. д.=1Аналогично для строк. Теорема полностью доказана.Следствие 1 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя).Определитель равен нулю ⇔ его столбцы (строки) линейно зависимы.Достаточность следует из теоремы 13.6.Докажем необходимость. Пусть определитель n-го порядка равен нулю. Тогда егобазисный минор имеет порядок, меньший . Следовательно, хотя бы один из столбцовопределителя не является базисным. По теореме о базисном миноре этот столбецявляется линейной комбинацией базисных столбцов, тогда по теореме 13.5 столбцыопределителя линейно зависимы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
