Lecture07 (1114594)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7Плоскость в пространствеУравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей заданныйвектор нормалиΠ⃗ = {, , }0 (0 , 0 , 0 )(, , )Пусть в пространстве введена праваядекартовасистемакоординат.Рассмотрим плоскость Π, проходящуючерез точку 0 (0 , 0 , 0 ).Определение.Любойненулевойвектор,перпендикулярныйкплоскости Π, называется векторомнормали к плоскости Π.⃗ = {, , } — вектор нормали к плоскости Π. Произвольная точка (, , )Пусть ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗принадлежит плоскости Π тогда и только тогда, когда 0 ⊥ . Отсюда получаемуравнение плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 , 0 ) и имеющей вектор⃗ = {, , }:нормали ( − 0 ) + ( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.Общее уравнение плоскостиЕсли раскрыть скобки и ввести обозначение = −0 − 0 − 0 , получим общееуравнение плоскости: + + + = 0.(1)Теорема 7.1.

Любая плоскость задаётся уравнением вида (1) в декартовой системекоординат. Любое уравнение вида (1), где , , , ∈ ℝ, || + || + || ≠ 0, задаёт вдекартовой системе координат некоторую плоскость.Докажите самостоятельно.1Уравнение плоскости в отрезкахΠЕсли , , , ≠ 0, то можно записать уравнениеплоскости в отрезках: + + = 1, где , , — отрезки, которые плоскость отсекает накоординатных осях: = − , = − , = − .Параметрические уравнения плоскостиОпределение.

Любая пара неколлинеарныхвекторов , , параллельных плоскости Π,0называетсянаправляющимивекторамиплоскости Π.Пусть , — направляющие векторыплоскости Π. Отложим их от некоторой точки0 (0 , 0 , 0 )0 (0 , 0 , 0 ), лежащей в плоскости Π. При этомвекторы , будут лежать в плоскости Π.(, , )Поскольку они неколлинеарны, то ониобразуют базис на плоскости Π.Произвольная точка принадлежит плоскости Π тогда и только тогда, когдаΠ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∃, ∈ ℝ: 0 = + .Поскольку ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 = − 0 , получаем параметрическое уравнение плоскости Π ввекторном виде: = 0 + + ,где , ∈ ℝ — параметры.Параметрические уравнения плоскости в координатном виде: = 0 + 1 + 1 ,{ = 0 + 2 + 2 , = 0 + 3 + 3 ,где = {1 , 2 , 3 }, = {1 , 2 , 3 }.2Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиΠ3 (3 , 3 , 3 )2 (2 , 2 , 2 )1 (1 , 1 , 1 )(, , )ПолучимуравнениеплоскостиΠ,проходящей через три заданные точки1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ), нележащие на одной прямой.

Произвольнаяточка (, , ) будет принадлежатьплоскости Π тогда и только тогда, когдавекторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 3 компланарны.Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗равенство нулю их смешанного произведения: (1 , 1 2 , 1 3 ) = 0. Смешанноепроизведение в правой декартовой системе координат записывается в видеопределителя: − 1|2 − 13 − 1 − 12 − 13 − 1 − 12 − 1 | = 0.3 − 1Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащиена одной прямой.Расстояние от точки до плоскостиΠ: + + + = 01 (1 , 1 , 1 )Формула для нахождения расстоянияот точки 1 до плоскости Π выводитсяаналогичнослучаюпрямойнаплоскости и имеет вид:|1 + 1 + 1 + |(1 , Π) =.√2 + 2 + 2Докажите самостоятельно.Расположение точек относительно плоскостиТеорема 7.2.

Плоскость + + + = 0 делит пространство на дваполупространства, в одном из которых + + + > 0, а в другом — + + + < 0.Докажите самостоятельно.Следствие. Точки 1 (1 , 1 , 1 ) и 2 (2 , 2 , 2 ) лежат по одну сторону от плоскости + + + = 0, если знаки величин 1 + 1 + 1 + и 2 + 2 + 2 + одинаковы, и по разные стороны от плоскости, если знаки этих величинпротивоположны.3Угол между плоскостямиОпределение. Если плоскости Π1 и Π2 параллельны или совпадают, то угол междуними считается равным нулю. Если же плоскости Π1 и Π2 не параллельны и несовпадают, то углом между ними называется величина того двугранного угла,образованного этими плоскостями, которыи лежит от 0 до .2⃗1 и⃗ 2 — векторы нормалеи к плоскостям Π1 и Π2 соответственно, то угол междуЕсли ними вычисляется по формуле = arccos⃗ 1, ⃗ 2 )||(.⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2||Прямая в пространствеПараметрические уравнения прямойПустьвпространствевведенадекартовасистемакоординат.Рассмотрим прямую , проходящуючерез точку 0 (0 , 0 , 0 ) и имеющую(, , )направляющии вектор = {, , }.Произвольнаяточка(, , )принадлежит прямои тогда и только0 (0 , 0 , 0 )⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗тогда, когда 0 ∥ .

Необходимое и0достаточноеусловие = {, , }⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗коллинеарности — ∃ ∈ ℝ: 0 = .Поскольку ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 = − 0 , получаемпараметрическое уравнение прямои ввекторном виде: = 0 + , ∈ ℝ.Параметрические уравнения прямои в координатном виде: = 0 + ,{ = 0 + , = 0 + .Если ∈ [, +∞), получим полупрямую; если ∈ [, ] — отрезок.Канонические уравнения прямойИсключив из параметрических уравнении параметр , получим − 0 − 0 − 0==.Это и есть канонические уравнения прямои.4Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки1 (1 , 1 , 1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 22 (2 , 2 , 2 )Если заданы две различные точки 1 (1 , 1 , 1 ) и2 (2 , 2 , 2 ), принадлежащие прямой , то вектор⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 = {2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 } будет являтьсянаправляющим вектором прямой . Посколькупрямая проходит через точку 1 (1 , 1 , 1 ), токанонические уравнения прямой можно записать ввиде: − 1 − 1 − 1==.2 − 1 2 − 1 2 − 1Это уравнения прямой , проходящей через две заданные точки в пространстве.Уравнения прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостейΠ2Π1Если плоскости Π1 : 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и Π2 :2 + 2 + 2 + 2 = 0 не параллельны и несовпадают, то они пересекаются по прямой ,которая задаётся системой уравнений: + 1 + 1 + 1 = 0,{ 12 + 2 + 2 + 2 = 0.Угол между прямымиЕсли 1 и 2 — направляющие векторы прямых 1 и 2 , соответственно, то угол междупрямыми определяется по формуле = arccos|(1 , 2 )|.|1 | ⋅ |2 |5Расстояние от точки до прямой01Пусть задана прямая , проходящая через точку 0и имеющая направляющии вектор , ипроизвольная точка 1 .

Наидем расстояние(1 , ) от точки 1 до прямои .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Если — угол между векторами 0 1 и , то =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|0 1 | ⋅ sin . С другои стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|[0 1 , ]| = |0 1 | ⋅ || ⋅ sin .Отсюда находим :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|[0 1 , ]|(1 , ) =.||Условие принадлежности двух прямых одной плоскости111222Пусть прямая 1 проходит черезточку 1 и имеет направляющиивектор 1 , а прямая 2 проходитчерезточку2иимеетнаправляющии вектор 2 .Прямые 1 и 2 принадлежат одноиплоскости тогда и только тогда,когда векторы 1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2компланарны, т.е.1 2 ) = 0.(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Расстояние между скрещивающимися прямыми111222Пусть прямая 1 проходитчерез точку 1 и имеетнаправляющии вектор 1 , апрямая 2 проходит черезточку2иимеетнаправляющии вектор 2 .Пустьпрямые1 ,2скрещиваются,т.е.непринадлежатодноиплоскости.Тогдаонипринадлежатдвумпараллельным плоскостям, ирасстояние между прямыми(1 , 2 ) равно расстояниюмежду этими плоскостями.6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Построим параллелепипед на некомпланарных векторах 1 , 2 , 1 2 .

С одноистороны, его объем равен |(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 )|. С другои стороны, этот объем равенпроизведению высоты на площадь основания. Высота равна расстоянию (1 , 2 )между плоскостями, а площадь основания равна |[1 , 2 ]|. Из равенства1 2 )| = (1 , 2 ) ⋅ |[1 , 2 ]||(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗находим(1 , 2 ) =1 2 )||(1 , 2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.|[1 , 2 ]|Пример. Найти канонические уравнения прямой , являющейся линией пересеченияплоскостей Π1 : − 2 + 3 − 4 = 0 и Π2 : 3 + 2 − 5 − 4 = 0.⃗2Π20⃗1Π1Для того чтобы записать каноническиеуравнения прямой , необходимо знать еёнаправляющий вектор и точку 0 , черезкоторую проходит прямая.Из общих уравнении плоскостеи Π1 и Π2находим векторы нормали к ним:⃗ 1 = {1; −2; 3},⃗ 2 = {3; 2; −5}.Направляющий вектор прямой должен бытьпараллелен плоскостям Π1 и Π2 , т.е.⃗1 и ⃗ 2 .

Но векторноеортогонален векторам ⃗ 1, ⃗ 2]произведениепоопределению[являетсявектором,ортогональным⃗1 и ⃗ 2 , поэтому его можно взять ввекторам качестве направляющего вектора:⃗⃗ 1, ⃗ 2 ] = |1 −2 = [3| = {4; 14; 8}.32 −5Для удобства вычислений уменьшим длину направляющего вектора двое:′ = {2; 7; 4}.В качестве точки 0 , принадлежащей прямой , можно взять любую точку,принадлежащую одновременно плоскостям Π1 и Π2 .

Координаты точки 0удовлетворяют уравнениям плоскостей Π1 и Π2 : − 2 + 3 − 4 = 0,{3 + 2 − 5 − 4 = 0.7Достаточно найти одно из решений этой системы уравнений. Например, пусть = 0;тогда из системы уравнений находим = 2, = −1.Теперь можно записать канонические уравнения прямой , проходящей через точку0 (2; −1; 0) и имеющей направляющий вектор ′ = {2; 7; 4}:−2 +1 == .274Ответ:−22=+17= .4Замечание: поскольку опорная точка и направляющий вектор прямой определяютсяне единственным образом, одна и та же прямая может задаваться различнымиканоническими уравнениями.8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций