Lecture04 (1114591)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4Скалярное произведение⃗⃗⃗Определение. Углом между ненулевымивекторами ⃗ и ⃗⃗ называется тот из углов,образованных этими векторами, отложенными отединого начала, который лежит в пределах от 0 до .Если хотя бы один из векторов нулевой, то уголмежду ними не определён.Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов ⃗ и ⃗⃗ называется число|⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ cos , если ⃗ ≠ ⃗0⃗, ⃗⃗ ≠ ⃗0⃗,(⃗, ⃗⃗) ≝ {0,если ⃗ = ⃗0⃗ или ⃗⃗ = ⃗0⃗,где — угол между векторами.Замечание 1. Скалярное произведение ненулевых векторов можно записать в виде(⃗, ⃗⃗) = |⃗| ⋅ Пр ⃗⃗ = |⃗⃗| ⋅ Пр ⃗,где Пр ⃗⃗ = |⃗⃗| ⋅ cos — проекция вектора ⃗⃗ на ось, образованную вектором ⃗, Пр ⃗ =|⃗| ⋅ cos — проекция вектора ⃗ на ось, образованную вектором ⃗⃗.Замечание 2. Из определения скалярного произведения следует, что (⃗, ⃗) = |⃗|2 .⃗⃗(⃗⃗,)Замечание 3.

Для ненулевых векторов ⃗, ⃗⃗ справедлива формула = arccos | ⃗⃗ .⃗⃗|⋅||Определение. Векторы называются ортогональными (обозначение ⃗ ⊥ ⃗⃗), если ихскалярное произведение равно нулю.Теорема 4.1. Пусть ⃗ и ⃗⃗ — ненулевые векторы, — угол между ними. Тогда1) (⃗, ⃗⃗) = 0 ⟺ — прямой,2) (⃗, ⃗⃗) > 0 ⇔ — острый или нулевой,3) (⃗, ⃗⃗) < 0 ⇔ — тупой или развёрнутый.Докажите самостоятельно.Свойства скалярного произведения. Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и для любоговещественного числа 1) (⃗, ⃗⃗) = (⃗⃗, ⃗) (доказывается по определению скалярного произведения),2) (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗) = (⃗, ⃗⃗) (доказывается через свойство 2° проекции вектора наось),13) (⃗ + ⃗⃗, ⃗) = (⃗, ⃗) + (⃗⃗, ⃗),(доказываетсячерез(⃗, ⃗⃗ + ⃗) = (⃗, ⃗⃗) + (⃗, ⃗)свойство 1° проекции вектора на ось),4) (⃗, ⃗) > 0, если ⃗ ≠ ⃗0⃗; (⃗, ⃗) = 0, если ⃗ = ⃗0⃗ (доказывается по определениюскалярного произведения).Теорема 4.2.

Если в декартовой системе координат в пространстве ⃗ = 1 ⃗ + 1 ⃗ +⃗⃗ , ⃗⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗ + 2 ⃗⃗, то (⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 + 1 2 . Если в декартовой системе1 координат на плоскости ⃗ = 1 ⃗ + 1 ⃗, ⃗⃗ = 2 ⃗ + 2 ⃗, то (⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 .Докажите самостоятельно, используя разложение векторов по базису и свойстваскалярного произведения.Векторное произведение⃗⃗⃗⃗Определение. Упорядоченная тройка некомпланарныхвекторов называется правой (левой) тройкой векторов в томслучае, если, отложив векторы от общего начала и глядя изконца третьего вектора, мы будем наблюдать кратчайшийповорот от первого вектора ко второму совершающимсяпротив часовой стрелки (по часовой стрелке).На рисунке изображены правые тройки векторов: ⃗, ⃗⃗, ⃗; ⃗⃗, ⃗, ⃗; ⃗, ⃗, ⃗⃗; левые тройкивекторов: ⃗⃗, ⃗, ⃗; ⃗, ⃗, ⃗⃗; ⃗, ⃗⃗, ⃗.Определение.

Пусть векторы ⃗ и ⃗⃗ ненулевые. Векторным произведением вектора ⃗на вектор ⃗⃗ называется вектор ⃗, удовлетворяющий условиям:1) |⃗| = |⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ sin , где — угол между векторами ⃗ и ⃗⃗,2) ⃗ ⊥ ⃗, ⃗ ⊥ ⃗⃗,3) ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка векторов.Обозначение: ⃗ = [⃗, ⃗⃗].⃗⃗.Если же хотя бы один из векторов ⃗, ⃗⃗ нулевой, то [⃗, ⃗⃗] ≝ 0Теорема 4.3. ⃗ ∥ ⃗⃗ ⇔ [⃗, ⃗⃗] = ⃗0⃗.Докажите самостоятельно.Теорема 4.4. Если ⃗ ∦ ⃗⃗, то длина векторного произведения |[⃗, ⃗⃗]| равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах ⃗ и ⃗⃗.2⃗⃗⃗Доказательство. Если ⃗ ∦ ⃗⃗, то векторы ⃗ и ⃗⃗ ненулевые. Тогда по определениювекторного произведения |[⃗, ⃗⃗]| = |⃗| ⋅ |⃗⃗| ⋅ sin , а это и есть площадьпараллелограмма.Свойства векторного произведения.

Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ и любоговещественного числа 1) [⃗, ⃗⃗] = −[⃗⃗, ⃗] (следует из определения векторного произведения),2) [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗⃗] (следует из определения векторного произведения),3) [⃗ + ⃗⃗, ⃗] = [⃗, ⃗] + [⃗⃗, ⃗], [⃗, ⃗⃗ + ⃗] = [⃗, ⃗] + [⃗, ⃗⃗] (следует из теоремы 4.6,которая приведена ниже; доказательство см.

в книге Ильина, Позняка«Аналитическая геометрия»),4) [⃗, ⃗] = ⃗0⃗ (следует из определения векторного произведения).Определение. Аффинная или декартова система координат в пространственазывается правой (левой), если её базис является правой (левой) тройкой векторов.Теорема 4.5. Если векторы ⃗ и ⃗⃗ имеют координаты ⃗ = {1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 } вправой декартовой системе координат в пространстве, то⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =[⃗, ⃗⃗] = |1 1 1 | = (1 2 − 2 1 )⃗ + (2 1 − 1 2 )⃗ + (1 2 − 2 1 )2 2 2= {1 2 − 2 1 , 2 1 − 1 2 , 1 2 − 2 1 }.⃗⃗ и свойстваДокажите самостоятельно, используя разложение векторов по базису ⃗, ⃗, векторного произведения.Следствие (необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов).Пусть ⃗ = {1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 }.

Векторы ⃗ и ⃗⃗ коллинеарны тогда и только тогда,когда12=12=12.Примечание. В знаменателях допускаются нули; в этом случае равенства нужноперемножить «крест-накрест», как пропорции.Доказательство. Это следует из теорем 4.3 и 4.5.3Смешанное произведениеОпределение. Смешанным произведением (⃗, ⃗⃗, ⃗) трёх векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ называетсячисло, равное ([⃗, ⃗⃗], ⃗) (скалярному произведению вектора [⃗, ⃗⃗] и вектора ⃗).Теорема 4.6. Смешанное произведение (⃗, ⃗⃗, ⃗) равно объёму параллелепипеда,построенного на векторах ⃗, ⃗⃗, ⃗, отложенных от общего начала, взятому сознаком «+», если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка, или со знаком «–», если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.Если векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны, то (⃗, ⃗⃗, ⃗) = 0:если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,(⃗, ⃗⃗, ⃗) = {−, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.0, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны.,⃗ = [⃗, ⃗⃗]⃗ℎ⃗⃗⃗Доказательство.

Пусть векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ некомпланарны. Рассмотрим(⃗, ⃗⃗, ⃗) = ([⃗, ⃗⃗], ⃗).Векторное произведение ⃗ = [⃗, ⃗⃗] представляет собой вектор, длина которогоравна — площади параллелограмма, построенного на векторах ⃗ и ⃗⃗ (потеореме 4.4), а направлен он перпендикулярно векторам ⃗ и ⃗⃗, т.е. перпендикулярноплоскости этого параллелограмма.

Тогда([⃗, ⃗⃗], ⃗) = |⃗| ⋅ Пр ⃗ = ⋅ Пр ⃗.С другой стороны,ℎ, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,Пр ⃗ = {−ℎ, если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка,где ℎ — высота параллелепипеда, построенного на векторах ⃗, ⃗⃗, ⃗.Тогда4ℎ,([⃗, ⃗⃗], ⃗) = {−ℎ,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка,т.е.,(⃗, ⃗⃗, ⃗) = {−,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — правая тройка,если ⃗, ⃗⃗, ⃗ — левая тройка.Если же векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарны, то [⃗, ⃗⃗] ⊥ ⃗, поэтому ([⃗, ⃗⃗], ⃗) = 0.

Теоремадоказана.Следствие 1. Справедливо равенство (⃗, ⃗⃗, ⃗) = (⃗⃗, ⃗, ⃗) = (⃗, ⃗, ⃗⃗).Доказательство. Это следует из того, что параллелепипеды, построенные навекторах ⃗, ⃗⃗, ⃗, на векторах ⃗⃗, ⃗, ⃗ и на векторах ⃗, ⃗, ⃗⃗, равны, и все эти тройкивекторов либо правые, либо левые, либо компланарные одновременно.Следствие 2.

Справедливо равенство ([⃗, ⃗⃗], ⃗) = (⃗, [⃗⃗, ⃗]).Докажите самостоятельно (аналогично следствию 1).Следствие 3. Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторовявляется равенство нулю их смешанного произведения.Докажите самостоятельно.Теорема 4.7. Если в правой декартовой системе координат в пространстве ⃗ ={1 , 1 , 1 }, ⃗⃗ = {2 , 2 , 2 }, ⃗ = {3 , 3 , 3 }, то1(⃗, ⃗⃗, ⃗) = |2312312 |.3Докажите самостоятельно, используя теоремы 4.5 и 4.2.Двойное векторное произведениеОпределение.

Двойным векторным произведением трёх векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ называетсявектор [⃗, [⃗⃗, ⃗]].Теорема 4.8. Для любых векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗ справедлива формула[⃗, [⃗⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) («абц равно бац минус цаб»).Доказательство. Введём правую декартову систему координат в пространстве так,чтобы вектор ⃗ лежал на оси , а вектор ⃗⃗ — в плоскости :5⃗ = {0, 0, 3 }⃗⃗ = {0, 2 , 2 }⃗⃗⃗⃗⃗ = {1 , 1 , 1 }Тогда⃗⃗2 | = {2 3 , 0, 0},3⃗ ⃗⃗⃗[, ⃗] = |0 20 0⃗⃗⃗[⃗, [, ⃗]] = | 12 3⃗10⃗⃗1 | = {0, 2 1 3 , −1 2 3 }.0С другой стороны,(⃗, ⃗) = 1 3 ,⃗⃗(⃗, ⃗) = {0, 2 1 3 , 1 2 3 },(⃗, ⃗⃗) = 1 2 + 1 2 ,⃗(⃗, ⃗⃗) = {0, 0, 1 2 3 + 1 2 3 },⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) = {0, 2 1 3 , −1 2 3 },и мы убеждаемся, что [⃗, [⃗⃗, ⃗]] = ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗). Теорема доказана.Преобразование декартовых координат на плоскости′′⃗′⃗′′ (, )⃗⃗Рассмотрим на плоскости две декартовых системы координат:1) старая система координат — начало отсчёта , базис ⃗, ⃗, координатные оси и;62) новая система координат — начало отсчёта ′ , базис ⃗′ , ⃗′ , координатные оси ′и ′ .Определение.

Декартова или аффинная система координат на плоскости называетсяправой (левой), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второмуосуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).Пусть и старая, и новая система координат — правые. Тогда новая система координатполучается из старой поворотом базисных векторов на некоторый угол противчасовой стрелки и сдвигом начала отсчёта в точку ′ .Пусть точка ′ имеет координаты (, ) в старой системе координат.

Тогда ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = ⃗ +⃗.Рассмотрим произвольную точку на плоскости. Пусть она имеет координаты (, )в старой системе координат и координаты ( ′ , ′ ) в новой системе координат. Тогда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = ′ ⃗′ + ′ ⃗′ .Разложим векторы ⃗′ , ⃗′ по старому базису:⃗′ = 11 ⃗ + 12 ⃗, ⃗′ = 21 ⃗ + 22 ⃗.⍟⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Заметим, что ′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ . Подставив сюда выражения для ′ , ⃗′ , ⃗′ , получим⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ′ (11 ⃗ + 12 ⃗) + ′ (21 ⃗ + 22 ⃗),откуда⃗ + ⃗ = ( + 11 ′ + 21 ′ )⃗ + ( + 12 ′ + 22 ′ )⃗.Тогда в силу единственности разложения вектора по базису ⃗, ⃗ справедливыравенства = + 11 ′ + 21 ′ , = + 12 ′ + 22 ′ ,связывающие старые координаты точки с её новыми координатами.Выразим коэффициенты 11 , 21 , 12 , 22 через угол поворота координатных осей .Из ⍟, с учётом того, что (⃗, ⃗) = (⃗, ⃗) = 1, (⃗, ⃗) = 0, получим( ⃗′ , ⃗) = 11 ,( ⃗′ , ⃗) = 12 ,( ⃗′ , ⃗) = 21 ,( ⃗′ , ⃗) = 22 .С другой стороны,( ⃗′ , ⃗) = cos ,( ⃗′ , ⃗) = cos ( − ) ,2( ⃗′ , ⃗) = cos ( + ) ,2( ⃗′ , ⃗) = cos ,откуда711 = cos ,12 = sin ,21 = − sin ,22 = cos .Тогда формулы преобразования координат принимают вид = + ′ cos − ′ sin , = + ′ sin + ′ cos .8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций