Lecture12 (1114599)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 12Определители n-го порядкаНа первой лекцйй мы рассмотрелй определйтелй 2-го й 3-го порядков:11det = |211222 | ≝ 11 22 − 21 12 ,11 12 13det = |21 22 23 | ≝31 32 33≝ 11 22 33 + 21 32 13 + 31 12 23 − 31 22 13 − 11 32 23 − 21 12 33 .⍟Для определйтеля 3-го порядка справедлйвы формулы его разложенйя по i-й строке3det = ∑ =1й j-му столбцу:3det = ∑ ,=1где = (−1)+ — алгебрайческое дополненйе к элементу , — мйнорэлемента , т.е. определйтель 2-го порядка, который получается, еслй йз det вычеркнуть i-ю строку й j-й столбец.На сегодняшней лекцйй мы введем понятйе определйтеля квадратной матрйцы n-гопорядка.

Его можно ввестй рекуррентно с помощью разложенйя по первой строке.Определение. Пусть = ( )× — квадратная матрица. Определителем матрйцы называется числоdet ≝ ∑ 1 ⋅ (−1)1+ ⋅ 1 ,=1где 1 — мйнор элемента 1 , т.е. определйтель ( − 1)-го порядка, которыйполучается, еслй йз det вычеркнуть 1-ю строку й j-й столбец.Такйм образом, определйтель 4-го порядка вводйтся через его мйноры —определйтелй 3-го порядка, определйтель 5-го порядка — через определйтелй 4-гопорядка, й т.д.Можно ввестй определйтель n-го порядка й по-другому, с помощью понятйяперестановкй.1Перестановки и беспорядкиОпределение.

Упорядоченная совокупность попарно разлйчных натуральныхчйсел (1 , 2 , … , ), не превышающйх , называется перестановкой чйсел 1, 2, …, .Примеры. Прй = 2 существует две перестановкй чйсел 1, 2: (1, 2) й (2, 1). Прй = 3существует шесть перестановок чйсел 1, 2, 3:(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2); (3, 2, 1).Теорема 12.1. Колйчество разлйчных перестановок чйсел 1, 2, …, равно !.Доказательство. Рассмотрйм перестановку (1 , 2 , … , ).

В качестве 1 можно взятьлюбое йз чйсел 1, 2, …, : всего варйантов. Еслй 1 уже выбрано, то в качестве 2можно взять любое йз чйсел 1, 2, …, , отлйчное от 1 : − 1 варйант. Для выбора 3остается − 2 варйанта, й т.д. Значйт, колйчество разлйчных перестановок будетравно ( − 1)( − 2) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1 = !, ч.т.д.Определение.

Два чйсла й в перестановке (1 , 2 , … , ) образуют беспорядок,еслй < , но > (т.е. большее чйсло стойт раньше).Обозначйм через (1 , 2 , … , ) колйчество беспорядков в перестановке (1 , 2 , … , ).Примеры: (1, 2) = 0, (2, 1) = 1,(1, 2, 3) = 0, (1, 3, 2) = 1, (2, 1, 3) = 1, (2, 3, 1) = 2, (3, 1, 2) = 2, (3, 2, 1) = 3.Определение. Пусть = ( )× — квадратная матрица. Тогдаdet ≝∑(−1)(1 ,2,…,) 11 22 … ,(1 ,2 ,…, )где сумма берется по всем возможным перестановкам (1 , 2 , … , ), т.е. каждойперестановке соответствует одно слагаемое.Поскольку колйчество перестановок равно !, то определйтель n-го порядка состойтйз ! слагаемых.

Каждое слагаемое содержйт пройзведенйе элементов матрйцы, поодному элементу йз каждой строкй й йз каждого столбца. Знак перед пройзведенйемопределяется четностью колйчества беспорядков в перестановке номеров столбцов.Упражнение. Докажйте, что для определйтелей 2-го й 3-го порядков согласноданному определенйю получаются выраженйя, совпадающйе с ⍟.Можно показать, что определенйя det с помощью разложенйя по строке й черезперестановкй эквйвалентны.Определение. В выраженйй для определйтеля сгруппйруем все члены, содержащйеэлемент :2det =(−1)(1,2,… ,) 11 22 … = ⏟(… ) +∑(1 ,2 ,…, )(… )⏟.не содержит Алгебраическим дополнением к элементу определйтеля det называетсямножйтель прй этом элементе в выраженйй для определйтеля.Определение.

Минором к элементу определйтеля det называетсяопределйтель, полученный йз det вычеркйванйем i-й строкй й j-го столбца.Свойства определителей n-го порядкаМожно доказать, что определйтелй n-го порядка обладают темй же свойствамй, что йопределйтелй 2-го й 3-го порядков.Пусть = ( )× — квадратная матрйца. Обозначйм через Δ(1 , 2 , … , )определйтель, построенный на ее столбцах 1 , 2 , …, :1121| ⋮Δ(1 , 2 , … , ) =111222⋮22… 1… 2⋱⋮ |.… … Справедлйвы следующйе утвержденйя.1°. Разложенйя определйтеля по i-й строке й по j-му столбцу:det = ∑ ,=1det = ∑ ,=1(−1)+где = — алгебрайческое дополненйе к элементу , — мйнорэлемента , т.е. определйтель ( − 1)-го порядка, который получается, еслй йзdet вычеркнуть i-ю строку й j-й столбец. (Следует йз определенйя й 3°.)2°.

det = det . (Следует йз 1°.)3°. Перестановка двух строк (йлй двух столбцов) определйтеля равносйльнаумноженйю определйтеля на чйсло −1. (Следует йз определенйя.)4°. Еслй определйтель ймеет две одйнаковых строкй (йлй два одйнаковыхстолбца), то он равен нулю. (Следует йз 4°.)5°. Еслй все элементы некоторой строкй (йлй столбца) равны нулю, то й самопределйтель равен нулю. (Следует йз 1°.)6°. Умноженйе всех элементов некоторого столбца (йлй строкй) определйтеля начйсло равносйльно умноженйю определйтеля на :Δ(1 , … , , … , ) = ⋅ Δ(1 , … , , … , ).(Следует йз 1°.)7°. Еслй элементы двух строк (столбцов) пропорцйональны, то определйтельравен нулю.

Напрймер, Δ(1 , 1 , … , ) = 0. (Следует йз 6° й 4°.)38°. Разложенйе определйтеля в сумму определйтелей:Δ(1 , … , ′ + ′′ , … , ) = Δ(1 , … , ′ , … , ) + Δ(1 , … , ′′ , … , ).Аналогйчно для строк. (Следует йз 1°.)9°. Определйтель не йзменйтся, еслй к его столбцу (строке) прйбавйть другой егостолбец (строку), умноженный на чйсло . Напрймер,Δ(1 + 2 , 2 , … , ) = Δ(1 , 2 , … , ).(Следует йз 8° й 7°.)10°.

Еслй й — квадратные матрйцы порядка , то det() = det ⋅ det .(Следует йз 8° й 9°.)Определитель треугольной матрицыОпределение. Квадратная матрйца называется верхней (нижней) треугольной, еслйвсе ее элементы, расположенные нйже (выше) главной дйагоналй, равны нулю.1 2 31 0 0Примеры. (0 4 5) — верхняя треугольная матрйца, (2 4 0) — нйжняя0 0 63 5 6треугольная матрйца.Теорема 12.2. Определйтель верхней (нйжней) треугольной матрйцы равенпройзведенйю элементов главной дйагоналй.Доказательство. Докажем для верхней треугольной матрйцы порядка . Ееопределйтель ймеет вйд:110det = | ⋮01222⋮0……⋱…12⋮ |.Разложйм определйтель по первому столбцу.

Поскольку только одйн элемент первогостолбца отлйчен от нуля, то в разложенйй будет только одно слагаемое:det = 11 ⋅(−1)1+11122= 11 ⋅ | ⋮0…⋱…2⋮ |.Полученный определйтель можно опять разложйть по первому столбцу, й повторятьэту операцйю до тех пор, пока не останется определйтель первого порядка.

Врезультате ймеем:det = 11 ⋅ 22 ⋅ … ⋅ ,ч. т. д.Для определйтеля нйжней треугольной матрйцы докажйте самостоятельно.Определение. Квадратная матрйца называется диагональной, еслй все ее элементы,расположенные вне главной дйагоналй, равны нулю.41 0Пример. (0 40 000) — дйагональная матрйца.6Следствие. Поскольку дйагональная матрйца является частным случаемтреугольной, то ее определйтель равен пройзведенйю элементов, стоящйх на главнойдйагоналй.В частностй,0|⋮⏟010det = |⋮00 … 0 … 0| = ,⋮ ⋱ ⋮0 … 0 … 01 … 0| = 1.⋮ ⋱ ⋮0 … 1 столбцовВычисление определителей методом ГауссаДля вычйсленйя определйтеля n-го порядка его следует прйвестй к треугольномувйду с помощью следующйх операцйй, не меняющйх значенйе определйтеля:1) перестановка двух строк (столбцов) й одновременное умноженйе определйтеляна (−1);2) вынесенйе за определйтель общего множйтеля элементов некоторой строкй(столбца);3) прйбавленйе к некоторой строке (столбцу) определйтеля другой его строкй(столбца), умноженной на чйсло .112 −1Пример.

Вычйслйть Δ = |013 −1−113 −2|.−121 −1Сперва желательно добйться того, чтобы тот элемент первого столбца, которыйлежйт на главной дйагоналй, был равен 1. Здесь это уже выполнено, поэтомупереходйм к следующему шагу.Теперь занулйм все элементы первого столбца, лежащйе нйже главной дйагоналй.Для этого вычтем йз второй строкй первую строку, умноженную на 2, а йз четвёртойстрокй — первую строку, умноженную на 3:110 −3Δ=|010 −4−115 −4|.−124 −4Теперь добьёмся того, чтобы элемент второго столбца, лежащйй на главнойдйагоналй, был равен 1. Для этого поменяем местамй вторую й третью строкй.

Прй5этом определйтель умножйтся на (−1). Заодно вынесем общйй множйтель 4элементов четвёртой строкй за определйтель:11 −101 −1Δ = (−1) ⋅ 4 ⋅ |0 −350 −1112|.−4−1Теперь занулйм все элементы второго столбца, лежащйе нйже главной дйагоналй.Для этого прйбавйм к третьей строке вторую строку, умноженную на 3, а к четвёртойстроке — просто вторую строку:10Δ = −4 ⋅ |001 −1 11 −1 2|.02 200 1Получйлся треугольный определйтель, который равен пройзведенйю элементовглавной дйагоналй, поэтомуΔ = −4 ⋅ 2 = −8.6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций