Lecture06 (1114593)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 6Прямая на плоскостиУравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданныйвектор нормали(, ) = {, }⃗ = {, }0 (0 , 0 ) = {, }0 = {0 , 0 }На плоскости, где введенадекартова система координат,рассмотрим прямую . Пустьпрямая проходит через точку0 (0 , 0 ).Определение. Любой ненулевойвектор,перпендикулярныйпрямой , называется векторомнормали к прямой .⃗ = {, } являетсяПусть вектор вектором нормали к прямой .Произвольная точка плоскости(, ) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗0 ⊥ , т.е. (0 , ) = 0.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Выразим скалярное произведение через координаты векторов 0 = { − 0 , − 0 }⃗ = {, }:и( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.Это уравнение прямой , проходящей через заданную точку 0 (0 , 0 ) и имеющей⃗ = {, }.

Декартовы координаты любой точки прямой заданный вектор нормали удовлетворяют данному уравнению и наоборот, всякая точка плоскости, декартовыкоординаты которой удовлетворяют данному уравнению, лежит на прямой .Общее уравнение прямойЕсли мы раскроем скобки в полученном выше уравнении прямой и обозначим −0 −0 через , то получим общее уравнение прямой : + + = 0.(1)Теорема 6.1.

Любая прямая на плоскости задаётся уравнением вида (1) в декартовойсистеме координат. Любое уравнение вида (1), где , , ∈ ℝ, || + || ≠ 0, задаёт вдекартовой системе координат на плоскости некоторую прямую.Доказательство. То, что любая прямая задаётся уравнением вида (1), уже доказановыше. Теперь докажем, что любое уравнение вида (1), где , , ∈ ℝ, || + || ≠ 0,1задаёт некоторую прямую на плоскости.

Поскольку среди коэффициентов и хотябы один отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение (0 , 0 )1:0 + 0 + = 0.Выразив отсюда и подставив в (1), запишем уравнение (1) в эквивалентном виде:( − 0 ) + ( − 0 ) = 0.(2)Проведём через точку 0 (0 , 0 ) на плоскости прямую , перпендикулярную вектору⃗ = {, }.

Как доказано выше, она задаётся уравнением (2). Теорема доказана.Замечание. Если умножить уравнение (1) на некоторое ненулевое число , тополучим эквивалентное уравнение, но с другими коэффициентами. Поэтому одна и таже прямая на плоскости может задаваться различными уравнениями вида (1).Уравнение прямой в отрезкахЕсли , , ≠ 0, то из общего уравнения прямой можно получить уравнение прямой вотрезках: + = 1, где = − , = − — отрезки, которые прямая отсекает на координатных осях.Уравнение прямой с угловым коэффициентомЕсли ≠ 0, то из общего уравнения прямой можно получить уравнение прямой сугловым коэффициентом: = + ,где коэффициент = − = −называется угловым коэффициентом.

Он равентангенсу угла наклона прямой к оси : = tg .Уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку 0 (0 , 0 ): = ( − 0 ) + 0 .Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых = 1 + 1 и =2 + 2 :1 2 = −1.В самом деле, если ≠ 0, то = − , = 0 является одним из решений уравнения (1); если ≠ 0, то = 0, = − являетсяодним из решений уравнения (1).12Параметрические уравнения прямойОпределение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой , называется еёнаправляющим вектором.Пусть = {, } — направляющий вектор прямой . Произвольная точка ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗принадлежит прямой тогда и только тогда, когда 0 ∥ .

По следствию из⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗теоремы 2.3 это эквивалентно тому, что ∃ ∈ ℝ: 0 = . Поскольку 0 = − 0 ,где — радиус-вектор точки , 0 — радиус-вектор точки 0 , то получаемпараметрическое уравнение прямой в векторном виде: = 0 + .Каждой точке прямой соответствует некоторое значение параметра и наоборот,каждому значению ∈ (−∞, +∞) соответствует некоторая точка прямой , причёмразличным значениям параметра соответствуют различные точки прямой .Если ∈ [, +∞), получим полупрямую; если ∈ [, ] — отрезок прямой .Параметрическому уравнению прямой можно дать механическую интерпретацию.Если — это время, то данное уравнение описывает закон движения материальнойточки с постоянной скоростью . Такая точка будет двигаться прямолинейно.Запишем параметрические уравнения прямой на плоскости в координатной форме: = + ,{ = 0 + .0Каноническое уравнение прямойИсключив из параметрических уравнений прямой параметр , получим − 0 − 0=.Это каноническое уравнение прямой .

В знаменателях допускаются нули; в этом случаесоотношение нужно перемножить «крест-накрест», как пропорцию.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки1 (1 , 1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 22 (2 , 2 )Если заданы две различные точки 1 (1 , 1 ) и2 (2 , 2 ), принадлежащие прямой , то вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 ={2 − 1 , 2 − 1 } будет являться направляющимвектором прямой . В качестве опорной точки можновзять любую из точек 1 , 2 ; например, 1 . Тогдаканоническое уравнение прямой примет вид: − 1 − 1=.2 − 1 2 − 13Это уравнение прямой , проходящей через две заданные точки на плоскости.Расстояние от точки до прямой: + + = 0⃗ = {, }0 (0 , 0 )1 (1 , 1 )Пусть дана прямая , заданная общимуравнением + + = 0.⃗ = {, } является её нормальнымВектор вектором.Пусть дана точка 1 (1 , 1 ) на плоскости.Требуется найти расстояние (1 , ) от точки 1до прямой .Пусть 0 (0 , 0 ) — некоторая точка, лежащая напрямой .Расстояние от точки 1 до прямой равно модулю проекции вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 на ось,⃗:образованную вектором (1 , ) = |Пр ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 1 | =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|(0 1 , )|.⃗||С другой стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 1 , ) = (1 − 0 ) + (1 − 0 ) = 1 + 1 − (0 + 0 ).Поскольку точка 0 (0 , 0 ) лежит на прямой , то её координаты удовлетворяютуравнению прямой :0 + 0 + = 0,откуда −(0 + 0 ) = , и тогда⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 1 , ) = 1 + 1 + .Подставив полученное значение скалярного произведения в выражение для (1 , ),окончательно получим(1 , ) =|1 + 1 + |√2 + 2.4Угол между прямыми1⃗22⃗11⃗1−2⃗2Определение.

Если прямые 1и2параллельныилисовпадают, то угол междуними равен нулю.Пусть теперь прямые 1 и 2пересекаются в однои точке.Углом между прямыми 1 и 2называется тот из углов,образованныхэтимипрямыми, которыи лежит впределах от 0 до .2Если векторы нормалеи кпрямым 1 и 2 составляютострыи или прямои угол, тоэтот угол равен углу междупрямыми. Если же векторынормалеи составляют тупоиугол, то он равен − . Такимобразом, либо⃗ 1, ⃗ 2 ) = |⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos ,(либо⃗ 1, ⃗ 2) =(⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos( − ) == |⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2 | ⋅ cos ,= −|откуда⃗ 1, ⃗ 2 )||( = arccos.⃗ 1 | ⋅ |⃗ 2||Аналогичноуголмеждупрямыми 1 и 2 выражаетсячерезуголмеждуихнаправляющими векторами:|(1 , 2 )| = arccos.|1 | ⋅ |2 |5Расположение точек относительно прямой + + > 0(, )⃗ = {, }0 (0 , 0 ) + + < 0(, )Теорема 6.2.

Прямая + + = 0делит плоскость на две полуплоскости,в однои из которых + + > 0, а вдругои — + + < 0.Доказательство. Рассмотрим прямую ,заданную уравнением + + = 0.⃗ = {, } является векторомВектор нормали к прямои . Пусть 0 (0 , 0 ) —произвольная точка, принадлежащая .Рассмотримпроизвольнуюточкуплоскости (, ).Прямая делит плоскость на двеполуплоскости.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Если точка лежит в однои полуплоскости, то вектор 0 образует острыи или⃗ , если точка лежит в другои полуплоскости — тупои илинулевои угол с вектором развернутыи угол. По теореме 4.1, в однои полуплоскости выполнятся неравенство⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(0 , ) > 0, а в другои полуплоскости выполняется неравенство (0 , ) < 0.С другои стороны,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 , ) = ( − 0 ) + ( − 0 ) = + − (0 + 0 ).Поскольку точка 0 принадлежит прямои , то 0 + 0 + = 0, поэтому⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0 , ) = + + .Тогда в однои полуплоскости + + > 0, а в другои полуплоскости — + + < 0, ч.т.д.Следствие.

Точки 1 (1 , 1 ) и 2 (2 , 2 ) лежат по одну сторону от прямои + + = 0, если знаки величин 1 + 1 + и 2 + 2 + одинаковы, и по разныестороны от прямои, если знаки этих величин противоположны.6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций