Lecture02 (1114589)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2Применение определителей 2-го порядка: формулы КрамераРассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: + 12 = 1 ,{ 1121 + 22 = 2 ,(1)где 11 , 12 , 21 , 22 , 1 , 2 — известные числа, , — неизвестные.Введём обозначения:11Δ = |211222 | ,Δ = |1212|,22Δ = |11211|.2Теорема 2.1 (о формулах Крамера для системы из двух уравнений).

Если Δ ≠ 0, тосистема (1) имеет единственное решение, причём это решение выражаетсяформулами Крамера=Δ,Δ=Δ.ΔДоказательство.1. Предположим, что система уравнений (1) имеет решение. Докажем, что при Δ ≠ 0это решение выражается формулами Крамера. Для этого воспользуемся методомисключения неизвестных. Умножим первое уравнение на 22 , второе — на 12 ивычтем из первого уравнения второе.

Тогда переменная сократится, и мы получим(11 22 − 12 21 ) = 1 22 − 2 12 .Аналогично, умножив первое уравнение на 21 , второе — на 11 и вычтя из второгопервое, исключим переменную :(11 22 − 12 21 ) = 11 2 − 21 1 .Полученные равенства можно записать в видеΔ ⋅ = Δ ,Δ ⋅ = Δ .Если Δ ≠ 0, то можно поделить на Δ, и получим формулы Крамера:=Δ,Δ=Δ.ΔИтак, мы доказали, что если Δ ≠ 0 и решение системы (1) существует, то оновыражается формулами Крамера. Из этого следует, что при Δ ≠ 0 система (1) не можетиметь более одного решения.12.

Докажем, что , , полученные по формулам Крамера при Δ ≠ 0, действительноявляются решением системы (1). Для этого достаточно подставить выражениядля , в систему (1) и убедиться, что оба её уравнения обращаются в тождества(сделайте это самостоятельно). Таким образом доказывается существованиерешения. Теорема доказана.В случае Δ = 0 формулы Крамера неприменимы. В этом случае система может неиметь решений (если Δ ≠ 0 или Δ ≠ 0), либо иметь бесконечно много решений (еслиΔ = Δ = 0).Применение определителей 3-го порядка: формулы КрамераРассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными11 + 12 + 13 = 1 ,{21 + 22 + 23 = 2 ,31 + 32 + 33 = 3 .(2)Введём обозначения:11 12 13Δ = |21 22 23 | ,31 32 3311 12 1Δ = |21 22 2 |.31 32 31Δ = |231222321323 | ,3311Δ = |21311231323 | ,33Теорема 2.2 (о формулах Крамера для системы из трёх уравнений).

Если Δ ≠ 0, тосистема (2) имеет единственное решение, причём это решение выражаетсяформулами Крамера=Δ,Δ=Δ,Δ=Δ.ΔДоказательство.1. Предположим, что система (2) имеет решение. Докажем, что при Δ ≠ 0 это решениевыражается формулами Крамера. Для доказательства формулы =ΔΔрассмотримопределитель1Δ = |2311 = |21 31 12223212223213 (из системы (2)) 11 + 12 + 13 23 |=|21 + 22 + 23 31 + 32 + 33 331311(св−во 4°)23 |=|21333112223212223213 (св−во 8°)23 |=331323 | ⋅ = Δ ⋅ ,332откуда при Δ ≠ 0 получаем =ΔΔ. Две другие формулы Крамера доказываютсяаналогично.2. Докажем, что если Δ ≠ 0, то , , , задаваемые формулами Крамера, являютсярешением системы (2). Для этого достаточно подставить выражения для , , всистему (2) и убедиться, что все уравнения системы обращаются в тождества.Сделайте это самостоятельно. На этом заканчивается доказательство теоремы.ВекторыОпределения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е.отрезок, у которого указаны начало и конец.

— конец вектора — начало вектораОбозначение вектора: ⃗⃗⃗⃗⃗, .Длиной вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ называется длина отрезка .⃗⃗⃗⃗⃗ |, ||.Обозначение длины вектора: |⃗ ), если его начало и конец Вектор называется нулевым (обозначается 0совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление не определено. Векторы называются коллинеарными (это обозначается ∥ ⃗), если они лежатлибо на одной прямой, либо на параллельных прямых.Замечание.

Согласно этому определению нулевой вектор коллинеарен любомувектору. Векторы называются равными (это обозначается = ⃗), если они коллинеарны,имеют одинаковую длину и одинаковое направление. = ⃗⃗⃗ ≠ ⃗Примечание. Все нулевые векторы считаются равными.Замечание. От любой точки можно отложить единственный вектор ⃗⃗⃗⃗⃗, равныйданному вектору (докажите это). Поэтому мы будем считать равные векторы,отложенные от разных точек, одним и тем же вектором (отождествлять их).3Простейшие операции над векторами1. Сложение векторов.Определение 1 (правило треугольника). Отложим вектор ⃗ от конца вектора .Тогда суммой векторов и ⃗ называется вектор , начало которого совпадает сначалом вектора , а конец — с концом вектора ⃗.

Обозначение: = + ⃗.⃗ = + ⃗Определение 2 (правило параллелограмма). Пусть ∦ ⃗. Отложим векторы и ⃗ от общего начала. Суммой векторов и ⃗ называется вектор , началокоторого совпадает с общим началом векторов и ⃗, а конец — спротивоположной вершиной параллелограмма, построенного на векторах и ⃗.Обозначение: = + ⃗.⃗Замечание. Если ∥ ⃗, то на векторах и ⃗ нельзя построить параллелограмм,и тогда сумма векторов и ⃗ определяется только по правилу треугольника.Упражнение.

Докажите самостоятельно (геометрически), что при ∦ ⃗векторы + ⃗, полученные по правилу треугольника и по правилупараллелограмма, будут равными.Свойства сложения векторов (докажите самостоятельно (геометрически),исходя из определения суммы векторов): для любых векторов , ⃗, 1°) + ⃗ = ⃗ + (переместительное свойство),2°) ( + ⃗) + = + (⃗ + ) (сочетательное свойство),⃗ = , где 0⃗ — нулевой вектор, — произвольный вектор (свойство3°) + 0нулевого вектора),4°) для каждого вектора существует вектор ′ такой, что + ′ = ⃗0(вектор ′ называется вектором, противоположным вектору ).(Соответствующие доказательства«Аналитическая геометрия».)естьвкнигеИльина,Позняка42.

Вычитание векторов.Определение. Разностью векторов и ⃗ называется такой вектор , который всумме с вектором ⃗ даёт вектор : ⃗ + = . Обозначение: = − ⃗. = − ⃗⃗3. Умножение вектора на число.Определение. Произведением вектора на вещественное число называетсявектор ⃗, который1) коллинеарен вектору ,2) имеет длину || ⋅ ||,3) имеет направление, совпадающее с направлением вектора , если > 0, ипротивоположное направлению вектора , если < 0. (Если же = 0, то⃗ — нулевой вектор, направление которого не определено.)Обозначение: ⃗ = .>0<0Свойства операции умножения вектора на число (докажите самостоятельно(геометрически), исходя из определения суммы векторов и произведениявектора на число): для любых векторов , ⃗ и для любых вещественных чисел , 1°) ( + ⃗) = + ⃗ (распределительное свойство относительно сложениявекторов),2°) ( + ) = + (распределительное свойство относительно сложениячисел),3°) () = () (сочетательное свойство),4°) 1 ⋅ = ,5°) 0 ⋅ = ⃗0,6°) ⋅ ⃗0 = ⃗0.Перечисленные свойства сложения векторов и умножения вектора на числопозволяют производить арифметические операции с векторами по правиламобычной алгебры вещественных чисел.5Упражнение.

Докажите самостоятельно (исходя из перечисленных свойств), что1) + (−1) ⋅ = ⃗0, т.е. вектор, противоположный вектору , равен (−1) ⋅ ;2) + (−1) ⋅ ⃗ = − ⃗.Теорема 2.3. Если вектор ⃗ коллинеарен ненулевому вектору , то существуетвещественное число такое, что ⃗ = .⃗ , то равенство ⃗ = выполняется при = 0.Доказательство.

Если ⃗ = 0⃗ . Отложим векторы и ⃗ от общего начала — точки . ПосколькуПусть теперь ⃗ ≠ 0векторы коллинеарны, то они будут лежать на единой прямой . При этом возможнодва случая: направления и ⃗ совпадают или противоположны.⃗⃗⃗||Рассмотрим первый случай, когда векторы и ⃗ направлены одинаково.

Пусть = |⃗|(поскольку — ненулевой вектор, то знаменатель не равен нулю, и такое число существует). Рассмотрим вектор . Докажем, что он равен ⃗. В самом деле, согласноопределению умножения вектора на число, имеем:1) вектор коллинеарен вектору , а следовательно, и вектору ⃗,⃗||2) вектор имеет длину || ⋅ || = |⃗| ⋅ || = |⃗|, т.е. длины вектора и вектора ⃗одинаковы,3) поскольку > 0, то направление вектора совпадает с направлениемвектора , а значит, и вектора ⃗.Согласно определению равных векторов, пп.

1)–3) означают, что векторы и ⃗равны, т.е. ⃗ = , ч.т.д.⃗||Второй случай рассмотрите самостоятельно (подсказка: надо взять = − |⃗|). Теоремадоказана.Замечание. В теореме 2.3 нельзя обойтись без условия ≠ ⃗0, поскольку, если = ⃗0, а⃗ ≠ ⃗0, то векторы и ⃗ коллинеарны, но равенство ⃗ = не может выполняться нипри каком .Следствие. Вектор ⃗ коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда∃ ∈ ℝ: ⃗ = .6Доказательство. Пусть ⃗ ∥ . Тогда по теореме 2.3 ∃ ∈ ℝ: ⃗ = , ч.т.д.В обратную сторону, пусть ⃗ = . Тогда по определению операции умножениявектора на число ⃗ ∥ , ч.т.д.Линейная зависимость векторовОпределение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций