Lecture02 (1114589), страница 2

Файл №1114589 Lecture02 (Электронные лекции Колыбасовой) 2 страницаLecture02 (1114589) страница 22019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Линейной комбинацией (ЛК) векторов 1 , 2 , …, называется суммапроизведений этих векторов на произвольные числа 1 , 2 , …, ∈ ℝ (которыеназываются коэффициентами линейной комбинации):1 1 + 2 2 + ⋯ + = ∑ .=1Определение. Векторы 1 , 2 , …, называются линейно зависимыми (ЛЗ), еслисуществует их нетривиальная линейная комбинация (т.е. такая линейнаякомбинация, в которой хотя бы один из коэффициентов 1 , 2 , …, отличен от нуля),равная нулевому вектору:∃1 , 2 , … , ∈ ℝ:|1 | + |2 | + ⋯ + | | ≠ 0,1 1 + 2 2 + ⋯ + = ⃗0.Определение. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейнонезависимыми (ЛНЗ). Т.е. для линейно независимых векторов 1 , 2 , …, ⃗ ⇔ 1 = 2 = ⋯ = = 0.1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0Теорема 2.4.

Если хотя бы один из векторов 1 , 2 , …, является нулевым, то этивекторы являются линейно зависимыми.Доказательство. Пусть, для определённости, 1 = ⃗0. Тогда линейная комбинациявекторов 1 , 2 , …, с коэффициентами 1 = 1, 2 = 3 = ⋯ = = 0 будет равнанулевому вектору:⃗,1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + ⋯ + 0 ⋅ = 0а это и означает, что векторы линейно зависимы, ч.т.д.Теорема 2.5. Если среди векторов какие-либо < векторов являются линейнозависимыми, то и все векторов линейно зависимы.Доказательство аналогично доказательствусамостоятельно).предыдущей теоремы (докажитеТеорема 2.6 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов).Векторы 1 , 2 , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из нихявляется линейной комбинацией остальных.7Доказательство.1. Необходимость.

Пусть векторы 1 , 2 , …, линейно зависимы. Это значит, чтосуществуют числа 1 , 2 , … , ∈ ℝ, не все равные нулю и такие, что1 1 + 2 2 + ⋯ + = ⃗0.Пусть, для определённости, 1 ≠ 0. Тогда можно умножить левую и правую частьпредыдущего равенства на 1/1 . Получим21 + 2 + ⋯ + = ⃗0,11откуда21 = − 2 − ⋯ − ,ч. т. д.112. Достаточность. Пусть, для определённости, вектор 1 является линейнойкомбинацией остальных векторов:1 = 2 2 + ⋯ + .Вычтем 1 из левой и правой части этого равенства.

Получим⃗0 = (−1)⏟ ⋅ 1 + 2 2 + ⋯ + ,≠0т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов 1 , 2 , …, равна ⃗0, а это иозначает, что векторы линейно зависимы, ч.т.д.Линейная зависимость двух векторовТеорема 2.7. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двухвекторов является их коллинеарность.Доказательство.1. Необходимость. Пусть векторы и ⃗ линейно зависимы. Согласно теореме 2.6один из них является линейной комбинацией остальных, т.е. = ⃗ или ⃗ = ,откуда по определению умножения вектора на число следует коллинеарностьвекторов и ⃗, ч.т.д.2. Достаточность.

Пусть векторы и ⃗ коллинеарны. Надо доказать, что онилинейно зависимы. Если хотя бы один из векторов и ⃗ нулевой, то они линейнозависимы по теореме 2.4. Если же векторы и ⃗ ненулевые, то из ихколлинеарности, согласно теореме 2.3, следует, что ∃ ∈ ℝ: ⃗ = , т.е. один изних является линейной комбинацией остальных. Тогда по теореме 2.6 векторылинейно зависимы, ч.т.д.Следствие. Если векторы и ⃗ неколлинеарны, то они линейно независимы(докажите самостоятельно от противного).8Линейная зависимость трёх векторовОпределение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в однойплоскости, либо в параллельных плоскостях.Теорема 2.8.

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёхвекторов является их компланарность.Доказательство.1. Необходимость. Пусть векторы , ⃗ и линейно зависимы. По теореме 2.6 одиниз них является линейной комбинацией остальных. Пусть, для определённости, = + ⃗. Тогда, согласно определению операций умножения вектора начисло и сложения векторов, вектор будет лежать в одной плоскости свекторами и ⃗, ч.т.д.⃗⃗2. Достаточность. Пусть векторы , ⃗ и компланарны. Отложим их от общегоначала — точки . Тогда все они будут лежать в единой плоскости.

Докажем, чтовекторы , ⃗ и линейно зависимы. Если какие-либо два из них являютсяколлинеарными, то эти два вектора линейно зависимы по теореме 2.7, и тогдавсе три вектора линейно зависимы по теореме 2.5, ч.т.д. Теперь рассмотримслучай, когда никакие два из векторов , ⃗ и не являются коллинеарными (этоозначает, в частности, что среди векторов , ⃗ и нет нулевых).⃗⃗Проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору ⃗. Пусть онапересекает прямую, на которой лежит вектор , в точке . Рассмотрим9⃗⃗⃗⃗⃗ .

Он коллинеарен ненулевому вектору , поэтому по теореме 2.3вектор найдётся вещественное число такое, что ⃗⃗⃗⃗⃗ = . Аналогично, проведя черезконец вектора прямую, параллельную вектору , и обозначив точку её⃗⃗⃗⃗⃗ ,пересечения с прямой, на которой лежит вектор ⃗, через , получим вектор который будет коллинеарен ненулевому вектору ⃗, и поэтому найдётся⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗.

По правилу параллелограммавещественное число такое, что ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = + ⃗, откуда по теореме 2.6 векторы , ⃗ и линейно = зависимы, ч.т.д.Теорема 2.8. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и ⃗, для любоговектора , компланарного с ними, существуют числа , ∈ ℝ такие, что справедливоравенство = + ⃗.Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.7.10.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
629,74 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее