Lecture02 (1114589), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Линейной комбинацией (ЛК) векторов 1 , 2 , …, называется суммапроизведений этих векторов на произвольные числа 1 , 2 , …, ∈ ℝ (которыеназываются коэффициентами линейной комбинации):1 1 + 2 2 + ⋯ + = ∑ .=1Определение. Векторы 1 , 2 , …, называются линейно зависимыми (ЛЗ), еслисуществует их нетривиальная линейная комбинация (т.е. такая линейнаякомбинация, в которой хотя бы один из коэффициентов 1 , 2 , …, отличен от нуля),равная нулевому вектору:∃1 , 2 , … , ∈ ℝ:|1 | + |2 | + ⋯ + | | ≠ 0,1 1 + 2 2 + ⋯ + = ⃗0.Определение. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейнонезависимыми (ЛНЗ). Т.е. для линейно независимых векторов 1 , 2 , …, ⃗ ⇔ 1 = 2 = ⋯ = = 0.1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0Теорема 2.4.

Если хотя бы один из векторов 1 , 2 , …, является нулевым, то этивекторы являются линейно зависимыми.Доказательство. Пусть, для определённости, 1 = ⃗0. Тогда линейная комбинациявекторов 1 , 2 , …, с коэффициентами 1 = 1, 2 = 3 = ⋯ = = 0 будет равнанулевому вектору:⃗,1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + ⋯ + 0 ⋅ = 0а это и означает, что векторы линейно зависимы, ч.т.д.Теорема 2.5. Если среди векторов какие-либо < векторов являются линейнозависимыми, то и все векторов линейно зависимы.Доказательство аналогично доказательствусамостоятельно).предыдущей теоремы (докажитеТеорема 2.6 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов).Векторы 1 , 2 , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из нихявляется линейной комбинацией остальных.7Доказательство.1. Необходимость.

Пусть векторы 1 , 2 , …, линейно зависимы. Это значит, чтосуществуют числа 1 , 2 , … , ∈ ℝ, не все равные нулю и такие, что1 1 + 2 2 + ⋯ + = ⃗0.Пусть, для определённости, 1 ≠ 0. Тогда можно умножить левую и правую частьпредыдущего равенства на 1/1 . Получим21 + 2 + ⋯ + = ⃗0,11откуда21 = − 2 − ⋯ − ,ч. т. д.112. Достаточность. Пусть, для определённости, вектор 1 является линейнойкомбинацией остальных векторов:1 = 2 2 + ⋯ + .Вычтем 1 из левой и правой части этого равенства.

Получим⃗0 = (−1)⏟ ⋅ 1 + 2 2 + ⋯ + ,≠0т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов 1 , 2 , …, равна ⃗0, а это иозначает, что векторы линейно зависимы, ч.т.д.Линейная зависимость двух векторовТеорема 2.7. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двухвекторов является их коллинеарность.Доказательство.1. Необходимость. Пусть векторы и ⃗ линейно зависимы. Согласно теореме 2.6один из них является линейной комбинацией остальных, т.е. = ⃗ или ⃗ = ,откуда по определению умножения вектора на число следует коллинеарностьвекторов и ⃗, ч.т.д.2. Достаточность.

Пусть векторы и ⃗ коллинеарны. Надо доказать, что онилинейно зависимы. Если хотя бы один из векторов и ⃗ нулевой, то они линейнозависимы по теореме 2.4. Если же векторы и ⃗ ненулевые, то из ихколлинеарности, согласно теореме 2.3, следует, что ∃ ∈ ℝ: ⃗ = , т.е. один изних является линейной комбинацией остальных. Тогда по теореме 2.6 векторылинейно зависимы, ч.т.д.Следствие. Если векторы и ⃗ неколлинеарны, то они линейно независимы(докажите самостоятельно от противного).8Линейная зависимость трёх векторовОпределение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в однойплоскости, либо в параллельных плоскостях.Теорема 2.8.

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёхвекторов является их компланарность.Доказательство.1. Необходимость. Пусть векторы , ⃗ и линейно зависимы. По теореме 2.6 одиниз них является линейной комбинацией остальных. Пусть, для определённости, = + ⃗. Тогда, согласно определению операций умножения вектора начисло и сложения векторов, вектор будет лежать в одной плоскости свекторами и ⃗, ч.т.д.⃗⃗2. Достаточность. Пусть векторы , ⃗ и компланарны. Отложим их от общегоначала — точки . Тогда все они будут лежать в единой плоскости.

Докажем, чтовекторы , ⃗ и линейно зависимы. Если какие-либо два из них являютсяколлинеарными, то эти два вектора линейно зависимы по теореме 2.7, и тогдавсе три вектора линейно зависимы по теореме 2.5, ч.т.д. Теперь рассмотримслучай, когда никакие два из векторов , ⃗ и не являются коллинеарными (этоозначает, в частности, что среди векторов , ⃗ и нет нулевых).⃗⃗Проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору ⃗. Пусть онапересекает прямую, на которой лежит вектор , в точке . Рассмотрим9⃗⃗⃗⃗⃗ .

Он коллинеарен ненулевому вектору , поэтому по теореме 2.3вектор найдётся вещественное число такое, что ⃗⃗⃗⃗⃗ = . Аналогично, проведя черезконец вектора прямую, параллельную вектору , и обозначив точку её⃗⃗⃗⃗⃗ ,пересечения с прямой, на которой лежит вектор ⃗, через , получим вектор который будет коллинеарен ненулевому вектору ⃗, и поэтому найдётся⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗.

По правилу параллелограммавещественное число такое, что ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = + ⃗, откуда по теореме 2.6 векторы , ⃗ и линейно = зависимы, ч.т.д.Теорема 2.8. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы и ⃗, для любоговектора , компланарного с ними, существуют числа , ∈ ℝ такие, что справедливоравенство = + ⃗.Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.7.10.

Характеристики

Список файлов лекций