Lecture11 (1114598)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11Алгебра матрицНапомним (см. лекцию 1), что матрицей размера × называется прямоугольнаятаблица чисел:1121= ( ⋮11222⋮2… 1… 2⋱⋮ ) = ( )× .… Здесь — элементы матрицы, — номер строки, — номер столбца: = 1, 2, … , ; = 1, 2, … , . Матрица состоит из строк и столбцов.1Пример. = (02 −4) — это матрица размера 2 × 3 (2 строки, 3 столбца).0 0,5Первая строка состоит из элементов 11 = 1, 12 = 2, 13 = −4.Вторая строка состоит из элементов 21 = 0, 22 = 0, 23 = 0,5.Первый столбец состоит из элементов 11 = 1, 21 = 0.Второй столбец состоит из элементов 12 = 2, 22 = 0.Третий столбец состоит из элементов 13 = −4, 23 = 0,5.Квадратнои матрицеи порядка называется матрица размера × .12345678Пример.

= () — квадратная матрица порядка 4.9 10 11 1213 14 15 16У квадратнои матрицы есть главная диагональ (выделена желтым) и побочнаядиагональ (выделена зеленым). Главная диагональ состоит из элементов 11 , 22 , 33 ,44 , …, т.е. тех элементов, для которых номер строки и столбца совпадает: = .Рассмотрим две матрицы: и .Определение. Матрицы и называются равными (обозначение: = ), если ониимеют одинаковыи размер и все элементы, стоящие на одинаковых местах, равны: = ( )× , = ( )× и = ∀, .111Пример. (21121122 ) = (211112) ⇔ { 12222122= 11 ,= 12 ,= 21 ,= 22 .Определение. Пусть матрицы и имеют одинаковыи размер: = ( )× , =( )× . Матрица называется суммой матриц и (обозначение: = + ), если = ( )× , где = + ∀, .010+11 + 101111 100) + (0,3 −7) = (−1 + 0,30 − 7) = (−0,7−7).Пример.

( −1−0,5 0,5−0,5 + 9 0,5 + 168,5 16,59 16Свойства. Если матрицы , и имеют одинаковыи размер, то1) + = + ,2) ( + ) + = + ( + ).(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть = ( )× . Матрица называется произведением матрицы на число (обозначение: = ), если = ( )× , где = ∀, .Пример. 2 ⋅ (1 22⋅1 2⋅22 4)=()=().3 42⋅3 2⋅46 8Свойства. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, и — числа, то1) ( + ) = + ,2) ( + ) = + ,3) () = ().(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть матрицы и имеют одинаковыи размер: = ( )× , =( )× .

Матрица называется разностью матриц и (обозначение: = − ),если + = .Нетрудно убедиться, что = ( )× , где = − ∀, .Свойство. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, то − = + (−1) ⋅ .(Докажите самостоятельно.)Определение. Пусть = ( )× . Матрица называется транспонированной поотношению к матрице (обозначение: = ), если = ( )× , где = ∀, .2Чтобы транспонировать матрицу, нужно записать ее строки как столбцы (не меняя ихпорядка) или столбцы как строки (не меняя их порядка).111 1 −0,78,5−7) = (Пример. (−0,7).11−7 16,58,5 16,5Определение. Квадратная матрица называется симметричной, если = .1 2 0,51 2 0,5Пример. = ( 2 59) , = ( 2 59) = .0,5 9 −30,5 9 −3Элементы симметричнои матрицы симметричны относительно главнои диагонали: = ∀, .Определение.

Квадратная матрица называется кососимметричной, если = −.02 −30 −2Пример. = (−209) , = ( 203 −90−393−9) = −.0На главнои диагонали кососимметричнои матрицы стоят нули, а элементы,симметричные относительно главнои диагонали, равны по модулю и имеютпротивоположные знаки: = − ∀, ⇒ = − ⇒ = 0 ∀.Свойства. Если матрицы и имеют одинаковыи размер, — число, то1) ( + ) = + ,2) () = ,3) ( ) = .Доказательство своиства 1). Пусть = ( )× , = ( )× .

Введем обозначения:⏞ + ⏞ .⏞+ ) = ⏟(⏟Нужно доказать, что = . Согласно определению операции сложения итранспонирования матриц, имеем: = + = ( )× , где = + ∀, ; = = ( )× , где = = + ∀, ; = = ( )× , где = ∀, ; = = ( )× , где = ∀, ;3 = + = ( )× , где = + = + ∀, .Поскольку размеры матриц , совпадают и = ∀, , то = , ч.т.д.(Своиства 2) и 3) докажите самостоятельно.)Определение.Матрицеи-строкой(11 12 ⋯ 1 ).называетсяматрицаразмера1 × :1121Определение.

Матрицеи-столбцом называется матрица размера × 1: ( ⋮ ).111Определение. Произведением строки = (11 12 ⋯ 1 ) на столбец = ( 21 )⋮1называется число 11 11 + 12 21 + ⋯ + 1 1 = ∑=1 1 1 . При этом строка истолбец обязательно должны содержать одинаковое количество элементов.Обозначение: .Пример.

(142 3) ⋅ (5) = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 = 32.6Определение. Пусть = ( )× , = ( )× (количество столбцов первоиматрицы равно количеству строк второи матрицы). Матрица называетсяпроизведением матрицы на матрицу (обозначение: = ), если = ( )× и = ∑ ∀, ,=1т.е. элемент является произведением i-и строки матрицы на j-и столбецматрицы .11 2 3Пример. Произведение столбца = (2) (размер 3 × 1) на матрицу = ()4 5 63(размер 2 × 3) не определено (т.к. количество столбцов матрицы не равноколичеству строк матрицы ), но произведение определено:11⋅1+2⋅2+3⋅31 2 314 = () ⋅ (2) = () = ( ) — столбец размера 2 × 1.4⋅1+5⋅2+6⋅34 5 632341 4Пример.

Произведение матрицы = (2 5) (размер 3 × 2) на строку =3 6(1 2 3) (размер 1 × 3) не определено, но произведение определено:1 4 = (1 2 3) ⋅ (2 5) = (1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6) =3 6= (14 32) — строка размера 1 × 2.В общем случае ≠ , т.е. произведение матриц некоммутативно. Например, если = ( )2×3 , = ( )3×4 , то произведение определено, а произведение неопределено. Если же = ( )2×3 , = ( )3×2 , то оба произведения и определены, но имеет размер 2 × 2, а имеет размер 3 × 3, поэтому ≠ .Даже если размеры матриц и совпадают, то эти матрицы все равно могут бытьне равны друг другу.

Пример:1 2=(),3 41 25 = ()⋅(3 475 6=(),7 81⋅5+2⋅76)=(3⋅5+4⋅781⋅6+2⋅819 22)=(),3⋅6+4⋅843 501 25⋅1+6⋅35 6 = ()⋅()=(3 47⋅1+8⋅37 85⋅2+6⋅423 34)=(),7⋅2+8⋅431 46 ≠ .Однако для некоторых матриц и может выполняться равенство = . В этомслучае говорят, что матрицы и коммутируют.Свойства. Если матрицы , и имеют такие размеры, что все операции в левоичасти равенств определены, — число, то справедливы следующие равенства:1)2)3)4)5)() = (),( + ) = + ,( + ) = + ,() = () = (),() = .Доказательство своиства 1).

Пусть = ( )× , = ( )× , = ( )× . Введемобозначения:⏞ =⏞() . ()⏟⏟Тогда = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× . Нам нужно доказать, что = . Имеем:5 = ∑ , = ∑ = ∑ (∑ ) = ∑ ∑ ,=1=1 = ∑ ,=1=1=1 =1 = ∑ = ∑ (∑ ) = ∑ ∑ .=1=1=1=1=1 =1Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = , ч.т.д.Доказательство своиства 5). Пусть = ( )× , = ( )× . Введем обозначения:⏞ ⏞ .⏞) = ⏟(⏟Тогда = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× , = ( )× . Нам нужнодоказать, что = . Имеем: = ∑ ,=1 = = ∑ , = , = ,=1 = ∑ = ∑ .=1=1Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = , ч.т.д.(Своиства 2), 3) и 4) докажите самостоятельно.)Определение.

Квадратная матрица порядка называется единичной, если она имеетвид10=(⋮00 … 01 … 0) = ( )× ,⋮ ⋱ ⋮0 … 1где = {1 при = ,Выражение называется символом Кронекера.0 при ≠ .Теорема 11.1. Если — матрица размера × , то = , = , где и —единичные матрицы порядка и , соответственно.Доказательство. Пусть = ( )× . Обозначим = , = . Тогда = ( )× , = ( )× .

Нам надо доказать, что = , = . Имеем:6 = ∑ = 1 ⏟1 + 2 2 + ⋯ + + ⋯ + ⏟ .⏟⏟=101 приПоскольку = {0 присоответствующии = :010 = ,то из всеи суммы остается только один член, ≠ , = .Поскольку размеры матриц , одинаковы и = ∀, , то = .Равенство = докажите самостоятельно.Следствие. Единичная матрица порядка коммутирует с любои квадратноиматрицеи порядка .(Докажите самостоятельно.)7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций