Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Функцьья р называется расстоянием в пространстве ьм. ьз) Метрическое пространство ьИ называется полным, если каждая фундаментальная последовательность точек пространства М сходится в атом пространстве. Напомним, что последовательность уь у,, ..., у„, ...
называется фундаментальной, если для каждого г > О можно подобрать число ьч'(е) такое, что при п,ььт'(г) расстояние р(у„, у„гю) < а при любом целом т ) О. а и теояемы сиществовлния и единственности 49 Применяя теперь т — 1 раз правило треугольника и используя неравенства (1.31), получим Р(У» Ул~ль) («Р(У» Уллг)+Р(уль1 Улье)+ ...
+Р(у„м, ул„м).<[П'+а" '+ ... +ал' -г[р(уг, у,) = ц» Ел+ м ал Р(уг Уо) ( 1 Р(уг Уо) ( е при достаточно большом и. Следовательно, последовательность уо, уи у, ., Ул, ... фундаментальна и, в силу полноты пространства М, сходится к некоторому элеиенту того же пространства: [нп у»=у, у~М. л-ь йокажем теперь, что у является неподвижной точкой. Пусть А [у[ =у. Применяя два раза правило треугольника, получим Р(У У) «(Р(У У ) 1 Р(У» Ульг) +Р(У»ш У). Для любого е ) 0 можно выбрать М(е) такое, что при п, )ч(е) 1) Р(у, У,1( —, так как У= Нш У„; 3' л-ел е 2) Р(У», Улет)( З, так как последовательность Ул фУндамента льна; ц) Р(У,+г У)=Р(А[У»[, А[У[) <ар(У„У)< —, откУдар(У, У)<е, где е можно выбрать сколь угодно малым.
Следовательно, Р(у у)=0 и у=у, А[у[=у. Остается доказать, что неподвижная точка у единственна. Если бы существовала еще одна неподвижная точка г, то Р(А[у[, А[а[)=р(у, а), что противоречит условии 2) теоремы. Применим принцип сжатых отображении к доказательству теоремы существования и единстве>шости решения у (х) (хо — Ио ( «< х ( х, + И,) дифференциального уравнения — „= у (х, у), удолу влетворяющего условию у (хо) = уо, в предположении, что в области В хо и <х <хо+и уо И«(у <уз+И функция г' непрерывна и, следовательно, ограничена Щ (М и удовлетворяет условию Липшица [у(х, у) — г (х, г)[ ()о' [у — г[. о1 Число Ио (пил(а, — 1 и будет точнее выбрано ниже.
4 Л. Э. Эльлглльц бб ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. ! Рассмотрим полное метрическое пространство С, гочкамн которого являются всевозможные непрерывные функции у(х), определенные на отрезке ха — йа ( х ( хз+ йж графики которых лежат в области О, а расстояние определяется равенством р(у, я) = гнал )у — я[, где максимум берется при х, изменяющемся на отрезке хэ-дз-.[х < х,+да.
Это пространство часто рассматривается В различных вопросах математического анализа н носит название просгпранстаа равномерной сходижосиги, так как схолимость в смысле метрики этого пространства означает равномерную сходимость. Заменим дифференциальное уравнение — = г'(х, у) с начальным лу и'к условием у(ха) =у, эквивалентным интегрзльным уравнением у=у, + [ у'(х, у)г7х. к, Рассмотрим оператор (1.24) р(А [у[, А [я)) (ар(у, г), а ( 1, где к р(А [у[, А [а[) = п1ах [ [у (х, у) — у (х, г)) пх .
к, к А [у[=у, + (,г(х, у(х)) ~1х, к, ставящий в соответствие каждой непрерывной функции у(х), задан- ной на отрезке хэ — Йа~(х«(ха+/гз и не выходящей из обла- сти й, непрерывную функцию А [у[, определенную на том же от- резке, график котороп также не выходит из области О, тзк как к у'(х, у) дх ( Мйз «( д.
Оператор А [у[, следовательно, удовлетвок, ряет условию 1) принципа сжатых отображений. Уравнение (1.24) при этои запишется в виде у =А [у[, н следо- вательно, для доказательства теоремы существования и единствен- ности остается доказать существование в пространстве С едннствен- нои неподвижноп точки у (х) оператора А, так как в этом слу ~ае у = А [у] и уравнение (1.24) удовлетворяется.
Для доказательства теоремы остается проверить, удовлетворяет ли оператор А условию 2) принципа сжатых отображений: $61 твопвмы сьщвствовлния и единственности Г!ользуясь неравенством Липшица, получим р(А(у), А)а)) <Ишак ~ 1у — г) дх < х я < М шак 1у — а1 шах / гУх ( = Мйв шах 1у — а( = д)дар(у, а). Выбирая /ге так, чтобы Мйе <а < 1, получим, что оператор А удо- влетворяет условшо р(А (у), А [в) ) < ар(у, г), ц < 1.
Ичак, согласно принципу сжатых отобралгений существует елинствеипая неподвижная точка у(х) оператора А, плн, что то же самое, единственное непрерывное решение уравнения (1.24), и оно может быль найдено методом послеловательных приближений. Совершенно аналогично можно доказать теорему существования и единственности решения у,(х), уз(х), ..., у„(х) лля системы уравнений лу — ''- = — У; (х, у,, уг ° ° у„), у; (ха) = ую (( = 1, 2, ..., и) (1.32) игш у,=ум+ ~ У(х, уи ут ° °, у„)дх (1=1. 2, ..., и) (!.33) к, в предположении. что в области О, определяемой неравенствами хс — а<х<хв+а, у, — Ь,<у,.(уж+а; (1=1, 2..., и), правые части уравнений (1.32) удовлетворяют условиям: 1) все функции Г,(х, уи уз, ..., у„) (1=1, 2...,, и) непрерывны, а следовательно, и ограничены, (у',! < М; 2) все функции у'; (1=1, 2, ..., и) удовлетворяют условию Липшица: !1 ~у (х уи у,, ..., у„) — уг(х, го гя, ..., ал)! <дГХ ~уг — а !.
с=3 Точкой пространства С будет теперь система л непрерывных функциа (уп уз, ..., у„), т. е. и-мерная вектор-функция )г(х) с координатами у,(х), уз(х), ..., у„(х), определенная на отрезке хо Гас < х < хе + )ге, гле йа < ппп ~а, — , ..., — ~ и будет точнее Ь, Ь„1 диеевпснцилльныя килвнвния пвявого попядкл !гл. ! 52 выбрано ниже. Расстояние в пространстве С определяется равенством р()'(х), Е(х)) = ~,!пах )у! — г!(, где ян хт, ..., г, — коорлинаты вектор-функции Е(х). Нетрудно проверить, что нри таком определении расстояния множество С и-мернык вектор-функций )'(х) превращается в полное метрическое пространство. Оператор А определяется равенством к ~!п=(у„ч-(у,! .
у,, з,..,., у.>~, в е уз+ ~,гв(х, уо у.„..., у„) с!х, ..., у„а+ ~( гв (х, ун у„..., у„) 4х), к. т. е. при действии оператора А на точку (ун у,, ..., у„) получаем точку того же пространства С с координатами, равными правым частям систеиы (1.33). Точка А ()') принадлежит пространству С, так как все ее координаты являются непрерывными функпиямп, не выходящими из области В, если координаты вектор-функции У не выходили из области В. действительно, ~ у'!(х, у,, уы ..., уи)с(х (М ~ дх (АПга(дг, к х. и следовательно, )у! — у!„( ( ()!.
Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых отображений: р(А()'), А(Я))= Ф к = (д щах )~ (г!(х, уи у,, ..., у„) — Г!(х, гн г,, ..., гв)!с(х! с (=! о п с (~~ !пал ) ) ! г,(х, уп ут, ..., у„) — ~!(х, гн л,,..., г„) ~ г(х( ( х, н Х Я ( И ~~ щах ! ~ ~ ! у! — я! ) с(х ( ( г=! 1=1 л ь с (И «~ тпак)у! — лг! ~~~ щах ~ 1 с(х ~ =Ипйгр(У, л.). ! ! Я Я1 твогемы сишаствовлния и вдинстввнностн 53 Следовательно, если выбрать йе ( — ", где О ( а ( 1, или е -лдз Мпл (а ( 1, то условие 2) принципа сжатых отображений будет уловлетворено и будет существовать единственная неподвижная точка )', причем ее можно найти методом последовательных приближений. Но условие г' = А (7) по определению оператора А экви.
валентно тождествам у ==уге+ ~ уз(х уз уз ° у~)ззх (1=1 2 ' и) и) — координаты вектор-функции )к, то естз, )к решением системы (1.33). несколько последовательньзх приблн.кеннй у, уз, где у,(1 =1, 2, ..., является единственным Пример 1. Найти уз к ргшеникз ураннения ггу — = хз+ у'; з(х у(а)=О, — 1<х<1.
— 1<у«1. 1З 1 у= 1 (х'+у') Фг Л,= пни(1, —, 2) о Полагая у,(х) нео, получим к к хз л Г хзз хз хг ,=~ "-=- у,=!'( +-) х=-+-., 3 ' / (, 9) 3 33' О О .з уз — / ~х + ( — + -) ~ Лх = — + — (1+ —. 4 — ). е Пример 2. При каких ограничениях линейное уравнение — + р(х) у = у(х) з(у удовлетворяет условиям теоремы существовання и единственности.
Для выполнения первого условия теоремы достаточно, чтобы на рассматриваемом отрезке изменения х, а, < х «< а,, функции р(х) н у (х) были бы непрерывны. При атом будет выполнено и второе условие теоремы существования и единственности. так как частная производиаа по у от правой лу части уравнения — = — р(х) у+у(х) равна — р(х) и вследствие непрезтх рывности функции р(х) на отрезке а, < х <аз ограничена по модулю (см. стр. 42). Итак, если р(х) и у(х) нейрерйвны на отрезке а, <х <а,, то через кажлую точку (хз, у,), где а, < х, < а,, а у, задается йроизвольно, проходит единственная интегральная кривая о . гчатриваемого линейного- уравнения. 54 ДИФФЕ!'ЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. ! 'Теорема 1.2 (о непрерывной зависимости региения от параметра и от начальньгх значений). Если правая часть дифференциального уравнения — = г'(х, у, )г) иу (1.
34) непрерывна по р при цо ~~ р (р, и удое:гетворяет условиял! гяеоремы существования и единственности, причем постоянная Лип!и!гав М не зависит огп ц, то решение у(х, р) рассматриваемого Уравнения, удовлетворясои!ее условиго у (хо) = уо, непрерывно зависит олг р. Строим ломаные Эйлера у, = у>ь (х, )г), являющиеся непрерывнымп функциями р, и, повторяя рассуждения на стр, 40 — 45, получим, что последова!ельногль уь(х, р) сходится равномерно не только по х, но и но р при хо( х (хо+ Н, гго (р (рп гак как М и Н Ь 1 ! не зависят ог р, если Н ( шгп (а, —, — ~, где гг4 )~ )/ (х, у, )г) ).
М' дг)' Следовательно, решение у=у(х, р) уравнения к у =у,+ ~ 1(х, у, 1~)дх, к, (!.35) являющееся пределом последовательности уь(х, р), непрерывно не только по х, но и по р. Замечание. Если применить к уравнению (1.35) метод последовательных приближений, то последовагельные приближения у = =у„(х, р), являющиеся непрерывными функциями х и р, равномерно сходятся к решению у(х, )г) уравнения (1.35) (так как а= =-Мй (1 не зависит от р). Следовательно, н этим методом могкно доказать непрерывную зависимость решения от х и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
