Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 4
Текст из файла (страница 4)
то во избежание недоразумений для интегралов функций ~ /(х) лх обычно применяется термин акзадратураж 3 т1 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 21 — семейство окружностей с центром в начале координат (срзвните с примером 2, стр. 16 — 17). Пример 2. к' ду е их= —. 1и у ' Интегрируя, получаем ( елдх= ( — +с. Интегралы ~ е дх и ) — не берутся в элементарных функциях, тем не к' ну ,,) 1пу менее исходное уравнение считается проннтегрированным, так как задача доведена до квадратур. Уравнения вида ф, (х) ф, (у) 0х = ф, (х) фт (у) ду, в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от Х и только от у, называются дифференциальными урааяаниями с разделяющпмися переменными, так как путем деления на ф (у) фз (х) они приводятся к уравнению с разделенными переменными: ф, (х) ф,(у) чъ(х) Ф (У) Заметим, что деление на ф,(у) фз(х) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение ф (у) ° ф, (х), а если функции ф1(у) и фз(х) могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих з нуль множитель 1 ф (у) фт (х) ' Пример 3.
— = — (сравните с примером 1, стр. !б). дУ У дх х Разделяем переменные и интегрируем; 1п1У1=1п1х)+1пс, с > О. Потенцируя, получим 1у1= с)х). Если речь идет только о гладких решениях, то уравнение 1У1= с ( х 1, где с > О, эквивалентно уравнении У.= х сх илн у с,х, где с, может принимать как полож|польные, тзк н отрицательные значения, ио с, чь О. Если же принять зо вникание, что прн делении на у мы потеряли решение у =О, то можно считать, что в решении у = с,х постоянная с, принимает и значение с, =О, при котором мы получаем потерянное ранее решение у =О.
Замечание. Если в примере 3 считать переменные хну равноправными, то уравнение — = —, тернющее смысл при х = О, надо дополнить ду У и'х х' 22 диэонгннцилльнын крлвннния пивного погядкл !гл, а и'х х уравнением — = — (см. стр. 19), которое, очевидно. имеет еще решение «у у х=О, не содержащееся в найденном выше решении у = с,х. Пример 4. х (1+ у') а(х — у (1+ х') а(у = О. разделяем переменные и интегрируем: !и (1+ у') =1п (1-)- ха) -(- !и сб 1-(- у' = с, (1-(- х').
При мер 5. найти решение х(г), удовлетворяющее условию х(1) 1. разделяем переменные и интегрируем; х лх 1, — 21 Нт, ргх = Н х 2 У- —./ П р и м е р 6. Как уже упоминалось во введении, установлено, что ско- рость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще ие рас- павапегося вещества. Найти зависимость х от времени б если в начальный момент прн т =та будет х = ха, Козффициент пропорциональности Л, называемый постоянной распада, предполагается известным. Дифференциальное уравнение процесса будет иметь вид — = — лх г(х нг (1.6) (знак — указывает на уменьшение х при возрастании б Л > 0). разделяя переменвые и интегрируя, получаем л'х — = — л нт'„! и ! х ! — ! и ! ха ! = л (т — га) х откуда — =ах, Л>0, ~~х пт (1.7) е л!' х=хае Определим еше период полураспада т (т, е.
время, в течение которого 1 -ат распадается — ха~. Полагая т — т т, получим — ха = хае '. отсюда 2 ) а 2 !п2 Не только радиоактивный распад, но и любая другая мономолекулярная реакция на основании закона действующих масс описывается уравнеа'х нисм — = — лх, где х — количество еще не прореагировавшего вещества. Л Уравнение Ф я) УРАВНЕНИЯ' С РАЗДЕЛЯКЗЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 23 отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (1.6). описывает многие процессы «размножения», например «размножение» числа нейтронов в цепных ядерных реакциих или размножение числа бактерий в предположении, что условия среды для них предельно благоприятны и поэтому скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (1.7), удовлетворяющее условию л(г») лм имеет вид х = хгещг га и, в отличие от решений уравнения (1.6),х(г) ие убывает, а возрастает по показательному закону с возрастанием Е Пример 7.
— р (р — 2) (р — 4). др дэ Начертить интегральные кривые, не интегрируя уравнения; р и и — полярные координаты. Уравнение имеет очевидные решения р = О, р 2 и р 4, При О < р < 2 >О; при 2<р<4 — <О иприр>4 — >О.
др др др др дй дч Следовательно, интегральными крнвымн являются окружности р = 2 и р 4 и спирали, наматывающиеся при возрастании чг иа окружность р 2 и разматывающиеся с возрастанием ф с окружности р 4. Замкнутые интегральные кривые. в достаточно гилых окрестностях которых интегральными кривыми являются спирали, называются предельными циклами. В данном примере окружности р=2 н р 4 являются предельными циклами. П р и м е р 8. Найти ортогопальные траектории семейства парабол у =ах». Орта»окал»ними тра«к»зоркими заданного семейства кривых называются линии, пересекающие под прямым углом линии данного семейства. Угловые козффициенты у1 и уз касательных к кривым данного семейства и и искомым ортогональным траекториям должны в каждой точке удовле! творить условию ортогональности уз —— — —,. Длв семейства парабол у— У| =алг находим у' 2ах, или так как а= —, то у'=- —.
Следовательно, 2у Хг' Х дифференциальное уравнение искомых ортогопальных траекторий имеет х вид у = — —. 2у ' Разделяя переменные, находим 2уду+хдх О и, интегрируя, получим семейство эллипсов хг — +у' *сг 2 (рис. 1.9).
П р и м е р 9. Пусть и = ху — потенциал скоростей плоскопараллельного течения жидкости. Йайти уравнение линий тока. Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий ху = с. Находим угловой коэффициент касательной к эквипотенциальным линиям: лу'+у О, у' — —. Следовательно, дифк' ференциальное уравнение линий тока имеет вид у' — или у Фу = х дк; у ннтегрируя, получаем х' — у' с — семейство гипербол.
П р и м е р 1О. Полый однородный металлический шар, имеющий внутренний радиус ги а внешний г, находится в стационарном тепловом 24 диоевввицилльиыв кпдвияиия пгввого попядкл (гл. э состоянии. причем температура иа его внутренней поверхности равна Т,, а иа наружной Тт. Найти температуру Т иа расстоянии г от центра шара, г, ( г ~( г,. Из соображений симметрии следует. что Т является функцией только г. Так как между двумя концентрическими сферзми с центрами в центре шара (нх радиусы могут изменяться от г, до г,) количество тепла остается неизменным, то через каждую сферу протекает одно и то же количество тепла Я. Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее рассматраваемый процесс, имеет аид — 4паг' — = Я, ят йг где л — коэффициент теплопроводиости.
Разделяя переменные и интегрируя, получим искомую зависимость Т от г: 4па я'т = — —; 1,1 л'г гэ 4нй ~ ЛТ= — Ц ~ г, Рис. 1.й для определения Я используем условие: при г = гь Т = Т, 4па (Тэ — Т,) 4яя (Тэ — Т,) г,гэ 1 1 г,— г, г, г, 5 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида — = У(ах+ Ьу). лх где а и Ь вЂ” постоянные величины, которые заменой переменных я = ах+ Ьу преобразуются в уравнения с разделяющими переменными. Действительно, переходя к новым переменным х и я, будем иметь — „= а+ Ь вЂ”, — = а + Ьу' (я).
0л ду да йх Ых ' дх = 3 3! УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮРДИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 25 или иг ,+зу(,) =дх и переменные разделились. Интегрируя, получим Пример !. — = 2х+ у. иу их Полагая г 2х+ у. будем иметь иу йг — = — — 2 их их иг — — 2 г. их Разделяя переменные и интегрируя. получим иг — =их, !п)г-(-2! =х+ !па, г — 2+ се", г+2 2х+ у = — 2+ се', у = се" — 2х — 2. Пример 2 иу 1 — — +1, их х — у Полагая х — у = г, получим иу иг иг 1 — =! — —, 1 — — = — +1; их Фх' их г иг 1 их г' г иг — их г' = — 2х + с, (х — у)' — 2х -)- е.
К уравнениям с разделяюшимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого изрядна, нмеюшие вид Действительно, после подстановки г = — нлн у = хг получим у х — = х — + г, х — + г = у (г), иу иг хг иг их их их ' дх ' г(г) — г х гг иг =!п!х! +!пс. х=-се' г'г1-г. у (г) — г Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функцией переменных х и у нулевой степени однород- ~ ности. поэтому уравнение вида М(х. у)Фх+Ф(х, у)ду=О ЛИНЕП?!ЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 27 а и Втот метод нельзя применить лишь з случае параллельности прямых а,х+бгу+ с, =0 и агх+б,у+с,=О.
Но з этом случае "4 коэффициенты прн текущих координатах пропорциональны и, = — =)г, и уравнение (1.3) может быть записано в виде Ь =б,= иу ( и,х+ б4у+ с, йх ! 74 (а,х+ Ь,у) + сг ! — = 7( + ) =Р(агх+Ь4у), и следовательно, как указано на стр. 24, замека переменных х = = а,х + Ь,у преобразует рассматриваемое уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Пример 5. 4!у х — у+ 1 их х+у — 3' Решая систему уравнений х — у+ 1 = О, х+ у — 3 О, получим х, = 1, у, = 2.
Полагая х= Х+1, у = ?+2, будем иметь 4!У Х вЂ” ?' их х+?' ' — —, 1п11 1 2 (1 — 2е — г*) Хч = с, Х' — 2Х?' — Уг = е, хг — 2ху — у'+ 2х+ бу си 9 4. Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальныл4 уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной.
Линейное уравнение имеет вид — „у + р(х)у =у(х). (1,9) где р(х) и 7(х) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями х в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1.9). Если 7(х) = О. то уравнение (!.9) называется линейным однородным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
