Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Очевидно, что доказательство нисколько не изменится, если правая часть уравнения (1.34) является непрерывной функцией нескольких параметров в предположении, конечно, что постоянная Лапшина М от них не зависит. Тем же методом при аналогичных условиях можно было бы доказать непрерывную зависимость решения у(х, хо, у,) уравнения и'у ггх — =у'(х, у) от начальных значений хо и уо, при этом пришлось бы лишь несколько уменьшить йо, так как в противном случае решения, определяемые начальными значениями, близкими к хо, уо, могли бы выйти из области О уже при аначениях х, лежащих на интервале хо — йо ( х ( хо+ йо.
Однако еще проще заменой переменных свести вопрос о зависимости решения от начальных значений к уже рассмотренному выше $ а) твопвмы скшвствовлиия и единствгиности 55 случаю завнснмостн решения ог параметров, содержащихся в правой части уравнения (1.34). Действительно, полагая г = у (х, хо, уо) — у, г = х — хо, преобразуем уравнение — = Т(х, у) с начальным услосст йх вием у(хо)=уо в — „Г =У((+хо, г+уо), г(0)=0, к которому уже вшжно применить теорему о непрерывной зависимости решения от параметров хо и уо, если функция у непрерывна н удовлетворяет условию Лнпшнца.
Аналогичные теоремы теми же методатссс могут быть доказаны для систем лс ссс, й сгсс Ха с Есс ю . Ссс ссс уравнений. с Заметим, что непрерывная зависимость решения у(х. х,, у,), х, (х СЬ (плн Ь (х .( х„), от начальных значений хо и уо означает, что для любого е) О монсцо подобрать Ь(е, Ь) ) 0 такое, чсо нз неравенств !хо хо!СЬ(е Ь) н !Уо — Уо!СЬ(е Ь) следует неравенство ,'У(х, хо, Уо) — У(х, хо, Уо) ! ч. е (!.36) прн хо < х ~Ь (рнс. 1,18). С возрастанием Ь чнсло Ь(е, Ь), вообше говоря, уменьшается н прн Ь вЂ” ь оо может стремиться к нулю. Поэтому далеко не всегда удается подобрать такое число Ь(е) ) О, прн котором неравенство (1.36) удовлетворялось бы для всех х ) хо, т.
е. не всегда решения, блпзкне по начальным значениям, остаются близкими прн сколь уголно больших значениях аргумента. Решение, которое мало изменяется прн пронзвольном, но достаточно малом нзменепнп начальных значений для сколь угодно большнх значений аргумента, называется устойчявым. Полробнее об устойчивых решениях см. гл. 4. Теорема е.З (об аналитической зависимости решения от параметра, теорема Пуанкаре). Решение х(Г, р) дифференциального уравнения х.=у'((, х, р), удоелетеоряюсцее условию х(со)=хо, аналилсически зависит от параметра р е окрестности значения р=по, если функция )' е заданной области изменения Г и х и а некоаорой окрестности точки ро непрерывна по г и аналитически зависит от р и х. 56 дифвеяинцилльныи квлвниния пиввого порядка 1гл, г Аналогичное утверждение справедливо и лля системы уравнений хэ(г)=~,(г, х,, хг, ..., х„, И) (1=1, 2...„п), причем в этом случае предполагается, что функции 7; непрерывны по первому аргументу и аналитически зависят от всех остальных аргументов.
Подробное доказательство этой теоремы, как и других теорем, требующих применения теории аналитических функций, мы не приводим, отсылая читателя к статье А. Н. Тихонова (4), где дано наиболее простое доказательство теоремы об аналитической зависимости решения от параиетра. Идея доказательства А. и. Тихонова сводится к следующему: считая, что р пожег принимать н комплексные значения, доказывается существова- Ь„х(Ь р) дх ние предела 1ип " = — .
что и означает аналитическую зазисиьр-ьо ЬИ др ность решеьи1я от р. Существование этого предела следует из того, что Ь„х отношение —" удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению Ьр д Ьрх Г(Ь х(д р+Ьр), И+Ьр) — Г" (Ь х(т, р), и+Ар) Ь,х(т, р) де Ьр Ьр Ь„х(Г, р) /(г, к (Г, И), р+ ЬИ) — у(д х (Г, И). И) Ьрх 1 + Ьр Ь| ~,=ц — ° решение которого единственно и при стремлении приращения Ьр по любому закону к нулю стремится к единственному решению уравнения дг дУ дУ вЂ” — л+ —, е(т,) = О.
дт дх др ' Теорема 7.4 (о дифферснцируемоста решений). Если в окреспькости точки (хз, уэ) функиия )'(х, у) имеет непрерывные производные до к-го порядка включительно, то реже. кие у(х) уравнения — =7" (х, У), л'у П.37) удовлетворяющее начальному условию у(хв) = у, в некоторой окрестности пгочки (хв, уе) имеет непрерывные производные до ()э+1)-го порядка включительно. Доказательство. Подставляя у(х) в уравнение (!.37), получаем тождество — = — у(х, у(х)), иу (1.37,) и следовательно, решение у (х) имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную 7 (х, у (х)).
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 57 Тогда, в силу существования непрерывных производных функции 7, будет существовать непрерывная вторая производная решения — = — + — — = — + — /(х, у(х)). деу д/ дУ ду дУ дУ д»е дх ду д» д» ду Если /г ) 1, то, з силу существования непрерывных производных второго порялка функции 7", можно, дифференцируя еще раз тождество (1.37,), обнаружить существование и непрерывность третьей производной решения деу де/ д'У д'У дУ 7 дУ д/ — = — + 2 — 1+ — уз+ — ~ — + — У).
дх' д»е дхду ду' ду ~ дх ду Повторяя это рассуждение 7е раз, докажем утверждение теоремы. Рассмотрим теперь точки (х, у„), в окрестности которых решенна УРавнениЯ вЂ” = 7"(х. У), УловлетвоРЯющего Условию У (хо) = Уа. ду д» не супгествует или решение существует, но не елинстяенно. Такие точки называются особыми точками. Кривая. состоящая сплошь из особых точек, называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым. Для нахожления особых точек илн особых кривых надо прежде всего найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, так как только среди таких точек могут быть особые.
Конечно, не каждая точка, в которой нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, обязательно является особой, так как условия этой теоремы достаточны для существования и елинственностн решения, но они не являются необходимыми. Первое условие теоремы существования и единственности решения (см. стр. 40) нарушается з точках разрыва функции 7(х, у), причем если при приближении по любому пути к некоторой наолированной точке разрыва (хв, уэ) функция 7 (х, у) неограниченно возрастает по модулю, то в тех задачах.
в которых переменные х и у равноправны, как мы условились выше, уравнение — = /(х, у) ду д» д» 1 лолжно быть заменено уравнением — =, для которого ду 1(» у) правая часть уже непрерывна в точке (х, уе), если считать 1 Следовательно. в аалачах, в которых переменные х и у равноправны, первое условие теоремы существования и единственности нарушается в тех точках, в которых и функция 7'(х, у) и 1 /(х, у) разрывны. 53 диеегяеицилльные кплвипиия пвгвого попядкл !гл, ! Особенно часто приходится рассматривать уравнения вида Лу М(х, у) лх дг(х, у) ' Лт(х, у) и дг(х, у) непрерывны. В этом случае функ- и „' будут олновременно разрывны лишь в тех дг(х, у) Л (х, у) (!.38) тле функции М(х, у) гг'(х.
у) Рнс. 1.19. Рис. !.20. точках (хр Ур) в которых М(хр, ур)=И(хр у )=О и не сушествует пределов !ип М(х, у) «-э«М(х, у) У +У 1ип )«'(х, у) «.+«М(х. у) У +У Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения (1.38), !!ример 3 Лу 2у Лх х лх х Правые части данного уравнения и уравнения — = — разрывны «'у 2у в точке х= о. у О. Интегрируя уравнение, получим у = рх' — семейство парабол (рис.
1.19) и х = О. В начале координат — особав точка, называемая узлом. Пример 4. лу у лх х $81 ТЕОРЕМЫ СУ!ДЕСТВОВЛНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 59 гт« Правые части данного уравнения и уравнения — = — — рззрывны пу у с в точке х = О, у = О. Интегрируя уравнение, получаем у = — — семейство Х гипербол (рнс. !.20) и прямую х = О. В начале координат — особая точка, называемая седлолс Пример 5. «+у Пх х — у Правые части данного уравнения п уравнения— разрывны лу «+у в точке х = О, у = О.
Иитегрвруя рассматриваемое однородное уравнение (сраиннте с примером 3 на стр. 66). получим: згме— г 1 хз.+у'= сл илн в полярных координатах р = сея — логарифмические спирали (рис. 1.21). Особая точка такого типа называется фокусоль Пример 6. л'у х пх у Правые части данного уравнения и уравнения — = — — разрывны пх у Ду х в точке «=О, у=О. Интегрируя уравнение, получаем х'+у'= — сз — семейство окружностей с центром в начале координат (рнс. 1,22). Особая точка Рпс. 1 22.
Р ис. 1.2 1. такого типа, т. е. особая точка, окрестность которой заполнена семейством замкнутых интегральных кривых, называешься центром. 'В атом примере не существует решения, удовлетворяющего условию у (0) = О. К вопросу об особых точках и их классификации мы с несколько иной точки зрения еще вернемся в главе 4. Второе условие теоремы 1,1 существования и единственности решения — условие Лнпшпца, нли более грубое условие, требующее существования ограниченной частной производной —, чаще всего ду Оу бб ДИффВЯВНПИЛЛЬНЫВ ЯВЛВИПНИЯ ПВИВОГО ПОЯЯДКЛ 1ГЛ ~ нарушается в точках, при приближении к которым — неограиид/ ду 1 ченнно возрастает, т.
е. в точнах, в которых — = О. ду 1 Уравнение — = О, вообще говоря, определяет некоторую крн- дУ ду вую, в точках которой может быть нарушена единственность. Если в точках этой кривой единственность нарушена, то кривая будет особой, если, кроме того, эта кривая окажется интегральной, то получим особую интегральную кривую. р Возможно. что кривая 1 Зуду имеет несколько ветвей, тогда д:ш каждой ветви надо решить вопрос о том.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
