Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В линейном однородном уравнении переменные разделяются: — + р(х)у =О, откуда — = —.р(х)с(х, 4ГУ иу их у Замена переменных е =— Х иися переменными иг е+Х— их нли 1'= еХ приводит к уравнению с разделяющн- 1 — г (1+ е) иг иХ 1+е' 1 — 2е — г' Х ' 1 — 2г — ее 1 =1п ~ Х ( — — )п с, 2 28 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ.! и, интегрируя, получаем 1п ~ у! = — / р (х) ((х+- 1и сн с, > О, у=се л . РФО, (1.10) При делении на у мы потеряли решение у— = О, однако оно может быть включено в найденное семейство решений (1.10), если считать что с может принимать и значение О. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения — „у + р (х) у = г' (х) (1.9) может быть применен так называемый метод вариации постоянной.
При применении етого метола сначала интегрируется соответствующее (т. е. имеющее ту же левую часть) однородное уравнение — + р(х)у=О, иу общее решение которого, как указано выше, имеет вид (х> ех у=се - ( р(х>ех При постоянном с функция се является решением олноролного уравнения.
Попробуем теперь удовлетворить неоднородному уравнению, считая с функцией х. т. е. по существу совершая замену переменных у = с (х) е где с(х) — новая неизвестная функция х. Вычисляя произволную — = — е ° — с (х) р (х) е иу ис — ( > (х>ех — ( р(х> ех и подставляя в исходное неоднородное уравнение (1.9), получим ис -)' р(х> ех — 1 > (х> ех - ( р (х> ел — е — с(х) р(х) е + р(х) с(х) е =у (х) или ис ( р(х>ех — „= Г'(х)е их откуда, интегрируя, находим с (х) = / у'(х) е с(х+ сн ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯЛКА 29 а следовательно, - ) р (х) рх — ) р (х) ех — ) р Рх) лл р ( р (х) ех у = с (х) е =с,е +е ( /(х)е а'х.
(1.1!) Итак, общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения — ) р(х) Ех с,е н частного решения неоднородного уравнения — ) р(х)ех р ) р(х)ех е ) ("(х) е а'х, получающегося из (1.11) при С,=О. Заметим, что в конкретных примерах нецелесообразно пользоваться громоздкой и трудно запоминаемой формулой (1.11), значительно легче каждый раз повторять все приведенные выше вычисления.
Пример 1. су у — — — = х'. ((х х Интегрируем соответствующее однородное уравнение — — — =О, — = —, !п!у1=!п!х(+!пс, у =сх. с(у у ау ех ((х х ' у х ' ПУ ПС Считаем с функцией х, тогда у = с(х)х,— = — х+с(х) и, подставляя ' ПХ С(Х в исходное уравнение, после упрощения получаем сс хл — х = х' или ((с = х ((х, с (х) = — + с(. ((х ' 2 Следовательно, общее решение х5 у = с,х+ —. 2 ' Пример 2.
— — у с(я х = йх 5) П Х. 5Х Интегрируем соответствующее однородное уравнение пу ЛУ СО5 Х вЂ” — ус(ях=*о, — = — ах, с(х у 5(пх !и! У!=!и! 5(пх(+!пс, у =се!пх. Варьируем постоянную с (х) 5(п х, у~ с (х) 5(п х+'с (х) соз х. 30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ.! Подставляя в исходное уравнение, получим с (х) з[п х+ с (х) соз х с (х) соз х 2х з[п х, с' (х) 2Х, с (х) ха+ сь у =х'а[их+с, з[пх, П р и м е р 3.
В влектрической цепи с самоиндукцией происходит процесс установления переменного тока. Напряжение У является заданной функцией времени У = У(т), сопротивление )с и самоиндукция Е постоянны, начальная сила тока 1(0) Е задана. Найти зависимость силы тока /= г'(Г) от времени.
Пользуясь законом Ома для цепи с самоиндукцией, получим л') У вЂ” Š— И. с[! Решение етого линейного уравнения, удовлетворяющее начальному условию т'(О) )Ф согласно (1.11) имеет вид л л с'~ Р )=е Е,+ — / У(!)е и! Е,/ с (1.12) Прн постоянном напряжении У Уа получим л с !) С) Интересен случай синусоидального переменного напряжения У = А з[п Фт. Прн атом согласно (1.12) получим л / л с' А ' с' I = е тс + — ) е а[пасс[а Е,~ о Стоящий в правой части интеграл легко вычисляется. заменой переменных у =х сводится к линейному уравнению.
Лейл'у Лх ствительнс, дифференцируя у'-" =г, находим (1 — и)у "— = — „ и, подставлия в (1,13), получим линейное уравнение — — + р(х) В =у" (х). [ Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. Например, уравнение Бернулли, имеющее вид — +р(х)у=у(х)у", пчь1, м,т или у +р(х)у = у(х), (1.
13) лннепные килвнення ининого пояядкл Пример 4 лу у х' — — +— йх 2х 2у' лу уа лу 2у — = — + х', у' », 2у — =* —, Лх х Лх их ' и» вЂ” = — +х' их х и далее, как в примере 1 стр. 29. Уравнение — у + р (х) у + а (х) ут = у (х), называемое уравнением Риииати, в общем виде не интегрируется в квадратурах, но может быть зал~зной переменных преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение у,(х) етого уравнения. Лействительно, полагая у = у, + г, получим у,'+ г'+ р(х)(у, + г)+ д (х)(у, + г)'=у (х) или, так как у,'+р(х)у,+д(х)уз1=~(х), будем иметь уравнение Бернулли г' + ! р (х) + 2а (х) у,) г + а (х) г' = О. Пример 5. йу 2 ус с'х хл ' 1 В етом примере нетрудно подобрать частное решение у, —.
Полагая 1 к / 1, 1 г 11 2 у»+ —, получим у'=»' — —, »' — — =~» (- — 1 — —., или х х'' х' 1 х) х'' »' »'+ л — — уравнение Бернулли. »' 2 1 Ли — = — +1, и= —, »' х" ' »' йх Ли 2и Ли 2их — — — — 1 и'х х ' и х 1п1и1= — 21п 1»1+)пс, и = —, и = —, с с(х) х" ' х с' (х) х' х' — 1, с(х) = — — +с 3 с, х 1 с, х 1 с, х и х' 3 ' » ха 3 ' 1 х' 3 у —— х 1 Зх' у + а' х с,-х' 32 ДИФФЕРЕНПНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЛ. ! ф 6. Уравнения в полных дифференциалах Может случиться. что левая часть дифференциального уравнения М(х, у)л!х+М(х. у)йу=О (1. 14) является полным дифференциалом некоторой функции и(х, у): !(и (х, у) = А4 (х. у) с!х + М (х, у) ггу и, следовательно, уравнение (1.14) принимает вид с(и(х, у)=0.
где с — постоянная, н наоборот, если некоторая функция у(х) обращает в тождество конечное уравнение (1.15), то, дифференцируя полученное тождество, получим !(и(х, у(х))=0, и следовательно, и(х, у)=с, где с произвольная постоянная, является общим инте. гралом исходного уравнения. Если даны начальные значения у(хе) =ум то постоянная с определяется из (1.15) с=и(хе, уе) и (1.
15,) и(х. у) =а(хш ус) ди является искомым частным интегралом. Если — = М (х. у) Ф 0 ду в точке (хе, уе). то уравнение (1.15,) определяет у как неявную функцию х. 1(ля того чтобы левая часть уравнения (1.14) М (х, у) г(х + М (х, у) ду являлась полным дифференциалом некоторой функции и(х. у), как известно, необходимо и достаточно, чтобы дМ(х, у) дМ(х, у) ду дх (1.16) Если вто условие, впервые указанное Эйлером, выполнено, то уравнение (1.14) легко интегрируется, Действительно, г(и = М !2х+ М!ау. С другой стороны. ди ди !(и — — !(х + —. !(у.
дх ду Если функция у(х) является решением уравнения (1.14), то с!и (х, у (х) ) = — О, и, следовательно, и(х, у(х)) =с. (1.15) УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ а 5) Следовательно, — = М(х, у); — =))1(х, у), ду откупа и ( х, у) = ~ М (х, у) г(х + с (у). интеграла ~ М (х, у) и)х величина у рассматривается поэтому с(у) является произвольной функцией у. При въ)числении как постоянная, и; у/ ь Аду Аиух/ Рнс.
!.10. Лля определения функции с(у) дифференцируем найденяую функцию ди и(х. у) по у и, так как — =)))(х, у), получим ду — ~~ М(х, у)с(х)+ с'(у) =1))'(х, у). Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломзную, составленную из двух звеньев, параллельных осям координат(рис. 1,10); в этом случае :,Х, У) )Х, У) хь у~) Из этого уравнения определяем с'(у) и, интегрируя, находим с(у). Как известно из курса математического анализа, еще проще можно определить функцию и(х, у) по ее полному дифференциалу с(и = М(х, у))(х + )))'(х, у) г(у, взяв криволинейный интеграл от М (х, у)и)х + )А)(х. у)с(у между некоторой фиксированной точкой (х,, уе) и точкой с переменными координатами (х, у) по любому пути: )Х, У) и(х, у) = а~ М(х, у) с(х-+йг(х, у))(у. )Х„У,) 34 ДНФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ.
1 ИЛИ Рь У1 аю, У> ,Х У( уИ ((х+ М (ту = ~ 1(! ду + ~ М ((х. (Ха уа! (ха, У ( их у' Пример 1. (х+ у+ 1) дх+(х — уз+3) ду О. Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функ- ции и (А, у), так как д(х+ у+1) д(х — у'+3) ду дх ди ха — =«+у+1, и= — +ху+х+с(у), дх 2 дк — =х+с'(у), х+с'(у)=х — уз+3, ду уа с'(у)= — у'+3. с(у) — — +Зу+си 3 ха уа и — + ху + х — — + Зу + сь 2 3 Следовательно, общий интеграл имеет вид Эха+ бху+ бх — 2у'+ 1Зу се (1.17) Можно применить и другой метод определения функции и (х, у): (ю у( м(х, у) ~ (х+ у+ !) их+(х — уз+3) а(у, (х,у ! За начальную точку (ха, уа) выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования — изображенную на рис.
!.1! ломаную. Тогда (ю 0( (Х, У'' и(х, у) = (х+1) дх+ (х — уа-1-3) ду = — + х-1- ху — .1 +Зу 2 (0, 0! (ю О) и общий интеграл имеет вид х' уа — + х+ ху — — + Зу = с 2 3 или как в (1. 17). В некоторых случаях, когда левая часть уравнения М (х, у) ((х + М (х, у) ((у = 0 (1.14) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию р(х, у), после умножения на которую левая часть уравнения (1,14) превращается в полный днфференниал а(и =)а(И с!х +)ай с(у, УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕННИАЛАХ 35 х дх+ у ну+ (хг+ уг) хг дх О.
1 Очевидно, что после умножения нз множитель П=,, левая часть прехг+ уг вращается в полный дифференциал. Действительно, после умножения на 1 И г г нол)'чнм х'+ уг х дх+ у ду х'+ уг 1 хз нлн. интегрируя, — 1п(х'+у')+ — =1пее Умножая на 2 н потенцнруя, 2 3 будем иметь (хг -1. уг) е з Конечно, далеко не всегда иноегрирующий множитель подбирается столь легко. В общем случзе для нахождения интегрирующего множителя надо подобрзть хотя бы олно не равное тождественно пулю частное ре- р шение уравнения в частных производ- ных онМ АЖ ду дх или в развернутом виде — гИ+ р — = — гу'+ — (г, ди дМ ди дМ ду ду дх дх Рнс. 1.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
