Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ниже излагаются иетоды интегрированна лифференииальных уравнений и простейшие способы исследования их решений. ГЛАВА ! ДиффЕРЕНПИАЛЬНЬ)Е УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде — =У(х, у). лу Простейший пример такого уравнения — = у'(х) еу ех рассматривается в курсе интегрального исчисления.
В атом простей- шем случае решение у = ~ / (х) 4х+ с содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение у(х„) = у,, тогда к у=ус+ ) у(х) "х. В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию у(х, у), уравнение =у (х у) также имеет единственное решение, удовлетворяющее условию у (хе) = =у, а его общее решение, т. е. множество решений, содержащее все беа исключения решения.
вависит от одной произвольной постоянной. 1б диеозяяицилльиыя твлвияиия пвгвого повадка 1гл. г Пример 1. лу у а'х х' Рнс. 1.1. В каждой точке, отличной от точки 10, О), угловой коэффициент касательной к искомой внтегральной кривой равен отношению —, т. е. совпадает с угу х' левым коэффициентом прямой, направленной аз начала координат в ту же l)'ч 1 /' ,х Рнс. 1.З. Рис.
1.2. точку 1х, у). На рис. 1.2 стрелками изображено поле направлений, определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что интегральными крнвымв в данном случае будут прямые у:с.т так как направления этна прямых всюду совпадают с направлением поля Пример 2. Фу х ох у' дифференциальное уравнение — = у' 1х. у) устанавливает вавилу и'х симость между коорлинатами точки и угловым коэффициентом касательной — к графику решения в той же точке. Зная х и у, можно ку лх вычислить —.
Следовательно. дифференциальное уравнение рассмаку ах ' триваемого вида определяет поле направлений 1рис, 1.1) и задача интегрирования лнфференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными нриамгги, направление касательных к которым з каждой точке совпалает с направлением поля. 4 н яелвнення, нязнешенные относительно пеонзводнои 1у Замечаем.
что угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым — — и угловой козффнцнент касательной — к интегральным крих у У х вым примера ! в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности: — — — = — 1. Следовательно, поле направлений, определяемое рассматрих у у х ваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений, изображенному на рис. 1.2. Очевидно, что интегральными кривыми уравне- х ння — = — — являются окружности с центром в начале коордннат х'+ к'х у +у' = с' (рис.
!.3) (точнее, полуокружностн у=-) с' —.к' и у = — Ус' — х'). При мер 3. — у = г' х'+ уд пх Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинажи. Уравнение изоклин получим, считая — = й, где к — постоянная; р х' + у' = А нлн х + у' = й . 2 т ггх Следовательно. в данном случае изоклннами являются окружности с центром в начале координат.
причем угловой козффициент касательной к искомым Рнс. 1.4. интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной Ф некоторые определенные значения (см. рис. 1.4 слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые инте. гральпые кривые (см. рис. 1.4 справа). Пример 4.
у' = 1+ ху. Изоклннамн являются гиперболы Я=ху+1 или ху=я — 1. причем при й =! гипербола распадается на пару прямых х= О и у=О (рис. 1.5). Прн Л = О получаем изоклину 1 + ху = О; ага гипербола разбивает плоскость нз части. в каждой из которых у' сокраняет постоянный знак (рнс. 1.6). Интегральные кривые у = у(х), пересекая гиперболу 1 + ху = О, переходят из области возрастания функции у (х) в области ее убывания или, наоборо~, 2 л. э.
эльсгчльк 18 дифевгинцилльиын кнлвнвния пивного попядкл (гл, ~ из области убывания в область возрастания. и следовательно, иа ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых. Рис 1.5. Рис. 1.6. Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости: у" = ху'(- у или у' х (1-(-ху)(- у л -)-(ха-(- 1) у. Кривая л+ (л'+ 1) у О или х у 1+и' (рнс. 1.7) разбивает плоскость на две части, в одной иа которых у' с О, и следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх. а в аругой у' > О, и значит, интегральные кривые вогнуты вверх. у При переходе через кривую (1.1), интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и следовательно, на атой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых В результате проведенного исследования известны области возрастания и Рис.
1.8. Рис. 1.7. убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума, и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина й = !. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых эя кплвнеиия с ялздвляюшимися пвявмиииыми !9 (рис.
1.8), но можно было бы вычертить еще несколько изоклин, что позво- лило бы уточнить расположение интегральных кривых. Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического харзктера, переменные х и у совершенно равноправны.
Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифференциального уравнения (1.2) естественно наряду с уравнением (1.2) рассматривать также уравнение гл 1 еу 1(л у) Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция у=у(х) является решением уравнения (1.2), то обратная функция х=х(у) является решением уравнения (1.3), и следовательно, уравнения (1.2) и (1.3) имеют общие интегральные кривые. Если же в некоторых точках одно из уравнений (1.2) или (1.3) теряет смысл.
то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений. Например, уравнение — = — теряет смысл при х=О. Заменив еу у еХ Х е'х л его уравнением — = †, правая часть которого уже не теряет еу у смысла при к =О, находим в дополнение к ранее найденным решениям у=ах (см. стр. 16) еше одну интегральную кривую к=О этого уравнения. ф 2. Уравнения с разделяющимися переменными дифференциальные уравнения вида у,(у)ду= у,(х) е(х (1. 4) называются уравнениями с разделенными переменными.
Функции Л(х) и /а(у) будем считать непрерывными. Предположим, что у (х) является решением этого уравнения, тогда при подстановке у(х) в уравнение (1.4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь: ~ у,(у) Ну= ~ у,(х)Их+с, (1.5) где с — произвольная постоянная. Мы получили конечное уравнение (1.5), которому удовлетворяют все решения уравнения (1.4), причем каждое решение уравнения (1.5) ко диФФеРенциальные уРАВнения пеРВОГО пОРядкА 1Гл. т является решением уравнения (1.4), так как если некоторая функ- ция у(х) при подстановке обращает уравнение (1.5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что у(х) удовлетво- ряет и уравнению (1А). Конечное уравнение Ф(х, у) = О, которое определяет реше- ние у(х) дифференциального уравнения как неявную функцию х, называется инлгегралолг рассматриваемого дифференциального урав- нения.
Если это конечное урзвнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рзссматриваемого дифференциального уравне- ния. Следовательно, уравнение (1.5) является общим интегралом уравнения (1.4). Для того чтобы уравнение (!.5) определяло у как неявную функцию х, достаточно потребовать, чтобы уз(у) + О. Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы ~ г",(х)к(х и 1 у2(у)Юу нельзя будет выразить в элемен- тарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (1.4) выполнен- ной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изу- ченной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопре- деленных интегралов — квадратур ч).
Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию у(хэ) = уз, то оно, очевидно, определитси иэ уравнения У к уз (у) ау = ~ 1, (х) ~(х, У к которое получим из У к к 2(у)су ~ Л (х) к(х+с, г к, воспользовавшись начальным условием у(хз)=у . Пример 1. х ах+ у пу =О. Переменные разделены, так как коэффициент при пх является функцией только х, а коэффициент при пу является функцией только у. Интегрируя, получим х Лх4- ~ у Лу с или хк-1-у'=аз к) Тзк как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
