Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 6
Текст из файла (страница 6)
которое после деления на р и переноса некоторых членов в другую часть равенства приводится к виду д!п и ОПИ д)У дги — гИ— И= — — —. ду дх дх ду (1.1 8) В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.18) не представляет затруднений. Кроме того, считая, что интегрирующий мноя<итель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только х+ у или только хг+ уг, или функцией только х, или только у и т. д.), можно уже бев труда проинтегрировать уравнение (1,18) и Такая функция р называется интегрирующим множителем.
Заметим, что умножение на интегрирующий множитель р(х, у) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Пример 2. Зб ДНФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ ! указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует.
Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден. Например, найдем условия, при которых уравнение М с(х+)ч' г(у=0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, р=р(х). При этом уравнение (1.18) упрощается и приобретает вид «1п Р ду дм — — М= — —— дх дх ду ' дМ ШЧ ду дх откуда, считая непрерывной функцией х, получим дМ дйг 1и р = 1 дх+1и с, "ду д. э.и дл' ('зу з р= сед '" а'х. (1. 19) Можно считать с=!, так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель. дМ д)У Если — является функцией только х, то интегрирующий ду дх Ф множитель, зависящий лишь от х, существует и равен (1.19), в противном случае интегрирующего множителя вида р(х) ие существует. Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х, выполнено например, для линейного уравнения — „у +,о(х)у= у(х) и '(р(х) у — г (х)) г(х+ у =0.
П р и и е р 3. Имеет ли уравнение х дх+ у ду+ х ду — у дх =0 (1.20) интегрирующий множитель вида й = Р(х'+ у')7 Обозначим х'+у'=а. Уравнение (1.18) при Н= Р(х'+у') = к(а) пря пинает вид д1п и дЖ дМ 2 (Му — Дгк) да дх ду ' дМ дЛ ду дх Лействительно, АГ = р(х) Совершенно аналогично могут быть интегрирующих множителей вида р(у), р(х+ у), )А(хз+ у') и, следовательно, р= е) Ргх лх найдены условия существования )А(х у), (г( — ) и т. д.
ВУ УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНПИАЛАХ откуда 1п ! р ! = — ) Ф (л) да -1- гп с ! 2 ./ или à — е гкгел р = се (1.21) где г)дг дМ дх ду ~М вЂ” Му Жх )(ля существования интегрирующего множителя заданного вида необходимо ддг дМ дх ду и в предположении непрерывности Ф(е) достаточно, чтобы Му — 1)(х была функцией только х' + уд В данном случае д)У дгИ дх ду Му — г*г'х х'+ у' следовательно, интегрирующий множитель И=И(хг+уг) существует и ра- вен (1.21). При с = 1 получим н=е -~Ф Умножая уравнение (1.20) на р=... приведем его к виду 1 хг + уг ' хдх+уду хду — удх хг ! уг + Аг ! уг или — д(хг+у') д ~ — ) хг -..
),г + 1+~ ) — д!п(хг+ у') -(- д агс)Я вЂ” =О. г г у 2 х Интегрируя, получим !П ГгХ'+ у' = — ате)Š— +!ПС, у и после потенцироваиия будем иметь — ггкгл— У )Гхг+уг = се к 38 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ.! или в полярных координатах р сл е — семейство логарифмических спиралей. Пример 4. Найти форму зеркала, отражающего параллелыю данному направлению все лучи, выходящие из заданной точки.
Поместим начало координат в заданную точку н направим ось абсцисс параллельно заланному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает на зеркало в точке М (х, у). Рассл~отрим изображенное на риг. 1.!2 сечение зеркала плоскостью Оху, проходящее через ось абсцисс и точку Лй Проведем касательну1о Л11т' к рассматриваемому сечению поверхности зсркала в точке М (х, у). Так как угол падения луча равен углу отра- женка, то треугольник МдгО равнобедренный. Следовагельно, 18е=у' = х+ )' х'+у' Полученное однородное уравнение легко интегрируется ааменой переменных Рис. 1.12.
х у ио еше проще, освободившись от иррациональности в знаменателе, переписать его в виде х лх+ у лу = 1'хз+ ут лх. Уравнение имеет очевидный интегрируюшяй множитель р= 1 х Лх+ у и'у = Лх, )Гхт+у' = х+с, уз = 2сх+ аз )/ х'+ у' )гхз+ у' (семейство парабол). 3 а меч ание.
Эта задача еше пронге решается в координатах х и р, где р = )'хз + у', при этом уравнение сечения искомых поверхностей приобретает вид Лх = л'р, р = х+ с. Можно доказать существование интегрирующего множителя, или, что то же самое, существование ненулевого решения ураннения в частных производных (1.18) (см. стр. 35) в некоторой области, если функции М и И имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из этих функций не обращается в нуль.
Следовательно, метод интегрирующего множителя можно рассматривать как общий метал интегрирования уравнений вида М(х, у) ах+И(х, у) с(у=0, однако ввиду трудности нахождения интегрирующего множителя этот метод чаще всего применяется лишь в тех случаях, когда интегрирующий множитель очевиден. 39 $ Я ТЕОРЕМЫ СУШЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ф 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения — =У(х, у) ау ах Класс интегрирующихся в квадратурах дифференцизльных уравнений весьма узок, поэтому уже со времени Вилера приближенные методы в теории дифференциальных уравнений приобрели большое значение. В настоящее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники приближенные методы приобретают еше несравненно большее значение.
Теперь 1асто целесообразно применять приближенные методы даже в тех случаях, когла уравнение интегрируется в квадратурах. Более того, если даже решение может быть несложно выражено в элементарных функциях, то нередко использование таблиц этих функций оказывается более трудоемким, чем приближенное интегрирование урав- ( пения на быстродействующей машине. Однако, для того чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифферен- $ циального уравнения, надо прежле ~Я всего быть уверенным в существовании искомого решения, а также и в единственности решения, так как при отсутствии елинственности остается неясным, какое именно решение требуется приближенно определить.
Чаше всего доказательство теорем существования решения одновременно лает и метод точного или приближенного нахожления решения, что еще более увеличивает значение теорем существования. Например, доказываемая ниже теорема 1.1 дает обоснование меглода Эйлера приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, который заключается в том, что искомая интегральная кривая дифференциального уравнения — =у(х, у), прохолящая через точку (гу с'х (хе, у„). заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков (рис, !.13), каждое звено которой касается интегральной кривой в олной из своих граничных точек.
При применении этого метода для приближенного вычисления значения искомого решения у(х) в точке х=)), отрезок хе~~х ((( (если д ) хе) делится на а равных частей точками хе, х,, хз, ..., х„п х„, тле х„=б. Длина каждой части х,, — х,=л называется шагом вычисления. Приближенные значения искомого решения в точках хг обозначаем ун )(ля вычисления у, заменяем на отрезке хо (х (х, искомую интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (хо, уо).
Слеловательно, у,=уз+Ау', где уо',=/(хо. Уо) (см. рис. 1.1о). Аналогично вычисляем.' у = У~+ пуг где У1 =/(хг У1): у,= уз+ йу,', гле у,'=Т(х,, у,); У„= У„~+ йуо„п гле У„1= Т(хо и У„|) Если Ь ч. х„, то схема вычислений остается прежней, но шаг й отрипателен. Естественно ожидать, что при й-ьО ломаные Эйлера приближаются к графику искомой интегральной кривой, и слеловагельно, с уменьшением шага й метод Эйлера дает зсе более и более точное значение искомого решения в точке Ь.
11оказательство этого утвержаения одновременно приведет нас к следующей фундаментальной теореме о существовании и елинственности решения уравнения — = Т(х, у) ех с начальным условием у(хо)=ус при весьма общих достаточных условиях, изложенных на функцию Т'(х, у). Теорема АТ (о существовании и единственности реигенан). Если в уравнении «х еу (1.22) функция Т(х, у) непрерывки в прямоугольнике П: хо а~~к(хо+а уо Ь~(у(уо+Ь и удовлетворяет в ь) условию Липшица: 1Т(х, у,) — Т(х, уз)! (И~у, — Уо~. где М вЂ” постоянная, то существует единственное решение у =у(х), хо — Н < х <хо+ Н, уравнения (1.22), удовлетворяющее условию у(хо)=уо, где Н(ш1п(а, —, й.1, Ь ! Я=шах Т(х, у) в В.
Условия теоремы нужлаются в некоторых пояснениях. Нельзя утверждать, что искомое решение у=у(х) уравнения (1.22А удовлетворяющее условию у(х ) =уз, будет существовать при хо — ач '. ~;х ц„хо+а, так как интегральная кривая у=у(х) может выйти 40 днеевванпнальныз яоавнзния ивового пооядкя ~гл. г Ф и тяояямы схшяствования и алинсгванности 41 из прямоугольника 0 через его верхнюю нлн нижнюю стороны у = уц + Ь (рис. 1.14) при некотором значении х = хн хц — а < х, ( (ха+ а, и тогда, если хг) хц, при х) х1 решение уже может быть не определено (если х, ( х, то решение может быть не определено при х ( х,). Можно гарантировать, что интегральная кривая у=у(х) не выйдет за прелелы области О при х, изменяющемся на н-ь и -и +-.=.—.-...;.Ж Рис, 1,15.
Рис. 1.14. отрезке хц — Н ( х ( хц+ Н, гле Н вЂ” наименьшее из двух чисел а, — (рис. 1.15), так как угловой коэффициент касательной к искомой Ь М интегральной кривой заключен между угловыми коэффициентами М и — М прямых, изображенных на рис. 1.15. Если эти прямые, между которыми заключена искомая интегральная кривая, выходят за пределы прямоугольника О через его горизонтальные стороны у = уз + Ь, ч то абсциссы точек пересечения этих сторон будут ха+ —, следо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
