Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 7
Текст из файла (страница 7)
вательно, абсцисса точки выхола интегральной кривой из прямо- Ь угольника В может быть лишь меньше или равна хц+ — и больше М Ь или равна хц — — . М' Можно доказать сушествование искомого решения на отрезке Ь 1 х Н <х (хц+Н, где Н=гп!п(а, — ), олнако проше вначале доказать сушествованне решения на отрезке хц — Н (х (хц+Н, Ь где Н(ш(п(а, —.
— ), а в дальнейшем будут указаны условия, и' )ц)' прн выполнении которых решение может быть продолжено. Условие Липшица (/(х, у,) — г(х, уз)! (И) у, — уз) 42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. ! то, пользуясь теоремой о конечном приращении, получим )У( У1) —.Г( Уа)!=У'( Ь)|У,— У,) где ь — промежуточное между у, и уа значение. Следовательно, точка (х, Ц) лежит в 1), поэтому (у (х ц)~ (дг н 17 (х у1) — у(х уа)~ ~(дг!у1 уа! Нетрудно привести примеры функций у' (х, у) (например, у(х, у)=!у~ в окрестности точек (х, 0)), лля которых условие Липшнца выполнено, но производная — в некоторых точках не дУ ду существует., следовательно, условие ~ — ~ с.М является более гру- дУ ду 1 бым, чем условие Лнпшица. Доказательство теоремы существования и единственности.
Заменим дифференпиальиое уравнение —.=/ (х, у) ду (1. 22) с начальным условием у(ха) =уз эквивалентным интегральным уравнением (!.23) у = у + ~ г'(х, у) ах. (! .24) Действительно, если некоторая функция у = у(х) при подстановке обращает в тождество уравнение (1.22) и удовлетворяет устовию (1.23), то, интегрируя тождество (1.22) и принимая зо внимание условие (1.23), получим, что у = у(х) обращает в тождество и уравнение (!.24). Если же некоторая функция у=у(х) при подстановке обращает уравнение (1.24) в тождество, то она, очевидно. удовлетворяет и условию (1.23), а дифференцируя тождество (1.24), получим, что у =у(х) обращает в тождество и уравнение (1.22).
Строии ломаную Эйлера у=у„(х), исходящую из точки (ха, уз) О с шагом Ь„= — на отрезке ха~(х (хз+Н, а — целое положи- может быть заменено несколько более грубым, но зато обычно легко проверяемым условием существования ограниченной по модулю частной производной у'(х, у) в области О. т Действительно, если в прямоугольнике В 1У„'(х, у)! (И, а в1 ТЕОРЕМЫ СУ!!ьвСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 43 У,',(х) = 7 (хь, Уь) пРн хь < х " хь н гг = О, 1, ..., и — 1 (в угловой точке хь взята правая производная), или »„'(х)=У(х, у„(х))+~У(хь, у ) — У(х, у„(х))Я (1.2б) обозначим У(хь, у ) — 7(х, у„(х)) =ь),(х). В силу равномерной непрерывности фуцкцин 7(х, у) в 0 получим (Ч„(х)~ =1)'(х„у ) — 7'(х.
у„(х))! < е„(1.26) при я .Р )Ь) (е„), гле е„— ь О при и — ь со, так как ~х — хь ! «<)ги, а ) уь — у„(х)) < г)4)гь и )ге = — — ь О при я — ь сю. Н ь Л Интегрируя (1.25) по х в пределах от хс до х и учитывая, что у„(хз) = у„, получим к Х У.(х)=Ус+ ~ У(т У,Ф) 1+ / т).(1) 1. х, к, (1.27) Здесь и может принимать любое целое положительное аначение, сле- довательно, при целом т Р О уь+ы(х) =ус+ ~ У(1' уь+н(1)) а!1+ / т(ь+ьь(1) а!1 (1 22) тедьное число (совер!пенно аналогично доказывается существование решения на отрезке хе — Н < х < хе). Ломаная Эйлера, проходящая через точку (хт у„), не может выйти из области В при хь <х < <хв+ Н (нли хь — Н <х < хс), так как угловые коэффициенты каждого звена ломаной по модулю меньше гт4.
Дальнейшее доказательство теоремы разобьем на три этапа; 1) Последовательность у=у„(х) равномерно сходится. 2) Фунниия у(х) = Ош у„(х) является решением интегрального уравнения (1.24). 3) Решение у(х) уравнения (1.24) единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о 1). По опрелелению ломаной Эйлера 44 диееияеицилльные гплинення пвявого пояядкл Вычитая из (1.28) почленно (1.27) и взяв модуль разности, получим х !У, (х) — у„(х)!= ) (у(Р, у„, (Р)) — $(г, у„(1))!!! -1- + 3 т! (а)сса ! р) (а)ла < с, к с ~~ ~ !у(г У (г)) — г(!. У,(1))!р(т+ к'а к + ~!ч„,.(!)!д!+ ~!и,(!)!и к, при хв (х.(х,+ Н или, принимая ао внимание (!.26) и условие Липшица: .с !у.+ (х) — у"(х)! <И Г!у"' (г) — у„(г)!р(г+(е„, +е„) и.
Слелозательно, риал !у„„(х) — у„(х) ! ( кр аС х < к, к И .с ~(И шах ) !ул+,„(!) — Ул(!)!Ю+(е„,,к+ел)Н, откуда к, < к < к, а- ц для любого е ) 0 при лостаточно большом а > И, (е). Итак, п1ах (у„„„,(х) — у„(х)! ч. е ка < х < как Ы при и «И,(е), т. е. последовательность непрерывных функций у„(х) равномерно сходится при хе ( х ~С хе+ Н: у„(х) — у(х). где у(х) — непрерывная функция.
Доказательство 2), Перейдем в уравнении (1.27) к пределу при п-«оса: х к !цпу„(х)=уз+ Вш ~ у(х, У„(х)) рах+ !пп ~ т)„(х)с!х л-«оа л-р ла л.«аа ка хр $ з1 теовемы скществовлния и единственности или У(х)=Уз+ 1пп ~ У(х, У„(х))дх+ 1ни ~ т1„(х)с(х. (1.29) л-л ю л.ллл к, к В силу равномерной сходимости у„(х) к у(х) и равномерной непрерывности функции Г'(х, у) в О последовательность ~(х, у„(х))~ь ..У(х, у(х)). Действительно, ~7'(х, у(х)) — г'(х, у„(х)) ~ < е, где е ) О, если (У(х) — У„(х)~ < б(е), но 1У (х) — Ул (х) 1 < й(е), если и ) Л(, (Ь(е) ) для всех х из отрезка хв < х < хе+к Н. Итак, |г(х, у(х)) — г(х, у„(х))! < е при п ) тл',(6(е)), где М, не зависит от х.
В силу равномерной сходимости последовательности )'(х, у„(х)) к г(х, у (х)) в (1.29) возможен переход к пределу под знаком интегРала. ПРинимаЯ, кРоме того, во внимание, что ~т1л(е)! < е„, где е„-э.О при п †> со, окончательно в (1.29) получим х у (х) = уз+ ( у (х, у (х) ) г(х. к Итак, у(х) удовлетворяет уравнению (1.24). Д о к а з а т е л ь с т в о 3). Допустим существование двух несовпадающих решений у,(х) и у,(х) уравнения (24).
следовательно, шак ~у,(х) — уа(х)( ФО. к.~хКкл+Н Вычитая почленно из тождества к у, (х) = — уз+ ~ у (х, у, (х) ) их к, тождество у,(х)— = у,+ ~ у (х, у,(х))а~х, к, получим у,(х) — уз (х) = ~ [~ (х. у,(х) ) — у (х. уз(х) )1 л(х. хл 46 диефгввнцнлльные хялвнения паевого пояядкл 1гл. г Следовательно, шах (у,(х) — у (х)~ = хл К.х С «,ЛН х, <к<хлои х. у! (х) ) — !' (х ут (х) )) глх ( с ) !!' (х, у,(х)) — х (х, ут(х))/ г(х х„ ( щах к, Сх:Сх«Л.Н Пользуясь условием Лнпшнца, будем иметь плах 1ул(х) — у,(х)! (И и!ах ~ 1у!(х) — у,(х)! г1х ( к,~к Кклл и «л Л хм«.,-«Н~ <И шах 1У,(х) — Ут(х)( !пах ~ 1 г(х к, С«~к, л-и к~к Кх лг! ~ ль =МН шах (у,(х) у (х)~ кл К к ж х.
+ Н Полученное неравенство !пах (У! (х) — Уз (х)! ~( МН шах (У! (х) — у, (х) ( (1.ЗО) х«К« Ч х,~-н х, М к,. х, !- Г! противоречиво, если и!ах (у! (х) — у,(х)~ Ф О, так как по услох,<х К к««Н 1 вию теоремы Н< —, а из (1.ЗО) следует, что МН=1.
л! ' Противоречие снимается лишь прн шах 1у! (х) — уа(х)! = О, хл~х~к,еы т. е. если у,(х)= — у,(х) при х, < х ( хе + Н. Зал!еча и и е 1. Существование решения уравнения (1.22) можно было бы показать иным метолом лишь в прелположении непрерывности функции Г'(х, у) (без условия Лппшица), однако одной непрерывности функции Г" (х, у) недостаточно для локазательства единственности решения. 3 ам е ч а н не 2.
Существование и единственность решения у=у(х) доказаны лишь на отрезке хе — Н < х < х, + Н, олнако, взяв точку (хе+Н, у(хе+ Н)) за начальную, можно, повторив рассужление, продолжить решение еще на отрезок длины Нц если, конечно, в окрестности новой начальной точки выполнены условия теоремы существования н елинственности решения. Прололжая этот процесс 5 а! тиогпмы сзщзстиовлиня и идинствпиностн 47 в некоторых случаях, можно продолжить решение на асю полуось х )~ хе нли даже на всю ось — со < х ( со, если продолжить решения и в сторону меньших значений х. Однако возможны и другие случаи, даже если функция г (х, у) определена для любых значений х и у.
Возможно, что интегральная кривая становится непродолжасмой ввиду приближения к точке, в которой нарушены условия теоремы Ряс. !.!6. Рис, 1.!7. существования и единственности решения или интегральная кривая приближается к асимптоте, параллельной оси Оу.
Этн возможности иллюстрируются следующими примерами: г(у х 1) — = — —, у(0) =1. Разделяя переменные н интегрируя, получаем г(х у' с=1, у=)д1 — х'. х'+ у' = с', у = щ )' с' — х', Решение иепродол>каемо за пределы интервала — 1 < х < !. В граничных >(у х точках ( — 1, О) и (1, О) правая часть уравнения — = — — разрывна. Усло- >гх у вия теоремы существования решения нарушены (рис.
1.16). 2) — =у', у(1) =1. Разделяя переменные и интегрируя, получим 1у с>х ! 1 у= — —, с='2, у= — —,, х — с' ' х — 2' и интегральная кривая продолжаема лишь до асимптоты х = 2 ( — со < х < 2) (рис. 1.17). В настоящее время теоремы существования н единственности решеНий не только дифференциальных уравнений, но и уравнений иных типов очень часто показывают методом неподвижныд точек. 48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Ь Простейшей теоремой о неподвижных точках является принцип сжатых отображений. Принцип сжатых отобраогсений.
Если в метрическом ") полном "*) пространстве М задан оператор А. Удовлетворяющие условиям: 1) оператор А переводит точки пространства М в точки того же пространства: если У~М, то А!у)~М; 2) оператор А сближает ьпочки, точнее, р(А!У1, А1«1) (ар(у, «), где у и « — любые точки пространства М, а(1 и не зависит от выбора у и «, р(у. «) — расстояние между точками у и « в пространстве М, то сущесльвует единственная неподвижная точка у пространствп М, А!У1 =у, и вта точка может быть найдена методом последовательных проб ьижении, ль. е.
у = 1пп у„, где у„= А !У„,1 (п = 1, 2, ...), причем точки уо ь-+ю выбираелься е пространстве М произвольно, Доказательство. Докажем, что последовательность Уо Уь Уз ' '' Ул' фундаментальна. Оценим расстояние между соседними членами этой последовательности: Р(уз Уь) =Р(А(уь! А !Уо1) ~(ир(уь Уо) 1 р(уы уо) =р(А !Уо!, А !У,!) ~4пр(уо, уь) <атр(уь, У„), (1.З1) Р(уз ° у,)=Р(А!У„1, А!У„,1) ( <ар(уьл У.— ) <ц РО Уо) ') Пространство М называется метрическим, если в нем определена функция р(у, «) пар точек этого пространства, удовлетворяющая для любых ~очек у и «рассматриваемого пространства усаовиям: 1) р(у, «) м, О, причем р(у, у) =О и из р(у. «) =О следует у=«; 2) р(у* «) =р( у)! 3) р(у, «)~Р(у, и)+р(и, «) (правило треугольника).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
