Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Резкое изменение какой-нибудь разности указывает на то, что при выбранном шаге и могут оказаться неучтенными особенности изменения функции на рассматриваемом отрезке, что может повлечь за собой значительные ошибки при вычислении улчи Однако все эти соображения не являются вполне надежными, а более точные оценки погрешности оказываются весьма громоздкими и неудобными. Поэтому обычно применяют следующий практически достаточно надежный метод: выбрав, исходя из указанных выше неточных бб дифэвввнцилльпые квлвнвния пвввого пояядкл <гл соображений, некоторый шаг И, проволят вычисления по' одной из формул л Штермера с шагом И и — и сравнивзют результаты в общих точках.
2 Если в пределах заданной точности результаты совпадают, то считают, что шаг И обеспечивает заданную точность вычисления; если же результаты в пределах заданной точности не совпадают, то снова л л уменьшают шаг влвое и проводят вычисления с шагом — и — и т, = у (х»„у»), т, = у" (х»+ —,, 2 ' г л »г»Л ' та= г ~х»+ У»+ ) т» =У1х»+ И У»+ лг»И) (1.49) и тогда И У»е, = У„+ б (иг, + 2тг+ 2лгз + тч). (1.00) Обычно метол Рунге применяется лишь для вычисления нескольких первых значений ун ум ..., необходимых для начала вычисления по методу Штермера, однако можно этим методом вычислять и остальные значения. Метод Рунге, так же как и метод Штермера, основан на аппроксимации искомой интегральной кривой соприкасающейся параболой. Если сравнить правую часть формулы Рунге (1.50) с разложением по формуле Тейлора 2 1 гг 3 1 гч 4 У»чг У»+У» + 21 У» + З1 У» + 4! У» + то окажется, что члены со степенями ниже пятой совпадают.
Поэтому при вычислении нескольких начальных значений по методу Рунге опять сравнивают результаты н т. д. л Вычисления с шагом И и —,, целесообразно проводить параллельно, чтобы как можно раньше заметить несовпадение результатов и не производить лишней работы. Этот способ двойного счета имеет еще то преимушество, что при его применении почти полностью исключаются ошибки в вычислениях, так как они, как правило, немедленно обнаруживаются при сравнении результатов вычислений Л с шагом И и —,. Для нахо;кдеиия нескольких первых значений ун необходимых для начала вычислений по методу Штермера, кроме указанных выше способов (метод Эйлера с уменьшенным шагом с итерациями или без итераций или метол разложения по формуле Тейлора), можно рекомендовать еше метод Рунге.
По методу Рунге для нахожления у»е, надо вычислить четыре числа: % 71 пРиБлиженные методы интегРиРОВАния уРАВнений 67 с переходом затем нз вычисление по методу Штермерз по формулам (1.42). (1.43) или (1.44) можно вычисление вести с тем же шагом и; если м<е в дальнейшем применяется формула Штермера (1А5), то начало вычисления по методу Рунге надо вести с уменьшенным шагом, так как прп одном и том же шаге формула (1.50) не гарантирует той точности вычислений, какую гарантирует формула (1.45).
Впрочем, нередко даже прв использовании формул Штермера (1.43) и (1.44) начало вычислений все же ведут по формулам Рунге с уменьшенным шагом, так как даже небольшая погрешность в вычислении исходных для формул Штермера значений может резко уменьшить точность дальнейших вычислений* ). Современныс быстродействующие вычислительные машины дискретного действия позволяют выполнить указанные выше вычисления по методу Штермера илн Рунге с необычайной быстротой (многие десятки н даже сотни тысяч операций в секунду), причем н проиесс программирования может быть значительно упрощен применением стандартных программ, разработанных для методов Штермера н Рунге.
При этом прп приближенном интегрировании дифференциального уравнения у' = у (х, у), у (хэ) = уэ, надо составить лишь подпрограмму для вычисления значений у' =у (хь, ул) и включить ее в стандартную программу. П Р и и е р. у' =х'+уй у(0) = — 1.
Найти значение у(05) с точностью до 0,01. Воспользовавшись разложением по формуле Тейлора у" (0) х' у"'(0)хя у(х) = у(0)+у' (0) л+, -1- + вычисляем значение у (х) в точках л, = О,! и ха =0,2: у (0,1) = — 0,9088 и у (0,2) = — 0,8309 (илн вместо у(0,2) вычисляем у( — 0,1), что лаже предпочтительнее, так как точка л, = — 0,1 лежит ближе к начальной точке хэ= О, чем точка х, =0,2). дальнейшие значения вычисляем по формуле Штермера (1.43) с шагом В =0,1, а результаты вычисления заносим в таблицу (без разностей б'з).
После этого или парзллельно проводим вычисления с шагом д — =0,05. В результате получим; 2 у (0,5) ж — 0,63. *) Более подробно о приближенных методах интегрированна дифференциальных уравнений можно прочесть в книгах А. Н. Крылова [6) н И. С. Березина и Н. П. Живкова [7) (см. Рекомендуемую литературу). 68 диеевгянцилльнык тилвнкния пкэвого поэядкл 1гл.| й 8. Простейшие типы уравнений, ие разрешенных относительно производной )1ифферендиальное уравнение первого порядка, не рззрешеиное относительно производной, имеет вид Г'(х. у, у') = О.
(1.51) Если это уравнение удается разрешить относительно у', то получаем одно илн несколько уравнений у'= /, (х, у) (1= 1, 2, ...). Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найден решения исходного урав- 1" пения (1 51) Проинтегрируем, например, уравнение (у')' — (х+ у) у' + ху = О. (1.52) Разрешая это квадратное уравнение относительно у', будем иметь: у' х и у' = у. Интегрируя каждое из полученных уравнений, находим: х' у — +с 2 (1.53) у = са" (1.54) (рис.
1.24), Оба семейства решений уловлетворяют исходному уравнению. Гладкими интегральными кривыми уравнения (1.52) будут также кривые, составленные из дуги интегральной кривой семейства (1.53) и дуги интегральной кривой семейства (1.54), если в общей точке они имеют общую касательную. На рис. 1.25 изображена интегральная кривзя уравнения (1.52), составленная из графи- 1 при с= —, — се< х~1, и у се" при 2' рис.
1.26 в интегральная кривая уравнения (1.52). ха решений у — при х~о и у=о нри х > О. 2 Рис. !.24. х' ков решений у — +с 2 с е-', 1~. х<со, а на составленная из графиков " Итак, уравнение г''(х, у, у') = О (1.51) может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и интеграции полученных при этом уравнений у' = Л (х.
у) (1 = 1, 2, ...), уже разрешенных относительно производной. э а! УРАВнениЯ, не РАВРешенные ОтносительнО пРОизВОднОЙ 69 Однако далеко не всегда уравнение (1.51) легко разрешается относительно у' и еще реже полученные после разрешения относительно у' уравнения у'=Л(х, у) легко интегрируются, поэтому / / / / / / ,' ! Рис 1.25. Рис. 1.26. часто приходится интегрировать уравнения вида (1.51) ииымн методами. Рассмотрим следующие случаи. 1.
У р а в и е н и е (1.51) и м е е т в и д Г(у') =О, (1 55) причем существует по крайней мере один действительныы й корень у'=й, этого уравнения. Так как уравнение (1.55) не содержит х и у, то л, — постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение у'=АР получим у=я;х+с, у — с или и,=, но й; является корнем уравнения (1.55), следова- /у — с~ тельно, /ч ! ! = О является интегралом рассматриваемого уравнения. Пример 1.
(у)/ (у)5 ! у +3 о Интеграл уравнения (у — '~' ~ у ')'+ у '+з =о. 2. Уравнение (!Ий!) имеет вид Р (х, у') = О. (1.56) Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то целесообразно ввести параметр Г и заменить уравнение (! .56) двумя уравнениями: х=~р(!) и у'=~у(Г). Так как ну=у'Нх, то в данном случае пу = ф (!) ~р' (!) г!Г. откуда у = / ф (!) ~р' (Г) Ж + с и, следовательно, интегральные кривые уравнения (1.56) определяются х = ф (К), у= ) ф(Г)гр'(1)Ж + Если уравнение (1.56) легко разрешимо относительно х, х = ф(у'), то почти всегда удобно в качестве параметра ввести у' =- д Тогда х = р (1).
(у = у' ах = Г р' (1) 2Д у =- ~ Г р' (Г) (1 -)- с. Пример 2. Положим у' = Г, тогда х = (у')' — у' — 1. х =!' — г — 1 (1.57) аУ = У' лх = Г (31 — 1) НГ, 3(4 Н у= — — — +сь 4 2 (1.58) Уравнения (1.57) и (1.58) определяют в параметрической форме семейство искомых интегральных кривых. Пример 3. х1' 1+у' и и. Полагаем у' =- 16 б — — ( г < —; тогда 2' х= з1пс, Лу = у' Лх = 1и 1 соз Г 3( = з(п Г П, у= — сохт+с, (1.00) нли, исключая Г нз уравнений (1.59) и (1.60), получим х'+(у — с,)'= 1— семейство окружностей. (1.59) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
