Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 12
Текст из файла (страница 12)
У р а в н е н и е (1.51) и м е е т в и д Р (у, у') = О. (1.61) Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести парзметр Г и заменить уравнение (1.61) двумя уравнениями: у=ф(1) и у'=ф(1). Так как Ну = у Нх, то ~(х = — у =-, откуда х = 1 ' + с. е'у Ф' (Г) ес ( Ф'(Г) лГ ф (г) = ,/ ф (г) Следовательно, искомые интегральные кривые в паралгетрической форме определяются уравнениями х= 1' +с и у=<р(1). П Ф'(г) 'г Ф(П В частности, если уравнение (1.61) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр удобно взять у'.
70 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ.! в параметрической форме следующими уравнениями: 4 з! трлвнкния. нв рлзявшрнныв относитвльно пронзводнои п Лейстзительно. если у = ф (у'). то, полагая у' = р, получим ду ф'(г) дг у игр(р), с(х= —,= х= ) ™ +с. Пример 4 у (у )г+(у )а+у +5 Полагаем у' 6 тогда у г -+Н+Г+5, их= —,= ду (5Н+3Н+ !)си г, 1з у' - !5Р+зг+ — ~ да т) 5(Р ЗГ' = — + — '+~ ~П+г.
4 2 (1.62) (1.63) Уравнения (1.62) и (1.63) являются параметрическими уравнениями семейства интегральных кривых. Пример 5. T!+ у" Полагаем у' зад тогла (1.64) у=си(, ду зл(др дх —, — == сИ, у' з'н г х !+с илн, исключая из (!.64) и (1.65) параметр Г, получаем у = сЬ(х — с). Рассмотрим теперь обший случай: левая часть уравнения го(х, у, у)=0 (1.65) (1.51) Пользуясь вависимостью ну=у'ггх, будем иметь — ии+ — ' =К(и, о) ~ — с(и+ — ио1, дф дф г дф дф ди до ' (ди до до откуда, разрешая относительно производной —, получим ии ' д~р дф до . ' ди ди 2(и, о) —. ии дф дф — — Х(, о) — ' до ' до (1. 66) В ревультате получено уравнение первого порядка, уже разрешенное относительно ироизводной, и тем самым задача сведена к уже зависит от всех трех аргументов х, у, у'.
Заменим уравнение (1 51) егп параметрическим представлением: х=гр(и, о), у=ф(и, о), у'=Х(и, о). 72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 1 рассмотренной в предыдущих параграфах, однако, конечно, полученное уравнение (1.66) далеко не всегда будет интегрироваться в квадратурах. Если уравнение Р (х, у, у') = 0 легко разрешимо относительно у, то за параметры и и о часто удобно брать х и у'. Действительно, если уравнение (1.51) приводится к виду у=У(х, у'), (1.67) то, считая х и у' = р параметрами, получим у=)'(х, р).
ау= — 87 дх+ — '. др д/ дх дл или дУ дУ дУ дл — = — + —— дх дх др дх ' ду дУ др р= — + —— дх др дх ' (1.68) если оно легко разрешимо относительно х: х= 7(у, у'). (1.69) В этом случае, взяв за параметры у и у'=р и пользуясь зависимостью ду=у'г(х, получим или 1 дУ дУ др (1.70) — — + —— р ду др ду Интегрируя уравнение (1.70), получим Ф(у, )э, с) = О. Это уравнение совместно с х = 7(у, р) определяет интегральные кривые исход- Интегрируя уравнение (1.68) (конечно, оно далеко не всегда интегрируется в квалратурах), получим Ф(х, р, с) = О. Совокупность уравнений Ф(х, р, с)= О и у = 7"(х, р), где р — параметр, опрелеляет семейство Интегральных кривых.
Заметим, что уравнение (1.68) может быть получено дифференцированием уравнения (1.67) по х. действительно, дифференцируя (1.67) по х и полагая у' = р, получим р = — + — — , что сов- дУ дУ др дх дл дх' падает с (1.68). Поэтому этот метод часто называют интегрированием дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования. Совершенно аналогично часто интегрируегся уравнение Р(х, у, у )=О, в 81 УРАВНЕНИЯ. НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОП 73 ного уравнения.
Уравнение (1.70) может быть получено из уравнения (1.69) дифференцированием по у. В качестве примера применения этого метода рассмотрим линейное относительно х и у уравнение у=хгр(у')+ф(у'), называемое уравнением Лагранжа. Дифференцируя по х и полагая у' = р, получим р=ф(р)+ хгв'(р) — +ф'(р) — Р, (1.71) или (р — ф(р)) — '„" = хф'(р)+ ф'(р) ир (1.72) их Это уравнение линейно относительно х и — и, слеловательно, ир легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив иктеграл гр(х, р, с)=0 уравнения (1.72) и присоелиняя к нему у=х~р(р)+ф(р), получим уравнения, определяющие искомые интегральные кривые. При переходе от уравнения (1.71) к уравнению (1.72) пришлось делить на —. Но при этом мы потеряем решения, если они сущеир их ' ствуют, для которых р постоянно, а значит — — = О. Считая р поар ах стоянным, замечаем, что уравнение (1.7!) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения р — ф(р)=0.
Итак, если уравнение р — ф(р)=0 имеет действительные корни р= рн то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить у = хф (р) + ф(р), р = рн или, исключая р, у = хгр(Р~) + ф (р;) — прямые линии. Отдельно надо рассмотреть случай, котла р — ф (р) = — О, и слеловатсльно, прн делении на — теряется решение р = с, где с— ир их произвольная постоянная.
В этом случае ф (у') = — у' и уравнение у = хгр(у')+ф(у') принимает вил у = ху'+ф(у') — уравнение Клеро. или (х+ф'(р)) Щ=О, откуда или — Р = О и, значит, р = с, или х + ф'(р) = О. их Полагая у'= р, получим у = хр+ ф(р). Дифференцируя по х, будем иметь: р= р+х — "Р +ф'(р) — "„Р, 74 диффгшенпилльные кяавнения паевого понядкл [гл. г В первом случае, исключая р, получим: у=сх+ф(с) (1. 73) — однопараметрическое семейство интегральных прямых, Во втором случае решение определяется уравнениями У= хР+'Ф(Р) и х+ 4 (Р)=0. (1.74) Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (1.74), является огибающей семейства интегральных прямых (1.73).
Рнс. 1,27. Рис. 1.28. Действительно, огибаюлгая некоторого семейства Ф(х, у, с)=0 определяется уравнениями 0)(х, у, с)=0 и — =О, дФ (1.75) которые для семейства у=сх+ф(с) имеют вид у= сх+ф(с), х + ф'(с) = 0 н лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (1.74) (рис. 1.27). Замечание. Как известно, уравнения (1.75) могут определять, кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда дФ и другие кривые, однако если хотя бы 'одна из производных дх дФ и — отлична от нуля и обе ограничены в точках, удовлетворяю- ду щих уравнениям (1,75), то зги уравнения определяют только огибаю- дФ дФ щую.
В данном случае зги условия выполнены: — = — с, — = 1. дх ' ду Следовательно, уравнения (1.75) определяют огибающую. которая может выродиться в точку, если семейство (1.73) является пучком прямых. 75 ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ Пример 6 ,з у = 2ху' — у' — уравнение Лагранжа. у =р у = 2хр — р'. Дифференцируя, получаем (1.76) р = 2р+ Зх — — брав "р и и'х лх лр и после деления иа — приходим к уравнению лх (! 77) л'х р — = — 2х+ Зрх лр Интегрируя это линейное уравнение, получаем х = — + — р'. Следовас, 3 р' 4 тельно. интегральные кривые определяются уравнеш!ями у = 2хр — р', с, Зря х= — '+ р' 4 лр При делении на —, как указывалось выше, теряются решения р = рь и'х ' где р! — корни уравнения р — гг(р) = О.
В данном случае теряется решение р = О уравнения (1.77), которому, в силу уравнения (1.76), соответствует решение исходного уравнения у = О. 9 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения В З 6 была доказана теорема суптествовапия н единственности решения у(х) уравнения — =7 (х, у), удовлетворяющего условию лу лх у(хз)=уз.
Аналогичный вопрос возникает н для уравнений вида Г(х, у, у') =О. Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку (хс, уа), вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение с'(х, у, у')=О относительно у', мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений у'= г',(х, у) ((=1, 2, .), и если каждое из уравнений у'=у,(х, у) в окрестности точки (хр, ус) удовлетворяет условиям теоремы существования н единственности З 6, то для каждого из этих уравнений найдется единственное у = ху' — у' — уравнение Клеро. ' Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид у =сх — с', Кроме того, интегральной кривой является огибающая этого семейства.
определяемая уравнениями у = сх — с' и х — 2с = О. Исключая е, х' получаем у = — (рис. 1.26). 4 Пример 7. 78 ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ 1 решение, удовлетворяющее условию у (х,) = ус. Поэтому свойство единственности решения уравнения Р(х, у, у')=О, удовлетворяющего условию у(хс) = ус, обычно понимается в том смысле, что Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
