Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(2.11>) »= Ясли коэффициенты р>(х> непрерывны на отрезке а <х (К то в окрестности любых начальных аначений у(")= ' '(")= ' "" '"-"( ч)= '„"" где хз — любая точка интервала а < х < д, удовлетворяются усло- вия теоремы существования и единственности. 1(ействительно, правая часть уравнения (2.11,) непрерывна по совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю частные производные — = — р »(х) (>ь = О, 1, ..., (и†1)), дУ >ю»-» у так как функции р„»(х) непрерывны на отрезке а <х (Ь и, следовательно, ограничены по модулю Заметим, что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного х=ф(1), где >р(>) — произвольная и раа дифференцируемая функция, производная которой гр'(>) Ф О на рассматриваемом отрезке изменения 1.
Действительно, иу иу их и> ср'(>) ' и»у ииу 1 иу фь (О ихь и« (я (Г))ь д> (Ф Р)Р й»у Производная любого порядка — является линейной однородной дх» иу иу и»у функцией производных —., —, ..., —, и следовательно. при ит ир ит» 94 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПВРВОГО !ГЛ. 2 подстановке в уравнение (2.11) его линейность и однородность сохраняются. Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции у(х) = а(х) г(х). Действительно, по формуле дифференцирования произведения уоо= а(х) г!»!+ да'(х) г1"-'!+, а" (х) г!»-ю+... -[-Оро(х) г, 2! т, е. произвольая у'»О яВЛЯетСЯ ЛИНЕИНОИ однорОдной функцией г, г', г", ..., г!»'. СЛедовательно, левая часть линейного однородного уравнения а,!(х) у!"'+ а, (х) у'в "+...
+ а,(х) у =О после замены переменных будет линейной однородной функцией (в! Запишем линейное одноролное уравнение у'в'+ р, (Х) у!"-И + ... + р„(Х) у = О кратко в виде Е[у[=О, Е[у]= уоп+ р, (х)у'"-н+ ... + р„(х) у. гле Е [су[== — сЕ [у1 Действительно, (су) + р,(х)(су) + ... ... + рв(Х)(еу)=С [у'"'+ р,(Х)у!""Н+ ... + р„(Х)у].
2) Линейный дифференциальныи оператор, примененный к сумме двух функций у1 и уг, равен сумме результатое применения того же оператора к каждой функции в отдельности: Е[у + у ]=Е[у [+ Е [у [ Действительно, (У! [" У2) + )21(Х) (У1+ У2) + ' ' + Рп (Х) (У! + „У2)= =~у!1т+ р,(х) у!" '!+ ... + р„(х) у,~+ ]у!»1-1- р,(х) у! — "+ ...
° [ Рв(Х)уг! Будем называть Е [у! линейным дифференциальным оператора.,и. Линейный дифференциальный оператор облалае1 еле.»уюшими лвумя основными свойствами: 1) Постоянный множитель выносится за знак линеиного оператора: ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Следствием свойств 1) и 2) является Г!л ~л Е ~~ с,у,~ =,]Р~ с,й(уг], ! =1 !=! 95 гле с, — постоянные.
Опираясь на свойства линейного оператора Е, докажем ряд теорем о решениях линейного однородного уравнения. Теорема 2.2. Если у, являелгся решениел! линейного однородного уравиеннп С[у]=0, то и суо где с — произвольная постоянная, является решением того же уравнения. Д о к аз а тельство. Дано 1. [у,]= — О. Надо доказать, что й [су,] е — и О.
Пользуясь свойством 1) оператора Е, получим Е [су,] — = сй (у,] = О. Теорема 2,3. Су.има у, + уг решений у, и у, линейного однородного уравнения !'.[у]=0 является решением того же уравнения. Доказательство. Дано Е(у,[=0 и Е(уг]=0. Нала доказать, что Е [у!+ уг] = О. Пользуясь свойством 2) оператора 1., получим: 2 [у, + у,[г Е [у!]+ е (уг] = — О. Следствие теорем 2.2 и 2.3. Линейная колгоинация с пролл извольными постоянными нозффициентами ~л с,у! решений !=! уо уг, ..., у линейного однородного уравнения Е(у] =0 является рел!ением того же уравнения. Теорема 2.4. Если .гинейное однородное уравнение Е(у] =0 с действительными нозффициентами р!(х) имеет номпленсное решение у(х)=и(х)+го(х), !по действительная часть етого решения и(х) и его льнимая часть о(х) в отдевьности являются решениями того эхе однородного уравнения.
Доказательство. Дано О[и(х)+го(х)]= — О. Нала доказать, что Е [и] = О и ь' [о] = О. Пользуясь свойствами 1) и 2) ойератора Е, получим: Е [и + (о] = — Е [и] + ьЕ [о[ = О, откуда А[и]==0 и О[о] — = О, так как комплексная функция действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и только тогда. когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю.
3 а м е ч а н и е. Мы применили свойства 1) и 2) оператора Ь к комплексной функции и(х)+со(х) действительного переменного, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !гл. т что, очевидно, допустимо, так как при докааатсльстве свойств 1) и 2) были использованы лишь следу1ощие свойства производных (су)' = су', где с — постоянная, и (у1+ уз)' = у, + у', остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительного переменного.
Функции У1(х), Ут(х), ..., У»(х) называются линейно зовиси.кы- лги на некотором отрезке изменения х, и (х <!г, если существуют постоянные величины аи аз ..., и, такие, что иа том же отрезке 11,у,+а,чг+ ... +а„уло— ш О, (2.12) причем хотя бы одно а; Ф О.
Если же тождество (2.12) справедливо лишь при а, =аз = ... = и, =-О, то фушсцни уо уз, ..., у„на- зываются линейно незовишглгыжи на отрезке и < х * !). Пример !. Функции 1, х, х', ..., х" линейно независимы на любом отрезке и < х < е, тзк как гождество а, +а,х+ азх'+ ... + авх,х»==-О (2.13) возможно лишь, если все а,=О.
Если бы хоть одно а!~0, то в левой части !ождества (2.13) стоял бы многочлен степени не выше и, который может иметь не более и различных корней и, следовательно, обращается в н>ль не более чем в и точкзх рассматриваемого отрезка. »х»х !г х Пример 2. Функции е ', е ', „ег», где й ~ьй) при !+/, линейно независимы йа любом отрезке и <х < Ь. Допустим.
что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда »х »х » ае' +ае'+ ... +ае» О. (2.14) где хотЯ бы одно а; ть О, напРимеР дла опРеделенности а„ ВВ О. Разделив тождество (2.14) на е»" и продифференцировав, получии: а» (йг — я!) Е( 1 ' + ... + а„ (»» — й!) е( " ' — О (2.15) — линейную зависимость ме!клу и — 1 показательнымн функциями вила еех с различными показателяии. Деля тожцссгза (2.!5) на е»' 'гх и лиффереи- ;! груп, це ш,и г.гп и!! !Ую 3 гии нгич1!.
Чег и! и — цесвзатг, !э!»Ыя ф1икц1- ЯМБ С РЗЗЛИЧНЫЛИ ! !!яд ИП! гиг П ' !Ри И! !Ее!и; 1З1 И! 1ЦС ' Š— ! Р гч. !И! !1 ЧНЦ ах !»г 'гг) (йг й ) ° ° !ях г㻠— !) е что невозможно, так как ал, по пРеДположснню, отлично о! нУлЯ, а Л! ть Л) при !' ~ у. доказательство остается справедливым при коиплексных «1. П р и м е р 3. Функции Е"!', хе»гх ... х»г»"х, »х»х » !гх е», хе»... „х Ре Р, тле й, чь а) при ! Яь /, линейно независимы на любом отрезке а <х< 6. Допустим, что эти функции линейно зависимы.
Тогда »,х »х гг .г Р,(х)е ' +Рх(х)е ' + ... +Рр(х)е е': — О, (2,1б) 5 з1 97 лиининыв динннрвннилльньш трлвнгния где Р<(х) — многочлен степени не выше ль причем хотя бы один поливом, например Рр(х), не равен нулю тождественно. Раздели«тол<дество (2.16) на е '" и продифференцируем и, + 1 раэ. Тогда первое слагаемое в тождестве (2.16) исчезнет, и мы получим лийейиую зависимость такого же вида, ио с меньшим числом функций: (1 (х)е( < "!) ! +()р(х)е( Р ') =О. (2.17) что невозможно, так кан степень многочлена Яр(х) равна степени миогочлена Рр(х) н, слеловательио, многочлен Ир(х) не равен нулю тождественно. Локазательство не изменяется н при комплексных /сь ТеоРема 2.5. Если фУнкнии Уи У,, ..., У„линейно завасимы на отрезке а (х (К то на том оке отрезке определитель У( Ут ° ° ° Ул У! Уг У» % (х) — (<' (У(. У), У ! , (л-1) „(сс-1) „(л-1) называемый определителем Вронского" ), тозкдественно равен нулю.
!1 о к а э а т е л ь с т в о. Дано, что . +а„у„= — О (2. 18) все и< равны нулю. Дифферен- получим а!У<+а,у,+ на отрезке а (х (д, причем не пируя тождество (2.18) п — 1 раз, ц,у, -)- пуз-)- ... +-а„у„=О, а,у,' + а,у,' + ... + а у' = — О, (2.!9) и у(р-!!+ и у(л-! + ... + а у(" "— = О. .тс ' »л Р) По имени польского математика Г.
Вронского (1775 — 1653). 7 л. э. иль<голля Прн этом степени многочленов О! и Р(((=2, 3, ..., р) совпадают, так как при дифференцировании произведения Р,(х) ел, р ~ О, получим (Р<(х) р+ + Р, (х)] ел», т. е. коэффициент при старшем члене иногочлена Р((х) после дифференцирования произведения Р, (х) ел» приобретает лишь ие равный нулю множитель р. В частности, совпадают степени многочленов Рр (х) н ()р(х), и следовательно.
ипогочлен () (х) не равен нулю тожлественно. Леля тождество (2.17) на е'а' л'" и дифференцируя и,+1 раз, получим линейную зависимость с е!це меньшим числом функций. Продолжая этот процесс р — 1 раз. получим (л -л )» с<с (х) е( Р Р ' =О р няьвнгння пояядкл выше пенного Эта линейная олнородная но отношению ко всем а, система и уравнений имеет нетривиальное решение (т. к.
не все а, равны нулю) нри любом значении х на отрезке а (х (Ь. Следовательно. определитель системы (2.19). являющийся определителем Вронского )о'(у,, у,, ..., У„В равен нулю в каждой гочке х отрезка а (х (Ь. Теорема 2.6. Если линейно независимые функции у,, уг, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
