Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Взяв действительные и мнимые части решений, соответствующих сопряженному корню р — ОГ характеристического уравнения, мы не получим новых линейно независимых решений. Таким образом, паре комплексных сопряженных корней )ч Х(чу( кратности а соответствуют 2а линейно независимых действительных решений (2,43) Пример б.
уш +2у +у =О, Характеристическое уравнение Л" + 2дч+ 1 = О илн (а'+ 1)' = О чиееч двукратные корни х б Следовательно. общее решение имеет внл (С, + Стх) СОЗ Х + (Сч + С,Х) 5(п Х, 2. Уравнения Эйлера Уравнения вида а х"у(Ш + а,х" 'у(' Н + ... + а„,ху' + а„у = О, (2.44) где все а, — постоянные, называются уравнения,ии Эйлера. Уравнение Эйлера заменой независимого переменного х = е' е) преобра- ') Или» = — с', если х < ж в дальнейшем для определенносги будем считать х > (А 4 «) однояодныв кяавнения с постоянными козееиииентлмн )И вЂ” =е «')()1 — +й — -1- ...
+-᫠— ), (2.45) Лх» ~ ' Л1 ЛГ ''' ' ЛГ»)' где все р« — постоянные. я прн подстановке в уравнение (2.44) множнгели е " сокрашаются с множителями х =е»'. Справедливость равенствз (2.45) легко может быть доказана методом нндукнии. Действительно. допустив, что равенство (2.45) справедливо, и продифференпировав его еше раз по х, докажем справел- ~»+ 1 лнвость равенства 12.45) н ддя )Х»л1 ах« Л« ЛР «ГГ»ю 1 — ве ». н« 1 лу л«У л'"У ~ (01 — +бе — + +б, — ~= (1»р'''««! Гу «Г«у л»»! у 1 =е-:"н'(у1 — +у — -+ ". +-у». — ) ° «(«лн «й»» ' где все у, — постоянные. Итак. справедливость формулы (2.45) доказана, и следовательно, линейно вхоляшие в уравнение Эйлера уа д«) и, х' — =О л-« дх» » о (2. 44') с постоянными козффипиентами произведения 51+5»+'''+«' .
л»у иу а«у «(х» ' Ф ' «гн лг" линейно (с постоянными козффипиентачи) выражаются через производные функиии у по новой независимой переменной г. Отсюда следует, что преобразованное уравнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффипнентами Ь вЂ” +б + ... -)-д — -ел у=О.,2.4Щ ,л Лл-1 Е л«Л 11 ~ГЛ-1 ' ' Л-1 1 Л зуется ь линейное оанородное уравнение с постоянными ковффициентами.
Действительно, как указано на стр. 93, линейность и однородность уравнения при преобразовании независимого переменного сохраняются, а коэффнниенты становятся постоянными, потому что ну лу ах Ш УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПГРВОГО [гл. я 112 Получающееся при этом после сокращения на х" уравнение а с[с (й — 1)... (7г — и+ 1) + а [й (lг — 1)... (/г — и + 2) +- ... + аа = О (2.47) для определения гг должно совпадать с характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (2.46). Следовательно, корням [г, уравнения (2.47) кратности а, соответствуют решения с [, !с ', гас ' ...,, г"[ е ' преобразованного уравнения нлн х [, х [ рл х, х '[п х, ..., х [!п [ х а.
а я а.-[ исходного уравнения, а комплексным сопряженным корням р + г)1 уравнения (2.47) крат[воти а соответствуют решения сс сов[71, 1е~ сов [77, ..., ! сл сов г)Г, с" з[пц[1. (ес яп[[!... „Г е' з[пс[Г преобразованного уравнения или хс сов([! !и х), хР [п х сов([71п х), ..., хс !па [ х сов(г7 !п х), х" з[п(г)!пх), хс!пхз[п(г)!Вх), ..., хс!Ва-' хз[п([[!пх) исходного урав[няшя Эйлера. Пример 7. х у + — ху' — у=о. 5 2 Ищем решение в ваде у=ха; Ф(/г — 1)+ — Л вЂ” ! =О, 5 2 аг= — 2. Следовательно, общее решение при х > О имеет г у = с,х + с,х-'.
Пример 8. ! откуда Л = 2 внд х'у" — ху'+ у =О. Ищем решение в виде у = хь; Л (а — 1) — а+! = О, дна= 1. Следовательно, общее решение при х > О будет у = (с, -(- с, ! п х) х. Пример 9. яли (й — 1)' = О, хауа+ ху'+ у = О Вместо того чтобы преобразовывать уравнение Эйлера в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения которого имеют вид у =е"', можно сразу искать решения исходного уравнения в виде у = х, так как е =-х. Ы А ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ищем решение в виде у=ха; а(л — !)-1-а-1- ! =о, отаудз аь,= ш !. Следовательно, общее решение ири х > 0 имеет вид у = с, соз <п х+ с, а<п <п х Уравнения вида ле(ах+Ь) у< +а,(ах+Ь) у + ° ...
+ ал,(ах+Ь) у'+ а„у=О (2.48) также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравнению (2.44) заменой независимого переменного ах+ Ь = хи Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде у=(ах+Ь)" или преобразовать уравнение (2.48) к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменоЙ переменных ах+ Ь =е' (цли ах+Ь = — е', если ах+ Ь < 0). 5 5. Линейные неоднородные уравнения Линейное неоднородное уравнение имеет внд ае (х) у<"<+ а< (х) у<"-и+ ...
+ а„(х) у = <р (х). Если ае(х) ~ 0 на рассматриваемом интервале изменения х, то после деления на ае(х) получим у<"<+ р (х) у<"-и+ . + рл(х) у =г(х). (2.49) Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, кратко запишем в виде !. (у! = У (х). Если при а <х (!< в уравнении (2.49) все коэффициенты р,(х) и правая часть Г" (х) непрерывны, то оно имеет еданственное решение, удовлетворяющее условиям у<~<(хе) = у<е ' (й = О где У<а! — любые действительные числа, а хе — любаЯ точка интеР- о вала а < х < Ь. Действительно, правая часть уравнения У<"<= — Р,(х)У<' '! — Ря(х)У<" Ю вЂ” ...
— Р (х)У+У'(х) (2.49') в окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности: 1) правая часть непрерывна по всем аргументам; 2) имеет ограниченные частные производные по всем у<ы (в=О, 1, ..., и — !), так как эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке а < х <Ь коэффициентам — р„а(х). уРАВнения пОРядка Выше пеРВОГО !ГЛ. 3 не налагается 114 Еше раз отметим, что иа начальные значения у!ь никаких ограничений.
Из двух основных свойств линейного оператора Г. [су! = сЕ [у[. (.[у, + у,! = ).[у,! + (.[у,], гле с — постоянная, непосредственно следует: !) Сумма у+у, решения у неоднородного уравнения 0 [у! = г" (х) 2. 49) и решения у, соответствующего однородного уривнеиия ь [у! = 0 является решением неоднородного уравнения (2.49). )ьоказательство. ~ [у + у!! = г [у]+ ~ [уь! ио 1.[у] =— .Г'(х), а с[у,! = — О, следовательно, С [у -+ у,]== /(х). где а, — постоянные.
Йоказательство. ( и ) ь! ы (. ~ ~ а,у!~ = — ~г 0[а,у![= ~ и,(.[у![, ° ! =! 1=! !2.ОО) ио С[у,[ =г'г(х), следовательно, ь ] г. ~лэ а!у!~ = —,.г а!у'!(х). г=! ! ! Это свойство, называемое часто принципом суперпозиции (или принципом налоэкеяия). Очевидно. остается спраягглизь!м и при т-ьОО, если рял ~ а,у, сходится и допускает и-кратное почлен!= ! ное дифференпироваиие, так как в этом случае возможен предельный переход в тождествах (2.50). 3) Если уравнение а [у! = У(х)-]- Ь'(х), где все коэффициенты рг(х) и функции ()(х) и )г(х) действительны. имеет решение у = и (х) + Етг(.х), то действительная часть реше- 2) Если у, является решением уравнения !. [у[ = г', (х) ь! (! = 1, 2, ....
т), та у =,~~ и,у, является решениел! уривиения г=! ь! Е [у! = ~Р~ а,/, (х), 115 линейные !зеодноводныг ш лвнгния ния и(х) и мнимая часть о(х) являются соответственно решениями уравнений Цу)=и(х), (.(У)=) (х). Доказательство. 5(и+ го)= — (у(х!+ 1)г(х) или ци)+ !(.(о)=и(х)+ гр (, ). Слеловательно, отлельно равны действительные части 5 (и) — (з (х) и мнимые части !.(о)=— (! (х). Теорелга 2.8. Общее решение на отрезке а ( х < Ь уравнения !' (у! =) (х) с непрерывными на том же отрезке козффицоентами р,(х) и правой частью Г'(х) равно сумме общего решения ~г сзу, соответствующего однородного уравнения и !=! какого-нибудь частного решения у неоднородного уравнения. До к аз а тельство.
Нала показать, что У=Хо!у +у (2.5 1) где с, — произвольные постоянные, а у,. (! =1, 2, ..., и) — линейно независимые решения соответствующего одноролного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения 5(у) =у (х). Принимая во внимание !) (стр. 1!4) н справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что полбором постоянных с, в (2.51) можно удовлетворить произвольно заланным начальныи условиям у!ьз(х ) =уо!ь! (4=0, 1, 2, ..., п — !). (2.52) гле а (хо (Ь.
Требуя, чтобы решение (2.51) удовлетворяло началь- ным условиям (2.52), приходим к системе уравнений Х сгу! (хо) +У(хо) =Уо =! ь Х с!у!(хо) + У (хо) =Уо (2.53) л Х сзУ'(хо)+У (хо)=уо ~ сгу!гь "(х )+у("-')(хо) = у'ь-". ! УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 Эта линейная по отношению к постоянным с, система и уравнений с и неизвестными при произвольных правых частях допускает единственное решение относительно с; (1 = 1, 2, ..., и), так как определитель системы (2.53), будучи определителем Вронского (ь! [уп уг, ..., у,) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из отрезка а,.' х = Ь и, в частности, при х =-хг Следовательно, интегрирование линейного неоднородного уравнения сводится к нахождению одного частного решения этого уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного уравнения.
Пример 1. у" + у =- х. Одно частное решение этого уравнения у = х, очевидно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет внд у = с, соз х+ с, Шп х (см. стр, 108, пример 4). Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения у = с! соэ х + с! 3!и х+ х. Если подбор частного решения неоднородного уравнения труден, но общее решение соолгветствуюгцего однородного ь уравнения у=.~ ~с,у, найдено, то можно проинтегрировать 1=! линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянных. При применении этого метода решение неоднородного уравнения ищем в виде у= ~~З~ сг(х)у!, т.
е. по существу вместо неизвестной 1=1 функции у вводим п неизвестных функций с,(х). Так как подбором функций с,(х) (1=1, 2, ..., и) надо удовлетворить лишь одному уравнению у!"!+ р,(х) у!"-'!+ ... + р,(х)у=-у(х), (2.49) то можно потребовать, чтобы эти и функций с,(х) удовлетворялн бы еще каким-нибуль п — 1 уравнениям, которые мы выбираем так, э чтобы производные функции у= ~г с,(х)у,(х) имели бы по воз!=1 можности такой же вид, какой они имеют при постоянных с! Выберем сг(х) так, чтобы вторая сумма в правой части у' = ~г с,, (х) у',. (х)+ ~~з~ с,'(х) у, (х) ! ! ~=! 4 Б1 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ равнялась нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
