Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1114526), страница 21
Текст из файла (страница 21)
+ А„(2.66) где все а и А,— постоянные. ) Если ач +ь О, то существует частное решение уравнения (2.66), имеющее тоже вид миогочлена степени ю Лействительно, подставляя у = В . '+ В,х'-'+ ... + В, в уравнение (2.66) и сравнивая коэффициенты при олинаковых степенях х в левой и правой частях, получаем для определения коэффициентов В, всегда разрешимую, если а„ФО. систему линейных уравнениЯ: а„В=А, В= —, ""а а о — а а — л л„В, + за, 1Во=Аг откупа определяется В,, олВз+(з — )) о -1В1+з(з )) л -аВо= Аа нводногодныв твлвнвния с постоянными козе. !25 й б! откуда определяется Вг, а„В,+- ...
= А„ откуда определяется В,. Итак, если а„тО, то суи(ествует частное решение. имеющее вид многочлена, сльенень которого равна степени много- члена, столп(его в правой части. Предположим теперь, что а„= О, причем для общности допустим, что н а„, = аь = ... = а„,, = О, но а„„~О, т. е. lг =О является а-кратным корнем хзрактеристического уравнения, причем случай а= 1 не исключается. При этом уравнение (2,66) принимает вил а„кон+а,у<" Ч+ ... +а„еущ'=Азх'+А~к' '+ ... +А,.
'(2.67) Полагая уко = г, мы приходим к предыдущему случаю, н следовательно, существует частное решение уравнения (2.67), лля которого уш1=Вх'+В,х' '+ ... +В,, а значит, у является многочлепом степени з + а, причем, члены. начиная со степени а — ! н ниже, у этого многочлена будут иметь произвольные постоянные коэффипкенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет следующий вид: у=к" (В,х'-(-В,х'-'+ ... -(-В,).
Пример 1. у" + у = х'+ х. Частное решение имеет внл у= В,х'+ В,х+В,. (2.68) у = с1 соз х + сг 5!и х + хг + х — 2 Пример 2. у" +у' = х — 2. Частное решение ищем в виде у= х(В,х+В,). Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степе- нях х в левой и правой частях полученного тождества, находим 1 - г1 Вь= —, В~ = — 3, у х( — х — 3).
2' ' 12 Подставляя в уравнение (2.68) и сравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х, получаем Во 1, В,=1, Вг — 2, у=ха-1-х — 2. Общее решение УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШГ ПЕРВОГО ~гл. а Общее решение !! у с,.+с„е '+х ~ — х — 3). .(2 Рассмотрим теперь линейное неолноролное уравнение вила аеУин+ а,УШ-Н+ ...
+ а,У =ел (Асх*+ А,х' '.+... —, А,), (2.69) где все а) и А~ — постоянные. Как было указано выше (стр. 109), замена переменных у=ввез преобразует уравнение (2.69) к виду ее."(дени+ да(" П+... -+бег]=ев (А х'+Ах '-+ .+А ) или б гон ] б г(и-О ] +б г=Аох'+ А,х' '+... -~- А„(2.70) где все 67 — постоянные. Частное решение уравнения (2.70), если Ь„~О, имеет зид г = Вох~ + В~хе-1 + + В а значит. частное решение уравнения (2.69) у = ее" (В„х'+ В,х' '+... + В,).
Условие Л„ Ж О означает, что (с = 0 не является корнем характеристического уравнения б,Р+ б,Р-'+ ... -+б„=О, а следовательно, й = р не является корнем характеристического уравнения аь7с" -]- а,й" -]- ....+ а„ = О, (2. 72) так как корни этих характеристических уравнений связаны зависимостью й=н+ р (см, стр. 109). Если же я=О является корнем характеристического уравнения (2.71) кратности а, другими словами, 7с = р является корнем характеристического уравнении (2.72) той же кратности а.
то частные решения уравнений (2.70) и (2.69) имеют соответственно вил г =. х" (В х'+ В,х'-' + ... + В,), у =х"еР'(Всх + Вгх '-+... + В,). Итак, если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеевь вид еР (Аех +Азх-1+...+А), неопнопопныв чгхннгния с ПОГтояги!ыми козо, 127 то, если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение надо искать е таком жв виде: у=ела(Вах'+ В,х' '-+...
+Вх). Если же р является корнем характеристического уравнения кратности а (зтот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде У = хчеьх(Вах'+ В,х'-' (-... + В,). Пример 3. у" + 9у ех". Частное решение надо искать в виде у Ве'" Пример 4. у" + у = е"х (х — 2). Частное решение надо искать в виде ехх(Вх+В) Пример 6. у" — у = е" (х' — 1). Частное решение надо искать в аиде у —. хе'(В,х'+ В,х+ В,), так как д = ! является простым корнем характеристического уравнения.
Пример 6. у" + Зу" +Зу' + у = е "(х — 5). Частное решение надо искать в виде у= х'е-"(Вьх+ В1) так как Ь =- — ! является грехкратнын корнем характеристического уравнения Эанетим. чго наши рассуждения остаюгся справедливыми н при комплексном р, поэтому если праная часть линейного дифференпиального уравнения имеет вид енх (Р, (х) соз ах + (',), (х) з(п сх), [2.73) где один из многочленов Р,(х) или (,),(х) имеет степень з, а другой — степень не выше чем з, то, преобразуя тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим в правой части е!гьчг! Ж, (х) + е!з- ч ! Т (х) (2.74) гле )ох(х] и Т,(х) — многочлены степени в.
Для кажлого слагаемого правой части можно уже применить указанное выше правило, а именно, если р+!)! не являются корнями 128 зялинвния пооядкл выше пьивого !гл. з характеристического уравнения, то частное решение можно искать в таком же виде, как и правая часть (2.74); если же р+7! являются корнями характеристического уравнения кратности а, то частное решение приобретает еше множитель х'. Если опять вернуться к тригонометрическим функпиям, то ато правило можно сформулиронать так: а) Если р + с)! не являются корнями характеристического уравнения, !по частное решение надо искать в виде у=се [Р,(х)соз7х + (Ть(х)5!п~7х], где Р,(х) и (ч«(х) — многочлены степени з с неопределенными коэффициентами.
Заметим. что если один из,иногочленов Р,(х) или 1,1,(х) имеет степень ниже з или даже, в частности, тождественно равен нулю, то все же оба многочлена Р,(х) и Я,(х) будут, вообще говоря, иметь степень з. б) Если р+д! являются а-кратными корнями характерссстического уравнения (резонансный слукин), то частное решение надо искать в виде у = х"ел«[Р, (х) соз дх -[- Я,(х) з(п дх]. Пример 7.
у" + 4у' + 4у = соз 2х. Так как числа ~2! не являются корнями характеристического уравнения то частное решение ищем в виде у Асозгх+ Вз!п2х. у" + 4у = соз 2х. Пример 8. Так как числа х2! являются простыми корнямн характеристического урав- нения, то частное решение ищем в виде у х [А соз 2х+ В з!п2х]. у' +2у +у з!пх.
Пример 9. Так как числа х ! являются двукратными корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у х'(А сов х+Вз!их). Пример !О. у'+2у'+2у е «(хсозх+Зз!пх). у хе «[(Аьх+ А,) соз х+ (Вьх+ В,! з!и х]. Так как числа — ! х! являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВГГГНИя С ПОСГОЯННЫМИ КОЭЕУ 129 у" — йу +у=с можно преобразовать сов х по формуле Эйлера или, еще проще, рассмотреть уравнение 2у +у (2.75) действительная часть решения которого должна удовлетворять исходному уравнению (см. стр.
114 — 115). Частное решение уравнения (2.75) можно искать в виде у = Аегх. Тогда А= —,, у= — (созх+Гз)пх). 2 Частное решение исходного уравнения 1 у = Ие у =- — —, з1п х. 2 Для нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянныин козффпниентами во многих случаях очень удобен операторный метод. Понятие об операторном методе решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными к о э ф ф и ц и е н т а м и. Для производных порядка и введем обозна- чение лау 0А гГХА Пользуясь Этим обозначением, ззпишем уравнение аеУОН + аУш и+...
+а„У=7(х) ае0"у+ а,0" у+... + а„у =7'(х) в виде или (ае0'+ а,0" '+... + а„,0+ а,)у=у(х). (276) Выражение пе0ч+ а,0" '+ ... + а„,0+ а„ называется операторным жногочленом. Этот операторный много- член кратко обозначим г'(О), а уравнение (2.76) запишем в виде гч (О) у = 7 (х). 9 Л. Э.
Эльсгельц Во многих случаях уравнений с постоянными целесообравно перейти к Например, в уравнении при нахождении частных решений линейных коэффициентами с правой частью вида (2.73) показательным функциям. УРАВВЕННЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !гл. з Непосредственной проверкой легко устанавливается справедливость следуюших тождеств: 1) Р(0) ее"— = е~лР(й), 2) Р(0') з1п ах =з1п ахР( — а'"1. 3) Р(Рт)сов ах=сов ахР( — а'), 4) .Г(0) еело(х)= е~лР'(,Р+ л) о(х).
Действительно: 1) Р(0)е "=(авил+а,Вл + ... +а„)е~"= 2) Р(0о) гйп ах =(аоР л+ а,0 ' +... + ал,0 + а„)згп ах = = !газ ( — ао)л + а, ( — а)л '+... + ал, ( — ао) + а„~ з(п ах = = з!и ахР' ( — а'). Тождество 3) доказывается совершенно аналогично: Р(0о) соз ах = сов ахР( — ао). л 4) Р(0)ел"и(х)= ~ ал р0Р(е" О(х))= р=о л =вел ~ а„~~Ало(х)+ ркр 'ВО+ р=о + Р(Р 1) )зр оРо + +РРО1— 2! л =ее» ~) ал (В+А) о=е Р(Р+й)О(х).
р=о Суммой двух операторов Р'!(О) и Р,(0) называется оператор !Р,(Р) + Рэ(0)), действие которого на некоторую функцию у (х) определяется равенством (Р' (0)+Р (0)!У(х)=р (0)У(х)+Р (0)У(х) Из этого определения следует, что л л л ~~'~ ал р0Р+ хз дл РР" = ~о (ал +Ьл р) РР, р=о р=о р=о так как действие левой и правой частей этого равенства на некоторую л раз дифференцируемую функцию у(х) приводит к одному и тому же результату, т.
е. правило сложения операторных много- членов не отличается от правила сложения обычных (не операторных) многочленов. НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ. ~З1 о 61 Произведением двух операторов Р,(0) ° Рг(0) называется оператор, действие которого на некоторую достаточное число раз дифференцируемую функнию у(х) определяется равенством Р, (В) ° Рг(В) у (х) = Р, (В) (Ря(0) у (х)), т. е. на функцию у(х) действует сначала правыд множитель, а затем на результат действия правого множителя на функцию у'(х) действует левый меюжитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
